Следствие 2.3.4 Пусть – группа и – такое множество простых чисел, что для любых и . Если в группе силовская –подгруппа обладает супердобавлением для всех , то –замкнута и ее –холловская подгруппа сверхразрешима.

Доказательство. Пусть – силовская –подгруппа для наибольшего простого . Тогда – наибольший простой делитель порядка группы и по теореме 2.3.1 подгруппа нормальна в . По индукции –замкнута, поэтому –замкнута и в есть –холловская подгруппа , которая сверхразрешима по следствию 2.2.2.

Следствие доказано.

Определение 2.3.5 Конечную группу будем называть –разрешимой, если каждый из ее композиционных факторов является либо –группой порядка либо –группой.

Группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она –разрешима для всех простых Ясно, что группа –разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа является либо –группой, либо –группой. Поэтому для такой группы можно индуктивно определить верхний –ряд.

где Здесь – наибольшая нормальная –подгруппа группы – наибольшая нормальная –подгруппа Наименьшее натуральное число для которого называют –длиной группы

В следующей теореме будет использован результат В.Н. Тютянова: если для любого простого делителя порядка группы существуют бипримарные –холловские подгруппы, то группа разрешима. В доказательстве этого результата использовалась классификация конечных простых групп.

Теорема 2.3.6 Если в группе силовская –подгруппа обладает супердобавлением, то –разрешима и для любого .

Доказательство. В начале приведём утверждение из работы: пусть – группа и – её полунормальная подгруппа. Тoгда:

– если – –нильпотентна, то нормальное замыкание подгруппы в группе разрешимо.

– если порядок подгруппы группы нечетен, то и нечетен.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть . Получаем, что нечетен, где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, подгруппа разрешима. Теперь – -группа. И группа –разрешима. Пусть – произвольный элемент из , . Тогда из теоремы 2.3.1 и , где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, теорема верна в этом случае.

2) Пусть . Имеем и для любой собственной подгруппы из . Из полунормальности силовской –подгруппы группы следует, что в группе существуют – –холловы подгруппа группы для каждого . Таким образом, в группе существуют бипримарные –холловские подгруппы для любого нечётного простого делителя , поэтому группа разрешима.

Теорема доказана.

Лемма 2.3.7. Пусть – –разрешимая группа.

Если – нормальная подгруппа в то

Если – подгруппа в то

Пусть и – нормальные подгруппы в тогда

Кроме того,

Пусть и – нормальные подгруппы в тогда

Лемма 2.3.8. Пусть – –разрешимая группа такая, что , но для всех нормальных неединичных подгрупп группы . Тогда справедливы следующие условия:

в группе существует максимальная -нильпотентная нормальная подгруппа которая является элементарной абелевой -группой;

– единственная минимальная подгруппа в группе имеющая добавление;

Лемма 2.3.9. Если – наименьшее из чисел, принадлежащих и силовская –подгруппа циклическая, то в группе существует нормальная подгруппа такая, что .

Непосредственно из определения –длины получаем следующую лемму.

Лемма 2.3.10 В –разрешимой группе тогда и только тогда , когда факторгруппа –замкнута.

Лемма 2.3.11 Если в группе все –подгруппы имеют супердобавления, то .

Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что группа –разрешима. Применим индукцию по порядку группы . Тогда по лемме 2.3.8 можно считать, что , в группе подгруппа Фиттинга – минимальная нормальная –подгруппа. Пусть – силовская –подгруппа группы . По условию полунормальна. Тогда , где . Для любой собственной подгруппы из верно, что – подгруппа группы . По лемме 2.1.6 все –подгруппы имеют супердобавления в . Так как , то по индукции . Заметим также, что , поскольку . Теперь по лемме 2.3.10 подгруппа .

Если в подгруппе существуют две максимальные подгруппы и , то и . Следовательно, и . Поэтому в существует единственная максимальная подгруппа и подгруппа примарная циклическая, то есть . Если , то по теореме 2.3.1. Значит .

Пусть – подгруппа порядка из . Тогда , так как . Теперь , поэтому . Значит, и – циклическая группа порядка, делящего . То есть . Теперь .

Лемма доказана.

Из определения –сверхразрешимой группы вытекают следующие две леммы.

Лемма 2.3.12 Всякая –сверхразрешимая группа имеет единичную –длину.

Лемма 2.3.13 Если подгруппа , или – –группа и факторгруппа –сверхразрешима, то и группа –сверхразрешима. В частности, если группа –сверхразрешима, то и группа –сверхразрешима.

Теорема 2.3.14 Если в группе все –подгруппы имеют супердобавления, то –сверхразрешима.

Доказательство проведём индукцией по порядку группы . В силу леммы 2.3.13 можно считать, что .

Из леммы 2.3.9 следует, что подгруппа нормальна в группе . Рассмотрим подгруппу такую, что . Подгруппа имеет супердобавления как –подгруппа, поэтому есть подгруппа группы . Теперь и . Следовательно, подгруппа нормальна и в группе . Теперь факторгруппа –сверхразрешима по индукции. Значит и группа –сверхразрешима.

Теорема доказана.

Пример 2.3.15 Если силовская -подгруппа обладает супердобавлением, то не всегда . В симметрической группе силовская –подгруппа полунормальна, но .

Пример 2.3.16 В существует подгруппа порядка , не имеющая супердобавления.

Доказательство. Пусть , где

Предположим, что подгруппа , имеющая порядок , имеет супердобавление в . Тогда существует подгруппа такая, что и – собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от . Так как делится на , то можно считать, что силовская -подгруппа группы содержится в . Но теперь

и , т.е. не является подгруппой группы , получили противоречие. Утверждение доказано.

Теперь пусть – класс групп, у которых все подгруппы имеют супердобавления. По леммам 2.1.6 и 2.1.7 класс – наследственный гомоморф. Из предыдущего примера вытекает, что не является радикальным классом и не является формацией. Кроме того, не содержит класс вполне факторизуемых групп.

Пример 2.3.17 Пусть – сверхразрешимая группа Шмидта. проверим, что в все подгруппы обладают супердобавлениями. Действительно:

1) ;

2) полунормальна в группе как подгруппа простого индекса;

3) если выбрать произвольную подгруппу , то и , тем более полунормальна;

4) если – произвольная непримарная подгруппа группы , то , где , и .

Таким образом, в все подгруппы, кроме и ей сопряженных, нормальны, тем более имеют супердобавления.

Пример 2.3.18 Пусть – группа диэдра порядка . Тогда

Проверим, что в все подгруппы обладают супердобавлениями.

Подгруппа полунормальна, она даже нормальна.

Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и для единственной собственной подгруппы из имеем .

Подгруппа полунормальна, так как и для любой подгруппы всегда существует минимальное добавление в группе.

Подгруппа полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .

Итак, в нильпотентных группах подгруппы, обладающие супердобавлениями, могут быть ненормальными.

3. Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3.1 Силовские множества и их свойства

Определение 3.1.1 Множество , состоящее из попарно перестановочных силовских –подгрупп из , в точности по одной подгруппе для каждого , вместе с самой группой , называется силовской системой группы .

В своей книге Дерк и Хоукс использовали название «силовский базис» вместо силовской системы . Введем следующее определение.

Определение 3.1.2 Силовским множеством группы назовем множество силовских подгрупп, взятых по одной для каждого простого делителя порядка группы, вместе с единичной подгруппой.

Таким образом, если – группа порядка , то множество будет силовским множеством. Здесь E – единичная подгруппа группы , – силовская –подгруппа группы и все числа различны.

Из теоремы Силова следует, что каждая группа обладает силовским множеством . Если дополнительно для всех подгрупп из , то силовское множество превращается в силовскую систему, см.. Известно, что любая разрешимая группа обладает силовской системой, и наоборот, если в группе имеется силовская система, то группа разрешима. Кроме того, если и – силовские системы разрешимой группы , то для некоторого .

Пусть – некоторое множество подгрупп группы и – нормальная подгруппа группы . Воспользуемся следующими обозначениями:

где – некоторый гомоморфизм группы в некоторую группу .

В разделе 3.1 изучаются свойства силовских множеств, которые необходимы при доказательстве. Для формулировок теорем потребуется следующее

Определение 3.1.3 Пусть – некоторое множество подгрупп группы . Подгруппа группы называется –квазинормальной, если для всех . Если – множество всех подгрупп группы , то –квазинормальную подгруппу называют квазинормальной.

Лемма 3.1.4. Пусть – силовская –подгруппа группы и . Тогда – силовская –подгруппа группы , а – силовская –подгруппа факторгруппы .

Лемма 3.1.5 Пусть – нормальная подгруппа группы .

Если – силовское множество группы , то является силовским множеством факторгруппы .

Если – силовское множество группы , то является силовским множеством подгруппы .

Если факторгруппа имеет силовское множество , то найдется в группе такое силовское множество , что .

Если нормальная подгруппа группы имеет силовское множество , то найдется в группе такое силовское множество , что .

Если – силовское множество группы и – некоторый гомоморфизм группы в группу , то является силовским множеством группы .

Доказательство. Пусть – силовское множество группы . Рассмотрим множество , в котором может оказаться более одной единичной подгруппы, но в этом случае следует оставить только одну единичную подгруппу. Кроме множество включает силовские подгруппы факторгруппы по лемме 3.1.4. Следовательно, есть силовское множество факторгруппы .

Пусть – силовское множество группы . Из равенства и из того, что по предыдущей лемме является силовской подгруппой в группе получаем, что есть силовское множество в .

Теперь пусть в факторгруппе известно силовское множество . Тогда существуют силовские подгруппы такие, что для . Рассмотрим простые числа . Для всех таких простых чисел существуют силовские –подгруппы , где . Теперь будет силовским множеством группы . И выполняется равенство

Если – силовское множество нормальной группы , то по предыдущей лемме и по теореме Силова найдутся силовские –подгруппы группы , для , такие, что . Теперь рассмотрим все простые числа и для каждого такого простого числа в группе возьмем по одной силовской –подгруппе . Теперь будет силовским множеством группы и .

Рассмотрим – силовское множество группы и гомоморфизм группы в группу . По принятому обозначению . По свойствам гомоморфизма подгруппа будет силовской подгруппой группы . То есть есть силовское множество группы .

Лемма доказана.

Лемма 3.1.6 Пусть – силовское множество группы и – –квазинормальная подгруппа группы . Тогда верны следующие утверждения:

если – гомоморфизм группы , тогда подгруппа –квазинормальна в группе ;

если и – нормальная подгруппа группы , то подгруппа –квазинормальна в группе ;

если – произвольная нормальная подгруппа группы , то в факторгруппе подгруппа будет –квазинормальной.

Доказательство. По лемме 3.1.5 множество является силовским множеством группы . Так как для , то имеем и есть -квазинормальная подгруппа в .

По лемме 3.1.5 множество будет силовским множеством группы . Так как – подгруппа группы , то – подгруппа группы . Поэтому .

По лемме 3.1.5 множество будет силовским множеством факторгруппы . И на основании равенства получаем перестановочность подгруппы с подгруппами силовского множества факторгруппы .

Лемма доказана.

Лемма 3.1.7 Пусть группа с силовским множеством , – подгруппа группы . Если подгруппа –квазинормальна, то сама подгруппа будет –квазинормальной для любого элемента группы .

Доказательство. По условию , для любой подгруппы , произвольного элемента . Рассмотрим произведение

Так как – подгруппа группы , то – подгруппа, поэтому , то есть – –квазинормальная подгруппа группы .

Лемма доказана.

Пусть – силовское множество группы . Выше пересечение определялось для нормальной подгруппы группы . В этом случае по лемме 3.1.5 пересечение является силовским множеством группы . Если – произвольная, не обязательно нормальная, подгруппа группы , то положим . Отметим, что в этом случае может не быть силовским множеством группы .

Лемма 3.1.8 Пусть – группа, – ее силовское множество. Если – –квазинормальная подгруппа группы , причем и индекс в группе примарный, то – примарная группа.

Доказательство. Пусть и пусть . Так как – –квазинормальная подгруппа, то – подгруппа группы для каждого . По теореме об индексах

где , . Для каждого имеем , то есть и . Но по условию , поэтому и – –группа.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.9 Пусть – нормальная подгруппа группы . Если – циклическая –подгруппа факторгруппы , то существует элемент такой, что – –подгруппа и .

Доказательство. Пусть – минимальное добавление к подгруппе в группе . Тогда по лемме 2.3.23, поэтому является -группой. Так как и циклическая, тогда – циклическая подгруппа, то есть подгруппа из для некоторого .

Лемма доказана.

3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп

Будем использовать запись для обозначения некоторого силовского множества группы .

Теорема 3.2.1 Пусть группа , где подгруппы и дисперсивны по Оре. И пусть и – силовские множества подгрупп и . Если циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, то группа дисперсивна по Оре.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, удовлетворяющие условию теоремы и не удовлетворяющие ее заключению. Пусть – не дисперсивная по Оре группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы выполняются. Тогда для любой неединичной нормальной подгруппы факторгруппа является произведением своих подгрупп и . Так как и , то подгруппы и дисперсивны по Оре. Рассмотрим их силовские множества. Ввиду леммы 2.1.5 силовские множества подгрупп и соответственно равны множествам и .

Пусть – произвольная циклическая примарная подгруппа факторгруппы . Рассмотрим произведение циклической подгруппы и произвольной силовской подгруппы . Ввиду леммы 3.1.9 существует примарный элемент такой, что . Поэтому

Аналогично проверяется перестановочность циклических примарных подгрупп из с элементами силовского множества . Таким образом, для факторгруппы все условия леммы выполняются, а так как порядок факторгруппы меньше порядка группы , то по индукции факторгруппа будет дисперсивна по Оре.

Пусть теперь – наибольший простой делитель порядка группы и – силовская -подгруппа подгруппы . Так как дисперсивна по Оре, то подгруппа нормальна в и . Если – некоторый примарный -элемент из , то по условию леммы. Теперь нормальная подгруппа в и -холловская подгруппа из содержится в . Поэтому . Аналогично, , поэтому силовская -подгруппа группы нормальна в группе . По индукции факторгруппа дисперсивна по Оре, а так как – наибольший простой делитель порядка группы , то группа дисперсивна по Оре.

Теорема доказана.

Пусть и – подгруппы группы . Будем говорить, что квазинормальна в , если перестановочна с каждой подгруппой из . Тогда можно сформулировать следующий результат, вытекающий из леммы 3.2.1.

Следствие 3.2.2. Пусть и – дисперсивные по Оре подгруппы группы такие, что . И пусть квазинормальна в и квазинормальна в . Тогда группа дисперсивна по Оре.

Теорема 3.2.3 Пусть , – сверхразрешимые подгруппы группы . И пусть и – силовские системы подгрупп и , и . Если циклические примарные подгруппы из –квазинормальны и циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует несверхразрешимая группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы верны.

Проверим, что если – силовская система группы , то – силовская система факторгруппы . Пусть – силовская система группы и – нормальная подгруппа группы . Отметим, что по определению силовской системы для всех подгрупп из . Тогда в факторгруппе рассмотрим множество подгрупп . По лемме 3.1.4 является силовской подгруппой факторгруппы . Возьмём две произвольные подгруппы и из множества . Рассмотрим их произведение

Таким образом, по определению 3.1.1 мы получаем, что является силовской системой факторгруппы .

Теперь легко проверить, что условия теоремы наследуются всеми факторгруппами группы . По индукции все нетривиальные факторгруппы группы сверхразрешимы. Если подгруппа Фраттини , то все условия теоремы переносятся на факторгруппу . И по индукции получаем сверхразрешимость факторгруппы . Откуда вытекает сверхразрешимость и самой группы . Поэтому подгруппа Фраттини группы единична. Если в группе найдутся две минимальные нормальные подгруппы и , то в силу индуктивных рассуждений факторгруппы и будут сверхразрешимы. Поэтому будет также сверхразрешима, то есть сверхразрешима группа . Значит в группе существует не более одной минимальной нормальной подгруппы, а подгруппа Фиттинга является единственной минимальной нормальной подгруппой. Ввиду предыдущей теоремы группа дисперсивна по Оре, значит для наибольшего простого делителя порядка группы силовская –подгруппа из является минимальной нормальной подгруппой. Допустим, что делит порядок подгруппы . Так как сверхразрешима, то в имеется нормальная подгруппа простого порядка . По условию теоремы произведение есть подгруппа группы , где – –холлова подгруппа группы , являющаяся произведением всех силовских –подгрупп из силовской системы . Поэтому – нормальная подгруппа группы , поскольку все подгруппы -замкнутой группы являются –замкнутыми. Теперь , поэтому нормальна в и по индукции сверхразрешима. Значит и сверхразрешима.

Теорема доказана.

Данная теорема является обобщением следующих результатов.

Следствие 3.2.4. Пусть и – сверхразрешимые подгруппы группы такие, что . И пусть квазинормальна в и квазинормальна в . Тогда сверхразрешима.

Следствие 3.2.5. Пусть группа , где , – сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков с силовскими системами и соответственно. Если и циклические подгруппы из –квазинормальны, и циклические подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.

Следствие 3.2.6. Пусть группа , где , – сверхразрешимые подгруппы группы с силовскими системами и соответственно. Если элементы силовских систем и попарно перестановочны, циклические подгруппы из –квазинормальны, циклические подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.

Заключение

В дипломной работе рассмотрены группы с ограничениями на минимальные добавления к выделенным подгруппам. Изучены следующие вопросы:

– критерий существования супердобавления к максимальной подгруппе, на основе которого устанавливаются новые признаки сверхразрешимости как самой группы, так и отдельных её подгрупп; в частности доказано, что максимальная подгруппа группы обладает супердобавлением в группе тогда и только тогда, когда индекс в есть простое число;

– изучено строение группы, у которой силовские подгруппы обладают супердобавлениями; а именно пусть – наибольший простой делитель порядка группы и – ее силовская -подгруппа. Если обладает супердобавлением в , то – нормальная подгруппа группы ;

– с помощью введенного понятия силовского множества изучены новые признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами из факторов:

пусть группа , где подгруппы и дисперсивны по Оре. И пусть и – силовские множества подгрупп и . Если циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из –квазинормальны, то группа дисперсивна по Оре.

Список использованных источников

1 Васильев А.Ф. и Васильева Т.И. О конечных группах, у которых главные факторы являются простыми группами // Известия ВУЗов. Серия «Математика». – 1997. – N11. – 10–14 с.

2 Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф. Скорины. Вып. 12. – 1998. – 113–122 с.

3 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 320 с.

4 Подгоргная В.В. Минимальные добавления к подгруппам конечных групп. Курс лекций // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 65 с.

5 Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхроазрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. – Витебск: ВГУ, 1999. – №4. – С. 80–82.

6 Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.–матэм. навук. – Мiнск, 2000. – №4. – 22–25 с.

7 Тютянов В.Н. К гипотезе Холла // Гомель, 2001. – №6. – 5 с. –

8 Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980. – 384 c.

9 Шеметков Л.А. Факторизации конечных групп // ДАН СССР. – 1968. – 178, №3. – С. 559–562.

10 Шеметков Л.А. Формации конечных групп // М.: Наука, 1978. – 272 c.

11 Assad M., Shaalan, On the supersolvability of finite groups // Arch. Math. – 1989. – 53. – 318–326 p.

12 Baer R. Classes of finite groups and their properties // Illinois J. Math. – 1957. – V.I. – 115–187 p.

13 Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups // Walter de Gruyter, Berlin – New York, 1992. – 889 p.

14 Friesen D.K. Products of normal supersolvable subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – 30, №1. – 46–48 p.

15 Hall P. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 198–200.

16 Huppert В. Endliche gruppen, I // Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. – 793 p.

17 Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Mathematical Joyrnal. – 1997. – Vol.26. – 157–161 p.

Страницы: 1, 2, 3