В теории конечных групп видное место занимают результаты, связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе в группе понимается такая подгруппа , что , но для любой собственной подгруппы из . Очевидно, что любая подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что дополнение является частным случаем минимального добавления.

Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников: «Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами». К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались –дополняемость, –плотность подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др.

Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.

Квазинормальной называют подгруппу группы , которая перестановочна со всеми подгруппами группы . Ясно, что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.

Минимальное добавление к квазинормальной подгруппе группы обладает следующим свойством: если – подгруппа из , то – подгруппа группы . Это наблюдение позволяет ввести следующее определение: минимальное добавление к подгруппе группы назовём супердобавлением, если является подгруппой для любой подгруппы из . Ясно, что нормальные и квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе силовская –подгруппа обладает супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.

Всякую факторизуемую группу можно рассматривать как группу с подгруппой и её добавлением , и как группу с подгруппой и её добавлением . Известно, что группа с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и не всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и :

– подгруппы и имеют взаимно простые индексы;

– группа имеет нильпотентный коммутант;

– подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из , а подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.

В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.

1. Силовские подгруппы конечных групп

По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число делит порядок конечной группы , то в группе может и не быть подгруппы порядка .

Пример 1.1 Знакопеременная группа порядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.

Допустим противное, пусть – подгруппа порядка 6 в группе . Тогда и . Группа содержит подгруппы

Если , то и , противоречие. Поэтому , а т. к. , то . Противоречие. Поэтому допущение не верно и группа не содержит подгруппу порядка 6.

Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей порядка конечной группы имеется подгруппа порядка .

Положительный ответ на этот вопросв случае, когда – степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.

Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы делится на простое число , то в группе существует элемент порядка .

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа порядка , простое число делит , то в группе существует элемент порядка . Пусть .

Если делит для некоторого , то – элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группы имеют порядки, не делящиеся на .

не делится на .

Так как группа абелева, то – подгруппа, и к произведению можно применить следующее

не делится на .

Затем обозначаем через и опять получаем, что не делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, что не делится на . Но

и , т.е. получаем, что не делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.

Пусть – простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Теорема 1.3 Ошибка!. Пусть конечная группа имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда спарведливы следующие утверждения:

в группе существует подгруппа порядка для каждого ;

если – -подгруппа группы и – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

любые две подгруппы порядка сопряжены в группе ;

число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .

Доказательство. Доказательство проведём индукцией по . По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Порядок центра делится на .

Так как – абелева группа, то к применима лемма 1.2. По этой лемме в есть элемент порядка . Так как – нормальная подгруппа группы порядка , то факторгруппа имеет порядок и по индукции в группе имеется подгруппа порядка для каждого . По теореме о соответствии в группе имеется подгруппа такая, что и . Теперь , где . Итак, в группе порядков соответственно.

Случай 2. Порядок центра группы не делится на .

Рассмотрим разложение группы в объдинение различных классов сопряжённых элементов

где

– класс сопряжённых с элементов. Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число элементов в классе равно индексу централизатора . Пусть

Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой . И обратно, если централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в центр . Поэтому из <1> получаем

где для каждого . Если все числа делятся на , то из <2> следует, что делится на , что противоречит рассматриваемому случаю. Итак, существует , где такое, что не делит . Поскольку то

где – целое число и не делит . Теперь к группе применима индукция. По индукции в группе существует подгруппа порядка для каждого Эта подгруппа будет искомой для группы .

Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по подгруппам и :

Зададим отображение

переводящее элементы двойного смежного класса в элементы произведения подгрупп и . Легко проверить, что отоюражение взаимно однозначно, поэтому, получаем

где Так как есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа делит и – целое число. Из <3> теперь получаем:

Сокращая обе части на получим:

Так как взаимно просто с , а – целое число, являющееся степенью , то в правой части <4> существует слагаемое, равное единице. Пусть например, , где . Тогда .

Пусть и – подгруппы порядка . По существует элемент такой, что . Так как , то .

Пусть – группа порядка – подгруппа порядка и – нормализатор подгруппы в группе . Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по и :

Отображение

будет взаимно однозначным отображением на . Теперь из <5> получаем:

Положим . Элемент можно выбрать единичным, поэтому и . Теперь

Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим противное, т.е. что для некоторого имеем равенство . Это означает, что и подгруппа содержит две подгруппы и порядка . По существует элемент такой, что . Но тогда , а так как , то и . Но это возможно только при , противоречие. Значит, допущение неверно и в равенстве <6> под знаком суммы все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого , то из равенства <6> получаем сравнение . По все подгруппы порядка группы сопряжены между собой, а число подгрупп сопряжённых с равно . Поскольку , то делит .

Теорема доказана.

Силовской – подгруппой конечной группы называют такую – подгруппу, индекс которой не делится на . Непосредственно из теоремы получаем

Следствие 1.4 Пусть конечная группа имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда:

существует силовская –подгруппа и её порядок равен ;

каждая –подгруппа содержится в некоторой силовской –подгруппе;

любые две силовские –подгруппы сопряжены;

число силовских –подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .

Теорема 1.5 Для конечной группы и её силовской –подгруппы справедливы следующие утверждения:

если , то – силовская –подгруппа в , а – силовская –подгрупппа в ;

;

если и , то

пусть – все простые делители порядка группы , при , и пусть – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как и не делит , то – –группа, а из того, что

следует

и не делится на . Значит – силовская –подгруппа в .

Поскольку , то – –группа, а так как

не делится на , то – силовская –подгруппа в .

Для получаем

т.е. . Обратно, если , то . Теперь и – силовские подгруппы в , которые по следствию 1.4 сопряжены в , т.е. существует элемент , такой, что . Теперь и , т.е.

Если

то и

Если , то пусть означает наивысшую степень , делящую порядок . По следствию 1.4 – порядок силовской –подгруппы из . Из следует, что

Если

то

Обратно, пусть

где , и . Тогда

Поскольку уже доказано, что

то , где

Теперь

Следовательно,

Пусть

Тогда делит для каждого и поэтому

делит , т.е. . Для имеем , откуда .

Теорема доказана.

Лемма 1.6 Ошибка!. Если – нормальная подгруппа конечной группы и – силовская – подгруппа из , то .

Доказательство. Пусть – произвольный элемент из . Так как , то и по следствию 1.4 подгруппы и сопряжены в . Поэтому, существует элемент такой, что , откуда

Таким образом, .

Лемма доказана.

Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.

Доказательство. Пусть – силовская подгруппа группы и – подгруппа группы , содержащая . Так как , то по лемме Фраттини

Лемма доказана.

Лемма 1.8 Пусть – –подгруппа конечной группы , и не делит . Тогда

Доказательство. Ясно, что

По условию подгруппа является силовской подгруппой в . Пусть

Тогда и по лемме Фраттини .

Лемма доказана.

Пример 1.9 Симметрическая группа степени 6 имеет порядок . По теореме Силова содержит подгруппы порядков . Силовская 2‑подгруппа имеет порядок , силовская 3‑подгруппа имеет порядок и силовская 5‑подгруппа имеет порядок 5.

Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.

Пусть – группа порядка 15. В группе имеется подгруппа порядка 3 и подгруппа порядка 5. По следствию 1.4 число силовских 3‑подгрупп имеет вид для некоторого неотрицательного целого и делит 5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две силовские 3‑подгруппы сопряжены, то . Аналогично, число силовских 5‑подгрупп равно и делит 3. Поэтому . Так как и – циклические подгруппы простых порядков, то группа . Теперь для любых имеем:

поэтому

и . Следовательно, группа абелева. Теперь ясно, что – циклическая группа.

2. Полунормальные подгруппы

2.1 Свойства супердобавлений

Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа группы называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа , что и – собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от .

Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.

Пример 2.1.3 В симметрической группе силовская –подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.

Лемма 2.1.4 Если подгруппа полунормальна в группе и в группе нет собственных добавлений к , то квазинормальна.

Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения. Если – подгруппа группы , то – множество всех супердобавлений к подгруппе в группе . Ясно, что в точности тогда, когда не является полунормальной подгруппой.

Страницы: 1, 2, 3