Курсовая работа: Полунормальные подгруппы конечной группы

Пусть  и  – подгруппы группы ,  и подгруппа  нормальна в группе . Введём следующие обозначения:

 – обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа  содержится в .

Запись

означает, что для любой подгруппы  существует подгруппа  такая, что  содержится в .

Лемма 2.1.5 Если  – полунормальная подгруппа группы  и , то  – полунормальная подгруппа группы  и

Доказательство. Пусть . Тогда  и  – собственная подгруппа группы  для любой подгруппы  из , отличной от . Ясно, что  для любого элемента  из , а так как  можно считать произвольной в  подгруппой, отличной от , то  – собственная подгруппа группы . Поэтому  полунормальна в  и  – супердобавление к  в группе , то есть . Отсюда следует, что . Группа  для любого . Так как , то , где , . Теперь . Если  – подгруппа из , отличная от , то  – подгруппа из , отличная от . Поэтому  – собственная подгруппа группы  и . Значит,  для всех . Отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.6 Если  – полунормальная подгруппа группы  и  – подгруппа, содержащая , то  полунормальна в  и для любой подгруппы  пересечение  содержит супердобавление к подгруппе  в .

Доказательство. Пусть  полунормальна в  и . Так как , то по тождеству Дедекинда имеем . Пусть  – наименьшая подгруппа из , для которой . Если  – собственная подгруппа из , то . Поскольку , то  – подгруппа группы , поэтому  полунормальна в  и  – супердобавление в .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.7 Если  – полунормальная подгруппа группы  и , то  – полунормальная подгруппа группы  и любая группа из  содержит супердобавление к  в .

Доказательство. Пусть  полунормальна в  и . Тогда . Пусть  – наименьшая подгруппа из  такая, что . Выберем произвольную подгруппу  из , отличную от . Так как , то . Поскольку , то по тождеству Дедекинда . Теперь , а из полунормальности  следует, что  – подгруппа группы  и  – собственная подгруппа группы . Это означает, что  полунормальна в  и . Так как , то лемма доказана.

Лемма 2.1.8 Пусть  – полунормальная подгруппа группы  и . Если  – полунормальная подгруппа группы , то  – полунормальная подгруппа группы  и .

Доказательство. По условию  и , где . Кроме того,  – подгруппа группы . Ясно, что . Если  – собственная подгруппа в , то  – собственная подгруппа в  и . Ясно, что  и  перестановочны с , поэтому . Так как , то . Значит,  является супердобавлением к  в , то есть , что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.9 Если  – подгруппа группы  и  – её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:

 полунормальна в группе  и ;

для каждого элемента  и каждого элемента  существуют целое число  и элемент  такие, что .

Доказательство. . Пусть подгруппа  полунормальна в группе  и  – ее супердобавление. Подгруппа , где  пробегает все элементы группы , причем  – подгруппа группы , что следует из полунормальности . Поэтому . Теперь выбираем произвольные элемент  и элемент . В силу того, что  получаем, что  для некоторого целого числа  и некоторого элемента .

. Пусть для каждого элемента  и каждого элемента  существуют целое число  и элемент  такие, что . Так как из равенства  вытекает включение , а из равенства  следует, что , значит . Ввиду того, что для любой подгруппы  из  имеем , где , то получаем равенство . Это означает, что  полунормальна в  и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.10 Пусть , подгруппа  нормальна в группе . Подгруппа  полунормальна в группе  тогда и только тогда, когда подгруппа  полунормальна в группе .

Доказательство. Пусть подгруппа  полунормальна в группе . Тогда по лемме 2.1.7 подгруппа  полунормальна в группе .

Обратно, если  полунормальна в , то из определения полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа  из факторгруппы  такая, что  и , где . Откуда следует, что . Пусть  – наименьшая подгруппа из  такая, что  и . Рассмотрим произвольную собственную подгруппу  из .

Если , то  – собственная подгруппа группы , поэтому  – подгруппа группы .

Если  не содержит , то  – подгруппа группы  и  – подгруппа группы . Это означает, что  полунормальна в  и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа  полунормальна в ,  и . Тогда для любого  подгруппа  перестановочна со всеми сопряженными подгруппами .

Доказательство. Если элемент , то , где , . Из полунормальности подгруппы  вытекает, что . Имеем . Поэтому .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть  – квазинормальная подгруппа группы  и  – полунормальная подгруппа с супердобавлением . Тогда  и  – собственная подгруппа группы  для всех собственных подгрупп  из . Пусть  – наименьшая в  подгруппа, для которой . Если , то , а так как  – подгруппа группы  и  квазинормальная, то  и  есть подгруппа группы .

Лемма доказана.

2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам

Теорема 2.2.1 Пусть  – максимальная подгруппа группы . Подгруппа  обладает супердобавлением в группе  тогда и только тогда, когда индекс  в  есть простое число.

Доказательство. Необходимоcть. Пусть  – максимальная подгруппа группы  и  имеет супердобавление в группе , т.е. существует такая подгруппа  из , что  и  есть собственная подгруппа в  для каждой подгруппы  из , отличной от . Пусть  и  – две различные максимальные подгруппы в группе . Тогда  и . Из максимальности  следует, что  и  являются подгруппами . Но тогда , противоречие с тем, что  и  – максимальная в  подгруппа. Следовательно, в  имеется единственная максимальная подгруппа . Если , то циклическая подгруппа, порожденная элементом , не содержится в , поэтому . Кроме того,  – примарная группа, то есть . Если  – максимальная подгруппа в , то индекс  в  есть простое число  и  – подгруппа в . Поэтому, .

Достаточность. Пусть  – подгруппа группы  и . Пусть  – силовская -подгруппа группы . Тогда  не содержится в  и существует элемент . Пусть , . Ясно, что , поэтому

и . Теперь  принадлежит , следовательно, если  – собственная подгруппа циклической группы , то  – подгруппа в  и  обладает супердобавлением  в группе .

Теорема доказана.

Следствие 2.2.2 Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы имеют супердобавления.

Доказательство. Если  – сверхразрешимая группа, то все ее максимальные подгруппы имеют простые индексы. По теореме 2.2.1 все максимальные подгруппы обладают супердобавлениями.

Обратно, пусть все максимальные подгруппы имеют супердобавления. По теореме 2.2.1 все они имеют простые индексы. Следовательно группа  сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.3 Пусть  – некоторое множество простых чисел. Если в -разрешимой группе  каждая максимальная подгруппа, индекс которой делится на простое число из , имеет супердобавление, то  – -сверхразрешима.

Доказательство. По теореме 2.2.1 индекс каждой максимальной подгруппы из  либо -число, либо равен некоторому простому числу из . Группа  -сверхразрешима для всех . Поэтому  -сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.4 Если подгруппа  имеет супердобавление в группе  и  – подгруппа группы, в которой  является максимальной подгруппой, то  – простое число.

Доказательство. По лемме 2.1.6 подгруппа  обладает супердобавлением в , а по теореме 2.2.1 индекс  в  – простое число, что и требовалось доказать.

Следствие 2.2.5 В любой группе пересечение максимальных подгрупп, не обладающих супердобавлениями, является сверхразрешимой подгруппой.

Доказательство. Данное пересечение совпадает с пересечением максимальных подгрупп непростых индексов. Поэтому это пересечение сверхразрешимо.

Следствие доказано.

Пусть  – формация всех сверхразрешимых групп. Тогда  – проектор разрешимой группы  называется сверхразрешимым проектором группы  или подгруппой Гашюца. По теореме Гашюца в каждой разрешимой группе существует единственный сопряженный класс сверхразрешимых проекторов. Кроме того, если  – сверхразрешимый проектор разрешимой несверхразрешимой группы  и , то  – не простое число. Из теоремы 2.2.1 получаем

Следствие 2.2.6 Сверхразрешимый проектор разрешимой группы обладает супердобавлением тогда и только тогда, когда он совпадает со всей группой.

Доказательство. Пусть  – разрешимая группа и  – ее сверхразрешимый проектор. Предположим, что подгруппа  обладает супердобавлением в  и . Пусть  – подгруппа группы , в которой  является максимальной подгруппой. По лемме 2.1.6 подгруппа  полунормальна в , а по следствию 2.2.4 индекс  – простое число. Но это противоречит отмеченному свойству сверхразрешимого проектора. Поэтому . Обратное утверждение очевидно.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.7 В разрешимой несверхразрешимой группе сверхразрешимый проектор не квазинормален.

Доказательство. Пусть группа  и  – ее сверхразрешимый проектор. Если подгруппа  полунормальна, то по следствию 2.2.6 подгруппа  – противоречие с выбором группы . Значит, подгруппа  не полунормальна, тем более не квазинормальна.

Следствие доказано.

2.3 Супердобавления к силовским подгруппам

Теорема 2.3.1 Пусть  – наибольший простой делитель порядка группы  и  – ее силовская -подгруппа. Если  обладает супердобавлением в , то  – нормальная подгруппа группы .

Доказательство. Докажем вначале утверждение для бипримарных групп. Пусть  и  – простые числа, , и  – бипримарная группа, где  – силовская -подгруппа, а  – силовская -подгруппа. По условию  обладает супердобавлением в , поэтому, можно считать, что  является этим супердобавлением. Если  и  – различные максимальные подгруппы группы , то из полунормальности  следует, что  и  – собственные в  подгруппы. По лемме 2.1.2 и по индукции получаем, что  и . Поэтому  и  нормальна в .

Пусть теперь в  есть единственная максимальная подгруппа. Тогда  – циклическая примарная группа, а так как , то  нормальна в .

Теперь рассмотрим произвольную группу . По условию теоремы существует супердобавление  к подгруппе  в группе , где  – силовская -подгруппа для наибольшего делителя  порядка группы . То есть  и  для любой собственной подгруппы  из . Пусть  – силовская -подгруппа из  для . Ясно, что  силовская в . Так как  – бипримарная подгруппа, в которой  полунормальна, по доказанному выше . Из того, что  – любое простое число, отличное от , получаем, что  нормальна в .

Теорема доказана.

Следствие 2.3.2 Если в группе  все силовские подгруппы обладают супердобавлениями, то  дисперсивна по Оре.

Доказательство сразу вытекает из предыдущей леммы и определения дисперсивной по Оре группы.

Следствие 2.3.3 Если в группе  все силовские подгруппы имеют супердобавления, то  сверхразрешима.

Доказательство. Из теоремы 2.3.1 вытекает, что группа  дисперсивна по Оре. Пусть  – силовская -подгруппа для наибольшего простого делителя  порядка группы  и пусть  и . По условию , где  – силовская -подгруппа в , – ее супердобавление. Пусть  – силовская -подгруппа из . Так как  – силовская -подгруппа в , то  полунормальна в . По лемме 2.1.6  полунормальна в , то есть , где  – супердобавление к  в . По лемме 2.1.8 произведение  является полунормальной в  подгруппой и , причем  есть супердобавление к  в . Через  шагов получим, что  – полунормальная в  подгруппа, где  – силовская -подгруппа для . Ясно, что  и .

Пусть  – подгруппа простого порядка из , нормальная в . Из того, что  полунормальна в  следует, что  – подгруппа группы . Так как , то  и . Итак, в группе  имеется нормальная подгруппа  простого порядка . По лемме 2.1.6 условие доказываемого утверждения распространяется и на факторгруппу . По индукции  сверхразрешима. Теперь  сверхразрешима.

Страницы: 1, 2, 3