В разрешимой группе имеется нормальная подгруппа простого индекса. Пусть . Если бипримарна или примарна, то дисперсивна. Пусть трипримарна. По индукции дисперсивна, а так как в нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если и , то нильпотентна как подгруппа группы Шмидта и нормальна в . Если и , то

также нильпотентна, и нормальна в .

Итак, при в имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть . Если , то

нильпотентна и нормальна в . Пусть . Тогда

Теперь нормальна, в . Если , то и нормальна в . Если , то - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому нильпотентна, и

т.е. нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай . Так как нормальна в , и циклическая, то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь - абелева группа порядка, делящего . и в случае в группе имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе применима индукция, по которой дисперсивна. Так как - подгруппа из центра , то и вся группа дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8. - подгруппа примарного индекса конечной группы , то .

Пусть - силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем

и - -группа.

9. - группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть не является силовской в подгруппой и - силовская в -подгруппа. Тогда - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в подгруппы . По условию сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е. и абелева. Итак, в силовской -подгруппе из все собственные подгруппы абелевы.

Так как не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа в циклическая, а так как , то нормальна в . Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа максимальна в .

Если - абелева, то - элементарная абелева группа порядка и - показатель числа по модулю .

Пусть - неабелева группа. Так как сопряжена , то все собственные в подгруппы абелевы, т.е. - группа Миллера-Морено. Если - неабелева группа, порядка и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа - q-замкнута по лемме 3.2 , поэтому в каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из следует, что имеет простой порядок, а так как не входит в , то

есть группа Шмидта.

10. - группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .

Так как , то группа не -нильпотентна, поэтому в ней существует -замкнутая подгруппа Шмидта . По лемме 3 подгруппа несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если , то - силовская -подгруппа группы , и нормальна в по лемме 3.2 . Поэтому и - -группа.

Пусть . Тогда - циклическая силовская -подгруппа группы . Будем считать, что не -замкнута, т.е. не является силовской в подгруппой. Для максимальной в подгруппы индекс подгруппы , бипримарен, поэтому сверхразрешима. Так как , то нормальна в и

Таким образом, и группа порядка, .

Теперь факторгруппа обладает нормальной силовской -подгруппой порядка . Итак, , где - силовская -подгруппа в . Так как нормальна в , а в нет неединичных нормальных -подгрупп, то и изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы порядка . Поэтому - циклическая группа порядка и делит .

теоремы C. Пусть - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа бипримарна. Пусть , где и - простые числа и . Если - примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что - дисперсивная группа порядка .

Пусть - бипримарная группа. Так как группа не -нильпотентна, то в существует -замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку , то подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в примарный индекс. Если , то - циклическая силовская -подгруппа группы , и группа имеет единичную -длину. Поэтому -замкнута, а значит -замкнута и . Для максимальной подгруппы из подгруппа имеет в непримарный индекс, поэтому сверхразрешима, а поскольку , то нормальна в

Из -замкнутости следует, что нормальна в , поскольку - циклическая подгруппа, то нормальна в . Так как не нормальна в , то , и имеет порядок .

Пусть теперь . Тогда - силовская -подгруппа группы , и группа имеет единичную -длину по лемме 3.2 . Поэтому -замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа из содержится в . Так как , то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что недисперсивна. Теперь - -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть . Так как в имеется группа Шмидта , то ненильпотентна, и не является силовской в . Значит, подгруппа имеет в непримарный индекс, и по условию теоремы сверхразрешима. Так как нормальна в , то нормальна в , поэтому содержится в . Следовательно, и в . Теперь из следует, что силовская -подгруппа в имеет простой порядок.

Итак, в любом случае - дисперсивная группа порядка . Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть - некоторый класс конечных групп. Через обозначается совокупность минимальных не -групп, а через - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит . Ясно, что наследственный класс и . В настоящей заметке доказывается следующая

D. класс замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и - простое число или 9; или и .

Формации и нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс разрешим , а для класса теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа принадлежит , то , где , а и .

Если , то в качестве подгруппы можно выбрать всю группу , а подгруппа будет единичной. Пусть и пусть - собственная в подгруппа, которая является минимальной не -группой. По условию , - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из получаем, что . Из неразрешимости следует, что непримарна и .

2. класс замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если - минимальная нормальная в подгруппа, то либо , либо - простая неабелева группа, и , где .

Пусть минимальная нормальная в подгруппа не принадлежит . Так как , то индекс , - простое число. Теперь неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: Поскольку замкнут относительно прямых произведений, то не принадлежит и индекс в группе должен быть примарным. Поэтому - простая неабелева группа.

Централизатор нормален в и . Поэтому , а так как индекс непримарен, то .

3. класс разрешим и - простая неабелева группа из , то:

1) , , и или - простое число;

2) , и - простое число;

3) , , ;

4) , или , или соответственно.

Здесь и - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. , , - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка , - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа , где , а . Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть - минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа простая, и

Так как не принадлежит , то существует подгруппа , . Теперь , где , и . Так как разрешима, то по лемме 3 подгруппа изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть и простое число или 9. Предположим, что - собственная в подгруппа. Так как - циклическая группа порядка , то делит . Кроме того, индекс в должен быть примарным, а поскольку

то при простое число должно делить , что невозможно. Для числа и взаимно просты. При группа удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если , то либо , либо , a .

Пусть и - простое число, где . Так как , то индекс в равен и или .

Пусть , где . Поскольку , то подгруппа имеет в непримарный индекс. Поэтому в этом случае .

Поскольку случай рассмотрен при , где , то теорема доказана полностью.

Заключение

В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.

Список литературы

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. - 1973. - Т.14, N 2. - С.217-222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. - 1975. - С.70-100.

5. Старостин А.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5. - С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg- New York: Springer, 1967. - 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир,-1985. - 352 С.

8. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. - Киев, 1975. - С.173-196.

9. Сидоров А.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. - Минск. - 19S7. - Вып.3. - С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. - Berlin: Springer, 19 (37. - 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. - С.70-100.

13. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. - С. 197-217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. - С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. - Vol.81. - P.304-311.

Страницы: 1, 2, 3