Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1) - 2-группа;

2) - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит .

2. , то ----свободна.

3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

4. - разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.

5. - разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

6. - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7. и - простая неабелева группа, то .

8. и , то .

9. для .

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) или , где - 5-группа;

2) , где - 3-группа.

C. - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и - дисперсивная группа порядка , где .

1. конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2. - конечная группа и - простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.

3. - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и циклической силовской -подгруппой , то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка , где и - простые числа, и не делит , нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8. - подгруппа примарного индекса конечной группы , то .

9. - группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10. - группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и - простое число или 9; или и .

1. конечная неразрешимая группа принадлежит , то , где , а и .

2. класс замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если - минимальная нормальная в подгруппа, то либо , либо - простая неабелева группа, и , где .

3. класс разрешим и - простая неабелева группа из , то:

1) , , и или - простое число;

2) , и - простое число;

3) , , ;

4) , или , или соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

1) - 2-группа;

3) .

Здесь - центр группы , - наибольшая нормальная в подгруппа нечетного порядка. Через обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа, но не содержится в . Поэтому не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа называется -свободной, если в ней нет подгрупп и таких, что нормальна в и изоморфна .

2. , то ----свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа индекса 2 в и изоморфна . Так как несверхразрешима, то - несверхразрешимая подгруппа четного в индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы обозначается через .

3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

Если не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , см. , с. 192. Так как несверхразрешима, то индекс в группе нечетен, и - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что элементарная абелева или типа .

4. - разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5. - разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть не 2-группа. По лемме 4 подгруппа нормальна в . Через обозначим -холловскую подгруппу из . Так как имеет четный индекс, то сверхразрешима и . Теперь содержится в центре , а поскольку , то - 2-группа. Группа не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то индекс нечетен и - силовская 2-подгруппа из . Следовательно, содержится в и по лемме 2.2 получаем, что содержится в . Лемма доказана.

Пусть - разрешимая группа, и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа нормальна в и является элементарной абелевой подгруппой. Так как - не 2-группа, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что - минимальная нормальная в подгруппа порядка , и - показатель 2 по модулю , где делит . Поэтому - минимальная нормальная в подгруппа.

Централизатор содержит и нормален в , поэтому и . Значит самоцентрализуема.

Пусть - -холловская подгруппа в . Тогда - максимальная в подгруппа и совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент в такой, что не содержится в . Так как и содержится в , то и . Пусть . Тогда , а по теореме Машке в существует подгруппа такая, что и допустима относительно , т.е. . Но индекс подгруппы четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и . Теперь централизует всю силовскую подгруппу , противоречие.

Следовательно, содержится в для всех неединичных элементов из и - группа Фробениуса с ядром , см. , с.630.

Пусть - произвольный нечетный делитель порядка группы , и пусть - -холловская подгруппа из . Так как самоцентрализуема, то не 2-нильпотентна и в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и - элементарная абелева подгруппа порядка . Из свойств групп Шмидта следует, что - показатель 2 по модулю . Необходимость доказана.

Обратно, пусть - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная в подгруппа порядка где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка . Пусть - произвольная подгруппа из . Тогда либо , либо , либо , либо - группа Фробениуса с ядром . Если , то индекс нечетен. Если или , то 2-нильпотентна. Пусть - группа Фробениуса и не содержится в . Поскольку не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская подгруппа порядка , а - циклическая -подгруппа. Так как - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что - показатель 2 по модулю , значит и , т.е. . Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда каждая подгруппа из четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть - элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа порядка см. , с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7. и - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в типа то по теореме из . Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу , где и . Если , то - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам и .

Рассмотрим . Если не простое, то содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, - простое. Несверхразрешимыми в являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через обозначим разрешимый радикал группы .

8. и , то .

Пусть - минимальная нормальная в подгруппа. Тогда . Если , то индекс в четен и должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому - простая подгруппа и изоморфна или . Теперь нечетен, и - подгруппа из .

Если , то , поэтому .

Пусть , - простое. Так как - циклическая группа порядка , то либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть и - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм группы централизует , см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе группы есть подгруппа индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в и не принадлежит .

Страницы: 1, 2, 3