Курсовая работа: Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

9.  для .

Пусть  - подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть  - центральная инволюция в . Если , то  - подгруппа в  четного индекса. Так как , то  сверхразрешима, поэтому и  сверхразрешима.

Пусть  не принадлежит . Тогда . Допустим, что  несверхразрешима. Так как  - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что  изоморфна  или . Но теперь силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале  - разрешимая группа,  и . Если  - не 2-группа, то легко проверить, что  и по лемме 6 группа  из пункта 2 теоремы.

Пусть  неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если  разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа  имеет четный индекс в группе . Так как  сверхразрешима и , то  - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть  - централизатор подгруппы  в группе .

Для каждого нечетного простого  подгруппа  имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому  для всех нечетных  и индекс  в группе  четен или равен 1. Если , то в  есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит,  и  содержится в центре .

Если , то  - квазипростая группа и  не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа  изоморфна  или . Теперь по теореме из , с.646 группа  изоморфна  или .

Пусть  - собственная в  подгруппа. Тогда  имеет нечетный индекс и . Так как  - собственная в  подгруппа, то из леммы 8 получаем, что  изоморфна , a  изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если , то

и  делит . Если , то

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь  - наибольшая нормальная в  -подгруппа;  - подгруппа Фиттинга группы ;  - циклическая группа порядка .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

Если  - собственная подгруппа в группе , то  удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа  -нильпотентна. Теперь группа  либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. , с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как  - главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в , с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе  все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и  - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому  -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в  дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть  - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как  бипримарна, а индекс  в группе  по условию леммы примарен, то группа  либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

Пусть  - рассматриваемая группа. Так как  сверхразрешима и , то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку  не делит , то силовская -подгруппа  из  содержится в . Теперь  лежит в центре . Факторгруппа  нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть  - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа  - циклическая. Поскольку  не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где  - простое число. Теперь  для силовской -подгруппы из  и  является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 подгруппа  содержит нормальную в группе  подгруппу  такую, что факторгруппа  изоморфна

В факторгруппе  по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В  и  имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе  степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В  внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в  имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно:  (см. , с.73). Поэтому  - 5-группа,  изоморфна  и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна

Где

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь . Подгруппа  характеристична в , a  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 20 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  или  по , c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции

Так как

то . По свойству коммутантов . Следовательно,

Случай  рассмотрен полностью.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому  - 5-группа,  изоморфна , и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа, и пусть  - центр . По индукции фактор-группа  изоморфна

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа  характеристична в , а подгруппа  нормальна в , поэтому  нормальна в . Кроме того,

Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как  имеет индекс 40 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и  нормальная в  подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит,  и  лежит в центре . Теперь

и для инволюции  подгруппа  нормальна в . Следовательно,

и факторгруппа  проста.

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции , где  изоморфна  или , а

Так как

то . По свойству коммутантов , значит,

Так как , то подгруппа  изоморфна  и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай . Группа  допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому  - 3-группа,  изоморфна  и  - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна , где

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа  характеристична, в  а подгруппа  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где  - подгруппа порядка 7, а  - 3-группа. Отсюда следует, что  нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. В этом случае .

Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов . Следовательно,

где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть  - разрешимая группа порядка , где  - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из  сверхразрешима. Предположим, что  -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа  нормальна в . Если  сверхразрешима, то  дисперсивна. Если  несверхразрешима, то все собственные подгруппы из  имеют в группе  непримарные индексы. Поэтому  - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь  дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа  содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где  - холловская -подгруппа. Так как  дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа  не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из  не нормальна в . Предположим, что . Так как  не -нильпотентна, то в  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где  - некоторая -группа, и  или . Из минимальности  по лемме 3 получаем, что  несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где  - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу  можно выбрать так, что  - холловская -подгруппа в группе . Если  нормальна в , то  - нормальная в  холловская подгруппа. Так как  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то  - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.

Следовательно,  не нормальна в  и подгруппа  не -нильпотентна. Так как  дисперсивна, то  нормальна в . По лемме 2 в группе  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но  циклическая, поэтому  - простое число и по лемме 3 подгруппа  сверхразрешима и  есть -группа. Значит, , где  - силовская -подгруппа в , a  - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу . Она дисперсивна. Если  нормальна в , то  дисперсивна. Противоречие. Значит,  нормальна в .

Итак, в группе  холловские подгруппы имеют строение:  сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ;  с силовской -подгруппой шмидтовского типа;  - подгруппа Шмидта.

Страницы: 1, 2, 3