Дипломная работа: Комплексные числа (избранные задачи)

Решение

Положив , получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y:

.

По формулам Кардано:

.

Легко видеть, что .

Следовательно, число  является одним из значений кубического

корня из комплексного числа  (тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).

Таким образом, , , тогда

, .

Итак, ,

,

.

Отсюда находим корни квадратного уравнения:

,

,

.

Ответ: ; ;

.

Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) .

Дискриминант , т.е. , то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

 б) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:

 (б*). Откуда дискриминант , т.е. , то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительный корня.

в) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:  (в*). Отсюда , , то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Задача 72. Решите уравнения: а) ;

б) .

Решение.

а) .Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки , получим уравнение:

, где , .

Зная, что:

;

;

.

По формулам Кардано:

Таким образом, получаем , значит , , , .

Следовательно, ; ; .

Откуда, , , .

б) .

Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем , .

Таким образом, получаем: , .

Тогда , , , .

Следовательно, , .

Ответ: а) , , ;

б) , .

Задача 73. Решите уравнения: а) ;

б) .

Решение.

а) Преобразуем уравнение  (а) по методу Феррари: ,

,

. (а*)

Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:

Откуда с учетом равенства (а*) находим:

,

(а**).

Теперь подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант

правой части равенства (а**) обратился в нуль.

Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:

;

;

.

В частности, , если .

Подставив найденное значение в равенство (а*), получим:

, или .

Откуда, ,

,

 или .

Следовательно, ; ; ; .

б) .

Преобразуем это уравнение по методу Феррари:

,

,

. (б*)

Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:

Откуда с учетом равенства (б*) находим:

(а**).

Подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (а**) обратился в нуль.

Легко видеть, что дискриминант D равен нулю, если . следовательно, подставив значение  в равенство (б**), получим:

;

.

Откуда, ,

 или .

Следовательно,

; ; ; .

Ответ: а) ; .

б) ; 3; 1.

2.5. Комплексные числа и параметры

«Параметр (от греч.  - отмеривающий) величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Например, уравнение , где а > 0, хR, yR, задает множество всех концентрических ок­ружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. 33).

Рис. 33.

Если а = 1, то получим окружность 1), если а = 2, то - окружность 2) и т.д.

Интересно и следующее определение параметра «Неизвестные величины, значения которых задаем мы сами, называются параметрами».

Пусть, например, нужно решить уравнение

. Вряд ли легко мы справимся с этим уравнением, если будем решать относительно x, считая a параметром.

Лучше сначала считать х параметром и решать квадратное относительно а уравнение , а затем поменять x и a ролями.

Получим  Остается решить два уравнения что труда уже не составит.

Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексные числа и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями (неравенствами) с параметром.

Определение 1. Пусть дано равенство с переменными x и a:. Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение  называется уравнением с переменной x и параметром a.

Параметр обычно обозначается первыми буквами ла­тинского алфавита: а, b, с, d ...

Переменная, относительно которой решается уравнение последними буквами латинского алфавита: x, у, z, t, и, v.

Определение 2. Под областью определения уравнения с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых  имеет смысл.

Иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой не­равенств, множество решений которой и является областью определения уравнения.

Определение З. Под решением уравнения  c параметром a будем понимать систему значений x и a области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.

Определение 4. Решить уравнение  с параметром a - это значит, для каждого действительного значения a найти все решения данного уравнения или уста­новить, что их нет.

Определение 5. Уравнения  и равносильны при фиксированном значении а = а0, если уравнения без параметра  и  рав­носильны.

Определение 6. Уравнение  является следствием уравнения  при некотором значении a=а0, если множество решений уравнения  содержится среди множества решений уравнения .

Задача 74. Определите семейство линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями:

а) ; б) .

Решение

а) . О.О.У.:

,

Решаем уравнение (1).

1)                Пусть :  получим уравнение оси абсцисс, исключая начало координат.

2)                : , . Это семейство концентрических окружностей с центром в точке  радиуса .

б) .

Пусть , тогда . И .

1) Если , то полу чаем семейство из двух прямых с уравнениями  и .

2) Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках ,  и асимптотами  и .

3) Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями

, с вершинами в точках ,  и асимптотами  и .

Ответ: а) 1. Если , то – уравнение оси абсцисс, исключая точку .

2. Если , то – семейство концентрических окружностей с центром в точке  радиуса .

б) 1. Если , то – семейство из двух прямых с уравнениями  и .

2. Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках ,  и асимптотами  и .

3. Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках ,  и асимптотами  и .

Задача 75. При каких значениях n верно равенство .

Решение

Тригонометрическими формами записи комплексных чисел  и , являются  и .

Возведем в степень n, получим  и .

Тогда:

Ответ:

Задача 76. При каком значении d  уравнением  задана ось ординат в комплексной плоскости, исключая начало координат?

Решение

О.О.У.:

Пусть . Тогда .

.

, .

Если , то получим уравнение .

Ответ: .

Задача 77. Среди всех комплексных чисел z таких, что , где , есть ровно одно число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Решение

Запишем искомое число в тригонометрической форме:

. Тогда  и .

Перейдем к уравнению , где . Получаем квадратное уравнение , где , .

.

Рассмотрим 2 случая:

1. : ,

 . Тогда  и .

2. :

 .

Введем функцию . Интересует случай, когда один из корней квадратного трехчлена больше 0, а другой – меньше 0 (Рис. 34).

Рис. 34.

Достаточно решить систему неравенств:    Эта система несовместна, поэтому такой случай невозможен.

Ответ: .

Задача 78. При каких действительных значениях a среди комплексных чисел  таких, что , нет ни одного числа, модуль которого равен 2.

Решение

Комплексное число  с модулем  запишется так: .

Тогда .

Получим уравнение .

1.Если , то уравнение действительных решений не имеет.

2.Пусть :

Решая систему методом «лепестков» (Рис. 35), видим, что она несовместна.

Рис. 35.

3. : ,

  .

Последнее уравнение не имеет корней, если a удовлетворяет системе:

Изобразим графически решение в данных случаях (рис. 36).

Рис. 36.

Ответ: .

Задача 79. Для каждого действительного числа a найдите все комплексные числа , удовлетворяющие равенству: а) ;

б) .

Решение

а) Пусть , тогда из исходного уравнения имеем .

Отсюда получаем систему для нахождения x и y:

из которой следует, что . Подставляя это значение x в первое уравнение, имеем . Корни этого уравнения действительны тогда и только тогда, когда его дискриминант является действительным числом, т. е. . Для этих значений a найдем   причем , то . Неравенство  выполняется для всех a из промежутка . Таким образом, исходное уравнение при  имеет два корня: ,  при  решений не имеется.

б) Перепишем данное уравнение в виде . Так как  и a – действительные числа, то отсюда заключаем, что число z является чисто мнимым числом.

Пусть , тогда из исходного уравнения находим, что , т. е. .

Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:

Уравнение  имеет два корня:  при любом значении a. Неравенству  удовлетворяет (при любом значении a) только число .

Уравнение  второй системы совокупности имеет действительные решения только при условии , т. е. при . Корнями этого уравнения при каждом  являются числа .

Ясно, что при  оба корня  и  меньше нуля, а при  – больше нуля.

Таким образом, исходное уравнение:

при  имеет один корень ;

при  имеет три корня , , .

Ответ: а) при , то ,

б) при , то ;

при , то , , .

Задача 80. Для каких действительных чисел a не существует комплексных чисел z, для которых выполняются равенства , ?

Решение

Заметим, что  равняются расстоянию между точками  и  на комплексной плоскости. При фиксированном a точки , для которых , лежат на окружности с центром в  и радиусом 2. (Вообще, множество , для которых , есть окружность с центром в  и радиусом ). Аналогично равенство . Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств:  или , т.е.  или .

Ответ:  или .

Задача 81. При каких действительных чисел a любое комплексное число, удовлетворяющее уравнению , удовлетворяет одновременно и неравенству ?

Решение

Пусть . Тогда  и получим уравнение

Если , то имеем уравнение окружности с центром в точке  и

. От неравенства  перейдем к неравенству

Рассмотрим ряд случаев в зависимости от значений a.

1. , т.е. . Неравенство (2) выполняется при любых парах действительных значений x и y, в том числе и при решениях уравнения (1).

2. Пусть :

Система решений не имеет.

3.Если , то получим систему

Неравенству системы удовлетворяют все пары значений x и y (), кроме  – не является решением уравнения системы.

4.Аналогично убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет и .

5.Остается рассмотреть следующее множество значений a: .

В этом случае  и неравенство (2) задает множество точек комплексной плоскости, расположенных вне окружности, заданной уравнением . (3) (Рис. 37).

Обозначим радиус этой окружности через r (). И достаточно найти такие значения a из рассматриваемого множества, при которых окружность, заданная уравнением (1), расположена вне окружности с уравнением (3).

 Рассмотрим прямоугольный треугольник : ; ; ; .

Рис. 37.

Получим неравенство .

, , т.о. .

Учтем множество значений a, на котором мы решаем систему (рис. 38):

Рис. 38.

Таким образом, .

Ответ: .

Задача 82. Найдите все действительные a такие, что система уравнений  не имеет решений.

Решение

1. Если , то решений нет.

2. При , .

3. Если :

Каждое из данных уравнений задает на комплексной плоскости окружность. Пусть О1 и О2 – центры этих окружностей, r1 и r2 – соответствующие радиусы.

Если расстояние между их центрами  удовлетворяют условиям , то окружности имеют хотя бы одну общую точку. тогда получим систему неравенств

Поэтому при  система решений не имеет.

Ответ: .

3. Заключение

В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.

1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.

2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

3) Решены задачи, посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости;

4) Рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

5) Приведены решения некоторых уравнений 3-й и 4-й степеней;

6) Решены некоторые задачи содержащие комплексные числа и параметры.

Материал, изложенный в выпускной квалификационной работе может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе.

4. Список литературы

1.            Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В., Егоров А.А., Земляков А.Н., Моркович А.Г. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс. – М.: Просвещение, 1980.

2.            Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2000.

3.            Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1975.

4.            Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.

5.            Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые. Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2001.

6.            Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1971.

7.            Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.

8.            Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998.

9.            Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1989.

10.       Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2004.

11.       Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1987.

12.       Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, И.И. Кулагина. – М.: Дрофа, 2000.

13.       Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– М.: Просвещение, 1995.

14.       Математика в школе. № 3, 1990.

15.       Математика в школе. № 6, 1992.

16.       Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966.

17.       Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1988.

18.       Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.

19.       Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989.

20.       Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

21.       Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

22.       Энциклопедический словарь юного математика. (Составитель Савин А.П.). – М.: Педагогика, 1989.

23.       Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.