Так как , то . Это множество – серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A (0; 2), B (0; 4) – точки, соответствующие числам и . Уравнение этого перпендикуляра есть . Из второго уравнения системы имеем . Пусть , тогда . Так как для каждой из искомых точек, то ; . корнями этого уравнения являются числа 2 и – 4. системе уравнений удовлетворяют 2 числа: и .

Ответ: ; .

Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .

Решение

Пусть , тогда и, значит,

, . Исходное неравенство перепишется так: . Последнее неравенство можно заменить системой двух условий: и , или и .

Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая ) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).

Рис. 28.

Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие . В каких пределах изменяется .

Решение

Множество точек, заданное условием , определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством .

Пусть , тогда , , . Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение при условии . Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях система

имеет хотя бы одно решение?

Последняя система равносильна следующей:

или

Эта система имеет решения тогда, когда имеет решение квадратное неравенство . Так как коэффициент при положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем

при .

Ответ: .

2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть вектор задается на комплексной плоскости числом .

Обозначим через φ угол между положительной полуосью Ox и вектором (угол φ считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае).

Рис. 29

Обозначим длину вектора через r. Тогда . Обозначим также

Тогда

Запись отличного от нуля комплексного числа z в виде

(2)

называется тригонометрической формой комплексного числа z. Число r называется модулем комплексного числа z, а число φ называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg z.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа – (формула Эйлера) – показательная форма записи комплексного числа:

У комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если φ0 – какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле

Для комплексного числа аргумент и тригонометрическая форма не определяются.

Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа является любое решение системы уравнений:

(3)

Значение φ аргумента комплексного числа z, удовлетворяющее неравенствам , называется главным и обозначается arg z.

Аргументы Arg z и arg z связаны равенством

, (4)

где

Формула (5), является следствием системы (3), поэтому все аргументы комплексного числа удовлетворяют равенству (5), но не все решения φ уравнения (5) являются аргументами числа z.

Главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа находиться по формулам:

Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид:

. (6)

. (7)

При возведении в натуральную степень комплексного числа используется формула Муавра:

. (8)

При извлечении корня из комплексного числа используется формула:

, (9)

где k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Вычислите , где .

Решение

Представим решение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа: .

Если , то .

Тогда , . Поэтому , тогда и , где .

Ответ: , при .

Задача 55. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Решение

Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:

а) В комплексном числе : .

Тогда

Поэтому

б) , где ,

в) , где ,

г) , где ,

д) , где ,

е) .

ж) , а , то .

Поэтому

Ответ: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа

Решение

Пусть , .

Тогда , , .

Поскольку и , , то , а

Следовательно, , поэтому

, где .

Ответ: , где .

Задача 57. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: .

Решение.

Представим числа и в тригонометрической форме.

1) , где тогда

Находим значение главного аргумента :

Подставим значения и в выражение , получим

2) , где тогда

Тогда

3) Найдем частное

Далее, применяя формулу (9) получим:

Полагая k=0, 1, 2, получим три различных значения искомого корня:

Если , то

если , то

если , то .

Ответ: :

: .

Задача 58. Пусть , , , – различные комплексные числа и . Докажите, что

а) число является действительным положительным числом;

б) имеет место равенство:

Решение

а) Представим данные комплексные числа в тригонометрической форме:

, , , , так как .

Предположим, что . Тогда

Последнее выражение является положительным числом, так как под знаками синусов стоят числа из интервала .

б) Имеем

так как число вещественно и положительно. Действительно, если a и b – комплексные числа и вещественно и больше нуля, то .

Кроме того,

следовательно, нужное равенство доказано.

Задача 59. Запишите в алгебраической форме число .

Решение

Представим число в тригонометрической форме, а затем найдем его алгебраическую форму. Имеем . Для получаем систему:

Отсюда следует равенство: .

Применяя формулу Муавра: ,

получаем

Найдена тригонометрическая форма заданного числа.

Запишем теперь это число в алгебраической форме:

Ответ: .

Задача 60. Найдите сумму , ,

Решение

Рассмотрим сумму

Применяя формулу Муавра, найдем

Эта сумма представляет собой сумму n членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом .

Применяя формулу для суммы членов такой прогрессии, имеем

Выделяя мнимую часть в последнем выражении, находим

Итак, .

Выделяя действительную часть, получаем также следующую формулу: , , .

Ответ: .

Задача 61. Найдите сумму:

а) ; б) .

Решение

По формуле Ньютона для возведения в степень имеем

По формуле Муавра находим:

Приравнивая вещественные и мнимые части полученных выражений для , имеем:

и .

Эти формулы в компактном виде можно записать так:

, где - целая часть числа a.

Ответ: ; .

Задача 62. Найдите все , для которых .

Решение

Поскольку , то, применяя формулу

, Для извлечения корней, получаем ,

Следовательно, , ,

, .

Точки, соответствующие числам , расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке (0;0) (рис. 30).

Рис. 30.

Ответ: , ,

, .

Задача 63. Решите уравнение , .

Решение

По условию ; поэтому данное уравнение не имеет корня , и, значит, оно равносильно уравнению.

Для того чтобы число z было корнем данного уравнения, нужно, чтобы число было корнем п-й степени из числа 1.

Отсюда заключаем, что исходное уравнение имеет корней , определенных из равенств

Таким образом,

т. е. ,

Ответ: .

Задача 64. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .

Решение

Так как число не является корнем данного уравнения, то при данное уравнение равносильно уравнению

, т. е. уравнению .

Все корни этого уравнения получаются из формулы (см. задачу 62):

Ответ:

; ; ; ; .

Задача 65. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: . (2-й способ решения задачи 45)

Решение

Пусть .

Тогда .

Комплексным числам, имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат, поэтому неравенству удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченного окружностями с общим центром в начале координат и радиусами и (рис. 31). Пусть некоторая точка комплексной плоскости соответствует числу w0. Число , имеет модуль, в раз меньший модуля w0, аргумент, на больший аргумента w0. С геометрической точки зрения точку, соответствующую w1, можно получить, используя гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом , а также поворот относительно начала координат на угол против часовой стрелки. В результате применения этих двух преобразований к точкам кольца (рис. 31) последнее перейдет в кольцо, ограниченное окружностями с тем же центром и радиусами 1 и 2 (рис. 32).

Рис. 31.

Рис. 32.

Преобразование реализуется с помощью параллельного переноса на вектор . Перенося кольцо с центром в точке на указанный вектор, получим кольцо такого же размера с центром в точке (рис. 22).

Предложенный способ, использующий идею геометрических преобразований плоскости, наверное, менее удобен в описании, но весьма изящен и эффективен.

Задача 66. Найдите , если .

Решение

Пусть , тогда и . Исходное равенство примет вид . Из условия равенства двух комплексных чисел получим , , откуда , . Таким образом, .

Запишем число z в тригонометрической форме:

, где , . Согласно формуле Муавра, находим .

Ответ: – 64.

Задача 67. Для комплексного числа найдите все комплексные числа , такие, что , а .

Решение

Представим число в тригонометрической форме:

. Отсюда , . Для числа получим , может быть равен либо .

В первом случае , во втором

Ответ: , .

Задача 68. Найдите сумму таких чисел , что . Укажите одно из таких чисел.

Решение

Заметим, что уже из самой формулировки задачи можно понять, что сумма корней уравнения можно найти без вычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения есть коэффициент при , взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), т.е. .

Приведем и другое возможное обоснование. Пусть – корень уравнения. Тогда также является его корнем, поскольку , и сумма всех корней равна нулю.

Допустимо и такое решение. Представив правую часть исходного уравнения в тригонометрической форме, получим

. Отсюда

, где .

Далее вычисляем сумму четырех корней, которая равна нулю.

Ответ: ; – одно из таких чисел.

2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений

3- и 4-й степени

Рассмотрим решение кубического уравнения

(1)

на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида:

для чего произведем подстановку:

Получим уравнение:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению:

где , и

(Замечание.

Переход к приведенному кубическому уравнению можно осуществить с помощью схемы Горнера, разложив многочлен по степеням двучлена )

Для корней кубического уравнения

(2)

имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро – Тартальи - Кардано.

Впервые приведенное кубическое уравнение

решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро в конце XV века. Затем в 1535 году те же формулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения (1) было изложено в книге Джероламо Кардано "Ars Magna" ("Великое искусство").

Формулы Кардано имеют вид:

где – значения радикала

Практически корни находятся проще.

Пусть – одно (любое) значение радикала u. Тогда два других значения можно найти следующим образом:

;

где e1 и e2 – значения корня кубического из 1 , т.е.

Если вычислитьто получим:

; .

Действительно,

Аналогично доказывается равенство .

Подставляя полученные значения и в формулу

находим практические формулы:

;

В нашем случае:

Таким образом, положим . Тогда

следовательно,

, , .

Из последних равенств, учитывая, что получаем:

, , .

Ответ: ; ; .

Для приведенного кубического уравнения

(3)

дискриминант вычисляется по формуле:

При этом:

а) если , то уравнение (3) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;

б) если , то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны;

в) если , то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.

Таким образом, в любом случае уравнение (3) с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Рассмотрим решение уравнения 4-й степени методом Феррари на конкретном примере.

Пример 2. Решите уравнение

Решение.

Оставим в левой части уравнения члены, содержащие и :

Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата:

или

(1)

Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r:

Откуда с учетом равенства (1) получим:

(2)

Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).