2.6 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.7 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.8 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.13 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -субнормальная подгруппа группы ;

2) --- -достижимая подгруппа группы .

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь

в которой для любого либо нормальна в , либо .

Пусть . Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи.

Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы , содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь нормальна в . Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа -субнормальна в . Лемма доказана.

2.14 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в , принадлежит ;

2) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в , принадлежит .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы .

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, --- -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что и --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как --- формация, то . Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Покажем, что . Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как --- наследственная формация, то . Итак, .

Рассмотрим следующие два случая.

1) Пусть --- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .

2) Пусть --- неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .

Так как и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа .

Итак, --- собственная подгруппа . Если , то

Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Согласно индукции, группа принадлежит формации . Согласно лемме 3.2.13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа принадлежит .

Непосредственно из определения -субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.

Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.

2.15 Теорема. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.16 Следствие. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.17 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.18 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.19 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

3. Сверхрадикальные формации

В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.

В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: , где --- некоторые множества простых чисел, а --- множество всех разрешимых -групп.

В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.

Приведем примеры сверхрадикальных формаций.

3.1 Пример. Формация всех -групп , где --- некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.

Действительно. Пусть , где и --- -группы, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как формация замкнута относительно расширений, то, очевидно, что --- -группа.

3.2 Пример. Формации , --- сверхрадикальные формации.

Действительно, если --- -субнормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая группа , где и --- нильпотентные субнормальные подгруппы из , нильпотентна.

Если --- разрешимая -субнормальная подгруппа из , то разрешима. Следовательно, --- сверхрадикальная формация.

Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.

Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.

Напомним, что формациями Фиттинга называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.

3.3 Лемма. Пусть --- наследственная сверхрадикальная формация, тогда --- формация Фиттинга.

Доказательство. Пусть , где и --- нормальные -подгруппы группы . Так как

то . Аналогичным образом, . Согласно лемме 3.1.4, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как --- сверхрадикальная формация, то . Итак, --- формация Фиттинга. Лемма доказана.

3.4 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Если содержит любую группу , где для любого из силовские -подгруппы и принадлежат и -субнормальные подгруппы в , то --- сверхрадикальная формация.

Доказательство. Пусть --- непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что --- сверхрадикальная формация. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Пусть --- произвольное простое число из , а и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и принадлежат и --- наследственная формация, то и принадлежат и, и -субнормальны в и соответственно. Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Согласно условию леммы, принадлежит . А это значит, что --- сверхрадикальная формация. Лемма доказана.

3.5 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- сверхрадикальная формация;

2) --- содержит любую группу , где и для любого простого числа из силовские -подгруппы и -субнормальны в .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть --- сверхрадикальная формация и пусть , где и для любого простого числа из и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как --- насыщенная формация и , то и принадлежат . Так как --- разрешимая формация и --- -субнормальная подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать, что --- разрешимая группа. А это значит, что и разрешимы.

Согласно теореме Ф. Холла [63], , где . Так как --- сверхрадикальная формация, то принадлежит . Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10, --- -субнормальная подгруппа группы . Так как принадлежит и --- сверхрадикальная формация, то подгруппа принадлежит . Продолжая в аналогичном порядке получаем, что принадлежит . Аналогичным образом можем доказать, что принадлежит . Так как --- сверхрадикальная формация, то .

Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.

В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.

3.6 Теорема [20-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- сверхрадикальная формация;

2) , где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Пусть --- сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы, разрешима. Если , то нетрудно заметить, что --- группа простого порядка , где .

Рассмотрим случай, когда . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа, , --- максимальный внутренний локальный экран формации . Очевидно, что .

Покажем, что является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку --- разрешимая группа, то в существуют максимальные подгруппы и такие, что . Так как , то очевидно, что и --- -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда . Так как --- сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак, имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, --- циклическая -подгруппа. Поскольку --- насыщенная формация и , имеем .

Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть и --- циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . Пусть --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, подгруппы , принадлежат формации .

Пусть , где . Обозначим через базу сплетения . Тогда .

Так как , то , значит, что подгруппы и -субнормальны в . Легко видеть, что , .

Так как --- сверхрадикальная формация, то . Но , и поэтому .

Полученное противоречие показывает, что . Итак, --- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что --- группа Шмидта.

Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что формация имеет полный локальный экран такой, что , для любого из . Действительно, пусть --- такая формация, у которой есть локальный экран . Покажем, что .

С учетом того, что для любого простого из , получим .

Покажем обратное включение. Пусть --- группа наименьшего порядка из . Так как --- наследственная формация, то формация также является наследственной, значит, . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Выше показано, что --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть --- группа простого порядка и . Нетрудно показать, что . Так как , имеем . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть теперь --- группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует , где и . Так как , то . Из того, что , следует . Так как и --- наследственная формация, то . Теперь из того, что , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , следует что . Получили противоречие. Итак, , значит, .

Так как --- локальный экран формации , имеем

следовательно, --- формация из 2).

Пусть . Тогда из следствия 3.2.5 следует, что --- сверхрадикальная формация. Теорема доказана.

Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации можно отбросить, в случае, когда --- разрешимая формация.

3.7 Лемма. Пусть --- разрешимая нормально наследственная формация. Если и , то .

Доказательство. Пусть и . Если , то утверждение леммы очевидно. Пусть . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа группы . Если , то .

Пусть . Ясно, что . Так как и --- нормально наследственная формация, то . Индукцией по порядку группы получаем, что . Лемма доказана.

Если --- произвольный класс групп, то через обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса . Более точно

3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.

Доказательство. Пусть --- разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Покажем, что , где --- максимальная наследственная подформация из . Допустим, что множество непусто и выберем в нем группу наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Так как , то в найдется минимальная не -группа . Из нормальной наследственности формации следует, что . Ясно, что является также минимальной не -группой.

По условию, --- группа Шмидта. В этом случае , где --- нормальная силовская -подгруппа, а --- циклическая -подгруппа группы , и --- различные простые числа.

Если , то

Получили противоречие с выбором . Остается принять, что . Отсюда и из получаем, что , а значит, --- -группа. Рассмотрим . Тогда группу можно представить в виде

где --- элементарная абелева -группа, а . Так как не входит в , то по лемме 2.2.12 , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как и , то является -группой. Отсюда следует, что . Из нормальной наследственности формации , по теореме 2.2.13, следует, что является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, . Получили противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.

Напомним, что формация называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

3.9 Теорема [16-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- формация Шеметкова;

2) формация содержит любую группу , где и --- -достижимые -подгруппы из и ;

3) --- сверхрадикальная формация и ;

4) формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп и подгруппа -субнормальна в и ;

5) формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп и подгруппа -достижима в и ;

6) , где --- некоторые множества простых чисел и .

Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.

3.10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация содержит любую группу , где и --- -субнормальны в G и ;

2) , где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть --- формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть --- любая группа такая, что , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . Пусть и произвольные -силовские подгруппы из и соответственно. Так как , и --- наследственная формация, то и -субнормальны соответственно в и . Так как и -субнормальны в , то по лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Отсюда следует, что . Следовательно, --- сверхрадикальная формация.

Теперь, согласно теореме 3.3.6, получаем, что .

Обратное утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.

Из леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , силовские подгруппы которых обобщенно субнормальны в .

Как следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.

Заключение

В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.

В главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в , теорема 2.3 [10-A,13-A].

В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].

Основные научные результаты работы

В данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами.

1. Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в [10-A, 13-A].

2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A].

3. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов [18-A].

4. Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация , замкнутая относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].

5. Получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова [14-A, 21-A].

6. Получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова [14-A, 21-A].

7. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].

Полученные результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп, в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно субнормальных и критических подгрупп.

Решенные в диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче об описании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведений обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях, написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.

Список использованных источников

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.

6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.

12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.

13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.

15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.

18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.

19. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.

20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.

21. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.

22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций по заданным свойствам минимальных не -групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.

23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не -групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.

24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.

25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не -групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.

26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.

27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.

28. Семенчук, В.Н. Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.

29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.

30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.

31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.

32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.

33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.

34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые -достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.

35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.

36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.

37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.

38. Тютянов, В.Н. Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.

39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.

40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.

41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.

42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.

43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.

44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.

45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.

46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.

47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.

48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.

49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.

50. Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.

51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.

52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.

53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.

54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.

55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.

56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.

57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.

58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.

59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.

60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.

61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.

62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.

63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.

64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.

65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.

66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.

67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.

68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.

69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.

70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.

71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.

72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.

73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.

74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.

75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.

Страницы: 1, 2, 3