Дипломная работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Дипломная работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2008

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1 Некоторые базисные леммы

2 Критерий принадлежности факторизуемой группы

классическим классам конечных групп

3 Сверхрадикальные формации

Заключение

Список использованных источников

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

 ---

дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида .

Буквами  обозначаются простые числа.

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 ---

множество всех простых делителей порядка группы ;

-группа --- группа , для которой ;

-группа --- группа , для которой ;

 --- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- -холлова подгруппа группы ;

 --- силовская -подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;

 --- нильпотентная длина группы ;

 --- -длина группы ;

 --- минимальное число порождающих элементов группы ;

 --- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

 --- циклическая группа порядка .

Если  и  --- подгруппы группы , то :

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --

- ядро подгруппы  в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с  в ;

 --- нормальное замыкание подгруппы  в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами группы ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- взаимный коммутант подгрупп  и ;

 --- подгруппа, порожденная подгруппами  и .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны;

 --- регулярное сплетение подгрупп  и .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой  и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если  --- класс групп, то:

 --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

 --- множество всех тех простых чисел , для которых ;

 --- формация, порожденная классом ;

 --- насыщенная формация, порожденная классом ;

 --- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

 --- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

 --- класс всех -групп из ;

 --- класс всех конечных групп;

 --- класс всех разрешимых конечных групп;

 --- класс всех -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если  и  --- классы групп, то:

.

Если  --- класс групп и  --- группа, то:

 --- пересечение всех нормальных подгрупп  из  таких, что ;

 --- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если  и  --- формации, то:

 --- произведение формаций;

 --- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если  --- насыщенная формация, то:

 --- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа  группы , если , где  --- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в  называется разрешимая нормальная подгруппа  группы , если  обладает субнормальным рядом  таким, что

(1) каждый фактор  является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора  есть степень простого числа , то .

 --- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .

Введение

Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.

Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).

Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.

Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.

Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.

Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.

Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.

Известно, что класс нильпотентных групп  замкнут относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций , замкнутых относительно произведения нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].

Развивая подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации , замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.

В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.

Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций  с тем свойством, что любая группа , где  и  -- -субнормальные -подгруппы, принадлежит .

Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных (-субнормальных, -достижимых) -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

Классифицировать наследственные насыщенные формации  с тем свойством, что любая группа , где  и  --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .

В 1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где  и  --- -нильпотентные подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.

Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число.

В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации  ( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп , но все собственные подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.

Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.

В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].

Напомним, что подгруппа  называется субнормальной подгруппой группы , если существует цепь подгрупп

такая, что для любого  подгруппа  нормальна в .

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].

Пусть  --- непустая формация. Подгруппу  группы  называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь

такая, что  для всех .

Несколько другое понятие -субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.

Подгруппу  называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп

такая, что для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо .

Для любой непустой формации  множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы  содержит множество всех субнормальных подгрупп группы  и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же  --- непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы .

В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.

Напомним, что формация  называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1)  --- нормально наследственная формация;

2) любая группа , где  и  --- -субнормальные -подгруппы из , принадлежит .

В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.

В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы

В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.

Напомним, что критической группой формации  ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через  обозначают множество всех разрешимых групп, а через  --- множество всех групп, у которых -корадикал  разрешим.

1.1 Лемма. Пусть  --- насыщенная формация,  --- наследственная насыщенная формация. Если  и , где , то .

Доказательство. Пусть . По теореме 2.2.1,  --- -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где  --- -группа,  --- -группа и . Так как  и , то . Следовательно,  --- -группа. Пусть  --- -главный фактор . Если  --- -группа, то  -централен.

Пусть  --- -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть  и  --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку

то . Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем

где  --- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно  и . Если , то . Отсюда и из того, что

следует . А это значит, что  -централен.

Пусть . Так как  --- насыщенная формация и , то . Следовательно,  --- -нормализатор группы . В силу того, что  покрывает , то  -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.

1.2 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Если  --- -субнормальная подгруппа, то  --- субнормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда  содержится в максимальной -нормальной подгруппе  группы . По индукции,  --- субнормальная подгруппа из . Так как  и  --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку  --- нормальная подгруппа группы , то  --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.

1.3 Лемма. Пусть  --- наследственная насыщенная формация,  --- -субнормальная подгруппа группы  такая, что . Тогда .

Доказательство. Пусть . Очевидно,

Так как , то по индукции . Следовательно,

Страницы: 1, 2, 3