Вступ до фінансової математики

тобто за оцінки можна взяти величини . Далі

звідки

а для коваріацій маємо

Отже з (6) і (7) маємо такі оцінки і :

Сам ринок ЦП вказує безпосередньо шлях вибору провідних факторів, що обумовлюють його поведінку. Це зводні індекси фондових ринків типу складного індексу Доу-Джонса (The Dow Jones Composite Average Index- DJCAI), індексу “Стендарт енд пурз” (S&P500), що характеризують усереднений рух курсів акцій провідних компаній. На українському ринку ЦП за провідний фактор можна взяти український фондовий індекс ПФТС.

Досвід розрахунків, що здійснювалися фінансовими аналітиками протягом довгого часу, показує що найбільш важливим провідним фактором фондового ринку є виличина, що називається ефективністю фондового ринку і визначається як зважена (з врахуванням капіталу) сума ефективностей всіх ризикових ЦП, що фігурують на ринку (за винятком неістотніх ЦП короткодіючих дрібних корпорацій). Згідно до цього основні співвідношення статистики фондового ринку приймають вигляд

З (9) випливає, що кожного ЦП і складається з “власної” компоненти, що не залежить від поведінки ринку і “ринкової” компоненти. Їхнє співвідношення часто позначається як ( - squared) і характеризує частку ризику даного активу , що вноситься невизначеністю ринку в цілому. Воно тим вище, чим вище бета цього активу.

Зручно відраховувати сподівану еефективність від ефективності безризикового вкладу . Перевищення є премією за ризик. Перепишемо (8) у вигляді

Тоді премія за ризик лінійно залежить від премії за ризик, що складається на ринку в цілому, , плюс так звана - вкладення .

Оцінка параметрів, що входять в основну статистичну модель фондового ринку (тобто параметрів “альфа” і “бета” кожного активу та) є статистичною проблемою, яка розв'язується методами описаними вище, шляхом прийняття за провідний фактор і використання МНК - оцінок

де - вибіркові середні ефективностей, що спостерігалися, і оцінка дисперсії - оцінка коваріації і :

Для обчислення оцінки величини використовується формула

де останній вираз є оцінкою “власних” варіацій ЦП

Іноді використовуються поправки до “історичних бета” на основі аналізу впливу інших факторів. Наприклад, статистичні дослідження фондового ринку США показали, що досить ефективною є формула

де - параметр, пов'язаний із сектором економіки, якому належить корпорація - емітент ЦП ( для базових галузей і - для транспорту), , а - відображає вплив розміру корпорації на оцінку бета і Формула (13) свідчить, що залежність акцій від поведінки ринку різна для різних галузей і що курс акцій більш великих корпорацій менш чутливий до коливань ефективності ринку.

Дослідження взаємодії попиту й пропозиції, що призводить до рівноваги на конкурентному ринку є однією з головних задач економічної теорії. Але класична теорія мікроекономічної рівноваги не може бути застосованою до процесів на фондовому ринку, насамперед через те, що вона не враховує роль невизначеності та фактори ризику.

Тому в середині 60-х років XX ст. В працях У. Шарпа))* Sharpe W. F. Capital asset price: A theory of market equilibrium under condition of risk // J. of Finance, 1964, v.19, p.425-442.*, Дж. Лінтнера та Моссина була побудована нова теоретична модель рівноваги на конкурентному фондовому ринку, що отримала назву моделі ціноутворення капіталовкладень (Capital Assets Pricing Model - CAPM).

В цій моделі розглядається поведінка множини інвесторів () на ринку ЦП. Нехай безризиковим ЦП відповідає індекс , а ризиковим - індекси . Припускається, що в початковий момент інвестор має частку повної кількості ризикових ЦП виду , а початкова вартість цього (ринкова оцінка емітента) є . При фіксованій кількості ЦП вона пропорційна ціні одного ЦП. Нехай інвестор ще вкладає суму у безризикові ЦП, так що його початковий капітал є

Основні припущення моделі такі: 1) всі інвестори мають однакову інформацію про ефективність вкладення у будь-які ЦП, що виражається значенням сподіваних ефективностей ЦП та коваріацій 2) всі інвестори прагнуть придбати портфель ризикових ЦП, оптимальний за структурою, а при розподілі капіталу на ризикову й безризикову частини прагнуть максимізувати сподіване значення квадратичної функції корисності, тобто максимізують величини де - сподівана ціна портфелю в майбутньому та її дисперсія, а параметр - характеризує ступінь ухилення від ризику інвестора

З цих припущень й теорії оптимального портфелю випливає, що всі інвестори прагнуть придбати однакові за структурою портфелі ризикових ЦП, тому ефективність ризикової частини вкладень у всіх однакова й дорівнює

Якщо інвестор вкладе частку свого вихідного капіталу у безризикові ЦП, а все інше - у ризикові, то його новий капітал зміниться до рівня :

де - ефективність безризикового вкладення. Сподівана корисність цього капіталу дорівнює

Максимум досягається при виборі

Сумарний капітал, який через вказаний принцип повинен бути вкладеним у ризикові ЦП всіма інвесторами, складає

( характиризує середнє ухилення від ризику всіх інвесторів).

Рівновагою на ринку є ситуація, коли цей капітал збалансований зі сумарною вихідною вартістю ризикових ЦП: Умова балансу ставить таку вимогу до рівноважних цін:

Отже, загальний рівень цін рівноважного ринку обернено пропорційний до середнього ухилення інвесторів від ризику (або ж є пропорційним їхній середній схильності до ризику).

Далі з оптимальності структури ризикової частини випливає основне співвідношення САРМ:

яке було отримано раніше в параграфі 5.

Ефективності через ціни виражаються як

де - ціни (ринкові оцінки) ЦП - того типу в майбутньому, а - відповідна оцінка ринку в цілому:

Неважко встановити, що

де - дисперсія оцінки ринку в майбутньому,

Підставляючи ці вирази до основного співвідношення САРМ і виконуючи прості перетворення, отримуємо, що

При цьому враховується, що структура ризикової частини рівноважного ринку є оптимальною, тобто і

Залишається тільки виключити з допомогою рівняння балансу, яке з врахуванням умов оптимальності має вигляд:

Тоді кінцевий вираз для рівноважних цін такий:

Якщо невизначеність відсутня, тобто

то рівноважні ціни співпадають з цінами у майбутньому, дисконтованими у відповідності до ефективності безризикових вкладень:

Наявність невизначеності змінює картину. Рівноважна ціна ЦП підвищується відносно сподіваної, якщо їхня ефективність знаходиться в оберненій кореляції до ринку, і знижується, якщо ефективність ЦП позитивно корельована по відношенню до ринку. Чим більшим є середнє ухилення від ризику, тім чутливіші ціни до випадковостей ринку, тим більш ярко виражені ефекти кореляції.

Теорія рівноважного ринку дозволяє краще зрозуміти значення таких параметрів, як альфа і бета вкладень інвесторів відносно ринку.

Оскільки згідно до САРМ портфель ринку (структура ЦП на ринку) має ту ж саму структуру, що й оптимальний портфель, який обчислюється на основі ймовірнісних характеристик ефективностей ризикових ЦП, то ринок повинен мати властивості, що притамані оптимальному портфелю. Зокрема для оптимального портфелю, як було показано раніше премія за ризик кожного ЦП пропорційна з коефіцієнтом премії за ризик портфеля в цілому: Тому це відношення вірно і для ринку, тобто має місце співвідношення (1). Отже премія за ризик, пов'язаний з будь-яким ЦП, пропорційна коефіцієнтом премії за ризик ринку в цілому. Рівність (1) часто називають основним рівнянням рівноважного ринку. Відповідна графічна інтерпритація подана на рис.1. Вісь абсцис тут є віссю значень , а вісь ординат- значень Пряма лінія називається лінією ринку ЦП (Security market line - SML). Для ідеального ринку ( тобто ринку, що задовольняє припущенням моделі 1)-2)) задання бета дозволяє знайти сподівану ефективність у вигляді ординати відповідної точки на прямій.

Про поведінку реального ринку можливо судити по статистичним даним. Нагадаємо, що статистика ринку вказує на справедливість більш загального співвідношення ніж (1):

що відрізняються від основного рівняння САРМ (1) наявністю доданку альфа вкладення. Інакше, на ідеальному ринку для всіх видів ЦП Статистичні дані реального ринку це не підтверджують. Існують два пояснення цього феномену.

Перше полягає в тому, що на реальному ринку не всі учасники однаково інформовані, тому раціональність їх поведінки різна й портфель ринку відрізняється від оптимального. Якщо статистика дає, що то це означає недооцінку ринком дійсних можливостей ЦП При ринок переоцінює можливості ЦП Тому одна з практичних рекомендацій фінансового аналізу - включення інвестором у портфель насамперед тих ЦП, які недооцінені ринком (), з надією “переграти” ринок (тобто одержати перевагу перед менш інформованими учасниками). На рис.1 точки, що відповідають недооціненим ЦП, лежать вижче лінії ринку SML, а точки, що відповідають переоціненим ЦП, лежать нижче лінії SML.

Друга інтерпретація того, що менш практична, але можливо краще відповідає реальності. Справа в тому, що САРМ базується на найпростішій теорії оптимального портфелю, в якій припускається, що ставки при покупці й продажу, при видачі й одержання кредиту однакові, що не відповідає реальності. Існують різні модифікації САРМ, які враховують ці відхилення від ідеального варіанту, але жодна з них не має таку простоту й стройність як вихідна теорія САРМ.

З вищесказаного маємо, що , тобто ризик інвестування в актив складається з двох ризиків: систематичного ризику що притаманний ринку, і несистематичного ризику , що притаманний самому активу . Тобто модель (1) залежності від зовнішніх чинників є однофакторною (таким фактором є ринок в цілому).

Подальша більш сучасна теорія “ризику й випадкової ставки (ефективності) активу - теорія АРТ, що була розвинена С.Россом і Р.Роллом у працях: (Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing, J. of Economic theory, 1976, V.13, p. 341-360; Roll R., Ross S.A. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory, J. of Finance, 1980, v.35, p. 1073-1103) виходить з многофакторної моделі, за якою активу залежить від ряду випадкових факторів (їх значення можуть бути різними - ціна на нафту, процентна ставка, тощо) і “шумового члену”

При цьому і некорельований з факторами , а також з “шумовими членами” інших активів. Тобто (1) є частинним випадком (2) з одним фактором Нажаль АРТ повністю втрачає простоту, наочність, стрункість моделі САРМ з нею важко оперувати її положення дуже непросто навіть чітко формулювати. Тому й досі САРМ продовжує залишатися одним з найбільш улюблених засобів при розрахунках ЦП.

Центральними результатами АРТ є дослідження можливостей на ринку ЦП асимтотичного арбітражу і далі при концепції відсутності на ринку можливостей асимптотичного арбітражу вивод асимптотичної формули для середньої ефективності у припущенні, що поведінка описується багатофакторною моделлю (2). Відповідні асимптотичні дослідження пов'язуються з необмеженим зростанням кількості активів

Розглянемо деякий портфель і відповідну його ефективність на “ - ринку” з активів , ефективності яких залежать від факторів і має місце залежність (2). В АРТ встановлюється при деяких припущеннях відносно коефіцієнтів многофакторної моделі (2) існування такого нетривіального портфелю , що ; Якщо при то на ринку присутні можливості асимптотичного арбітражу. Тобто, припускаючи, що початкові ціни активів одиничні, так що початковий капітал портфелю , для деякого параметра нульовий, бо

будемо мати, що для достатньо великого капітал портфелю в момент часу

з додатньою ймовірністю буде додатній: Тобто, маючи нульовий початковий капітал і оперуючи на “ - ринку” з активами шляхом складання певного портфелю можливо (“асимптотично”) отримати додатній прибуток, що в теорії АРТ й інтерпретується як наявність асимптотичного арбітражу.

Вважаючи, що “ - ринки” асимптотично (при ) є безарбітражними, доводиться виключити можливість для тих портфелів, що розглядаються. Це природньо накладає певні обмеження на коефіцієнти многофакторної моделі (2): при достатньо великому числі активів, що фігурують у портфелі ЦП . “Більшість з них повинна бути такими, щоб між коефіцієнтами ” було виконане “майже лінійне” співвідношення

де всі величини залежать від та

При цьому існує портфель для якого дисперсія є досить малою, що свідчить про те, що в многофакторній моделі вплив “шумових членів” та окремих факторів може бути (у припущенні відсутності асимптотичного арбітражу) редуційований диверсифікацією. Але це справедливо тільки для великих (тобто великих ринків ЦП), а для “малих ринків” ( - невелике) розрахунок за допомогою наближеної формули (3) може призводити до грубих помилок.

Більш детальну інформацію про теорію АРТ, великі фінансові ринки й асимптотичний арбітраж можна знайти у вказаних вище роботах Росса, Ролла та книзі А.Ширяєва [12]. З приводу сучасної строгої математичної теорії асимптотичного арбітражу, заснованої на понятті контигуальності можна рекомендувати роботи Ю.М. Кабанова і Д.О. Крамкова (ТВИП, 1994, т.39, №1, с 222-228 та Finance and Stochastics, 1998. vol. 2), а також гл. 6 книги [19].

Задачі та вправи

1. Знайти характеристики , оптимального портфелю Марковіца максимальної ефективності, сформованого з трьох ЦП з відносною доходністю (m) і ризиком (у): (4, 10); (10, 40); (40, 80), якщо верхня границя ризику задана рівністю 50 (це двоїста задача до класичної задачі формування оптимального портфелю Марковіца мінімального ризику при заданій ефективності).

2. Сформувати портфель Тобіна максимальної ефективності й ризику, не більшого заданої величини , з 3-х видів ЦП: безризикових з ефективності та некорельованих ризикових сподіваних ефективності і й ризиками (двоїста задача до класичної задачі портфеля Тобіна).

3. Як підрахувати в ЦП? Чому ЦП з від'ємною в сприймаються як незвичайні, екстравагантні.

4. Портфель складається наполовину по вартості з ЦП і -0.8. Побудувати портфель з з цих ЦП. Чи буде цей портфель безризиковим?

Розглянемо модель фінансового ринку як пари активів: безризикового B (банківський рахунок - bank account , або державні облігації - government bonds, treasury bills) і ризикового S (акції - stocks, shares), що репрезентуються своїми цінами Bt і St, або . В такому разі говорять про (B,S) - ринок відповідно з дискретним або неперервним часом t. При цьому ризикова компонента - ринку може бути й багатовимірною. Фінансові активи B і S називають основними (базовими) або основними цінними паперами (basic securities). Ризиковість активу S відображується в моделі тим, що ціновий процес (St)t?0 трактується як стохастичний (випадковий) процес на певному імовірнісному просторі . При цьому інформація, що надається цінами S до моменту t, пов'язується із - алгеброю подій (тобто - алгеброю подій, що породжуються ВВ , .

Зафіксуємо деякий часовий горизонт T, T > 0 і називатимемо платіжним зобов'язанням будь-яку функцію на “просторі станів фінансового ринку” , що визначається за інформацією (тобто є - вимірною). Зокрема може бути певною функцією цін активу .

Фінансовий агент, що діє на ринку, взявши безризиковий актив і ризиковий у кількостях та , утворює тим самим пару , що називається його портфелем або (інвестиційною) стратегією. Капітал портфелю в момент з початковою сумою x визначається рівністю

Необхідно вказати, які портфелі можуть бути використаними. Найважливіший клас - це портфелі р , що самофінансуються, (рSF), для яких

(або в разі неперервного часу при умові, що диференціали і коректно визначені).

Арбітраж (у момент ) означає можливість створення додатного капіталу (з додатною ймовірністю) у момент за допомогою стратегії, що самофінансується з нульовим початковим капіталом .

Будь-який фінансовий актив створений на базі основних активів і - ринку, називається похідним цінним папером або деривативом (derivative) і ототожнюється з деяким платіжним зобов'язанням. Наприклад, форвардний контракт (або форвард - forward) є угодою про поставку - купівлю активу в майбутньому за зарані обумовленими ціною поставки і датою поставки . Для активу форвард еквівалентний зобов'язанню . Опціон (option, що значить вибір) - це дериватив (контракт), що емітується деяким агентом (інституцією) і надає покупцю або продавцю право купити або продати актив (або іншу цінність) в обумовлений період або момент часу на зарані обумовлених умовах. Наприклад, опціон продавця (опціон - колл або call option) з ціною виконання (strike price ) і датою виконання (maturity time) (так званий опціон європейського типу, коли він пред'являється до виконання тільки в момент ) на актив дає покупцю дохід (бо при він реалізує своє право на купівлю за ціною при більший ринковій ціні активу , а при відмовляється від купівлі за контрактом, або може купити за ринковою ціною , нижчою за , тобто не реалізує право на купівлю за ціною ). Отже описаний європейський опціон - колл еквівалентний зобов'язанню . Звісно, за опціон потрібно сплатити деяку премію (ціну опціону), і чистий дохід покупця буде . Відповідно дохід продавця опціону буде при і при . Можуть бути й інші види опціонів. Так, наприклад, для опціону - колл з післядією, де , а для арифметичного азіатського опціону - колл , де у випадку дискретного часу. Для опціонів продавця (опціонів - пут, або put option) у разі стандартного опціону - пут , у разі опціону - пут з післядією, . В цілому множина деривативів індукує в площині з координатами множину графіків відповідних платіжних зобов'язань CCG (Contingent Claim's Graphs), див. рис.1.

а) б)

Рис.1. Множина CCG.

З іншого боку, множина стратегій рSF індукує множину графіків термінальних капіталів (Terminal Values Graphs), див. рис.2.

Рис.2. Множина TVG.

Ринок називається повним, якщо CCG=TVG. В противному разі ринок неповний. Інакше, - ринок є повним тоді і тільки тоді, коли будь-яке платіжне зобов'язання може бути реклікованим, тобто існують такі x і , що.

Позначимо через ціну (value) у момент платіжного зобов'язання (інакше ціну деривативу з виплатами по ньому в момент , що визначається функцією ). Головна проблема тут полягає у знаходженні опису стохастичного процесу у термінах - ринку. Евристичний принцип такого опису складається з двох ідей: по-перше величину платіжного зобов'язання потрібно дисконтувати за допомогою без ризикового активу: тобто розглянути ; по-друге прийняти за раціональне (справедливе) значення усереднену величину, що дорівнює умовному сподіванню . Перша ідея не викликає заперечень, бо дисконтуванням досягається вимірювання вартості у різні моменти часу в тих самих одиницях. Друга ідея може бути предметом дискусії, бо неясно чому усереднення повинно здійснюватися відносно первісно заданої “фізичної ” ймовірності . Більш того, будь-яка інша імовірнісна міра на просторі визначає свій “ імовірнісний характер ” - ринку. Ясно, що нейтральний до ризику, стійкий характер ймовірності, що обирається для усереднення, обумовлює природність ціни платіжного зобов'язання. Отже евристичний принцип опису потрібно виправити вибором більш підходящого імовірнісного характеру ринку, що визначається деякою мірою . Тут для того, щоб уникнути втрати суттєвих рис ринку (“виродження” його характеру) потрібно вважати міри і - еквівалентними. Ці міркування призводять до принципу безарбітражності при визначенні ціни . Втілення цього принципу реалізується у наступні загальні факти, що є дещо обрубленою формою фундаментальних теорем теорії арбітражу та повноти стохастичної фінансової математики.

Теорема А. - ринок не дозволяє арбітражних можливостей тоді і тільки тоді, коли існує імовірнісна міра , еквівалентна , така, що процес дисконтованих цін ризикового активу є мартингалом відносно , тобто для всіх (тут позначає сподівання відносно міри ).

Подібна міра називається мартингальною. Оскільки мартингал є в середньому сталим, то міра немов би нейтралізує ризиковість активу . Тому називається також ризик - нейтральною мірою - ринку.

Теорема В. На повному безарбітражному - ринку ціна будь-якого платіжного зобов'язання визначається єдиним чином тоді і тільки тоді, коли мартингальна міра єдина.

Дійсно, якщо таких мір дві , то визначені дві ціни зобов'язання , котрі повинні співпадати, що означає рівність . Навпаки, відносно єдиної мартингальної міри ціна визначається однозначно, як .

В результаті маємо такий загальний принцип розрахунку платіжних зобов'язань на повних ринках:

Теорема С. Нехай на повному - ринку - єдина мартингальна міра і ціна зобов'язання визначається як . Тоді утворює єдину систему цін, при якій відповідний розширений ринок не дозволяє арбітражних можливостей. Більш того, існує така стратегія , що репліціює і при всіх .

Це твердження означає можливість редуціювати до нуля ризик, пов'язаний з будь-яким платіжним зобов'язанням на повному ринку.

В наступних параграфах наводяться класичні моделі ціноутворення опціонів покупця на повному - ринку.

Французький математик, учень А.Пуанкаре, Луї Башельє (Louis Bachelier, 1870 - 1946) був першим, хто зробив спробу математичного опису динаміки коливань вартостей акцій (на паризькому ринку) на базі теорії ймовірностей. У своїй дисертації “Teorie de la spe'culation” (Теорія спекуляцій), надрукованій у 1900 р. в “Annales scien. de l'Ecol Normale Superieure”, том 17, с. 21- 86, він запропонував розглядати як випадковий процес.

Аналізуючи експериментальні дані про ціни (з інтервалом часу ) Башельє помітив, що прирости мають (в статистичному смислі) приблизно нульове середнє та флуктуації порядку . Подібну властивість має випадкове блукання виду , де незалежні однаково розподілені випадкові величини (НОРВВ) приймають два значення, , з імовірностями . Граничний перехід при призводить в силу багатовимірної центральної теореми до випадкового процесу цін , де є не чим іншим як розглянутим Башельє процесом броунівського руху, тобто гауссівським випадковим процесом , що має нульове середнє і кореляційну функцію. Процес повністю характеризується тими властивостями, що це є гауссівський процес з незалежними приростами, для якого для всіх .

Відомі фізичні дослідження А.Ейнштейна і М.Смолуховського 1905-1906 років показали, що стохастичний процес , вперше збудований Башельє, може слугувати математичною моделлю еволюції кожної фіксованої координати при хаотичному русі частинки колоїдного (дуже малого) розміру, поміщеної у рідину чи газ, під дією теплового руху молекул середовища. Явище подібне хаотичному руху вперше було зафіксоване англійським вченим Р.Броуном в 1827 році і одержало назву броунівського руху. Математично строгу (сучасного рівня) теорію процесу збудував в 1923 р. американський математик Н.Вінер, який зокрема розглянув цей процес як спеціальну міру в просторі неперервних функцій (так звану вінерівську міру). В подальшому процес отримав також назву стандартного вінерівського процесу на честь Н.Вінера.

Відправляючись від процесу Бащельє отримав формулу для сподівання з , що з сучасної точки зору (в припущенні, що неперервна ставка (сила росту ) банківського рахунку нульова) є справедливою ціною опціону - колл (премію за опціон), котру його покупець сплачує його продавцю, що зобов'язався продати покупцю акції в момент виконання за ціною виконання :

де і відповідно функція розподілу і щільність розподілу стандартної нормальної ВВ:

З сучасної точки зору потрібно дещо скоректувати модель динаміки ціни акції Башельє записавши її у формі стохастичного диференціалу

де - параметр зносу (тренду) процесу в часі, а - параметр мінливості (волатильності - volatility) ціни. Подібна модель (3) отримала назву арифметичного (фінансового) броунівського руху .Для такої скоректованої моделі принцип безарбітражності дає для ціни опціону покупця формулу , де має вираз (1), а усереднення робиться відносно мартингальної міри

.

На закінчення, зауважимо, що при формула Башельє дає ціну опціону , що характеризує зростання раціональної вартості опціону із зростанням часу виконання .

6.3 Модель Блека - Шоулса вартості опціону покупця європейського типу

В 1965 р. Пол Самуельсон, вивчаючи фінансові ринки, запропонував так звану експоненційну модель динаміки - ринку, що складався з безризикового активу і ризикового активу , в якій відповідні процеси цін і мали форму

де - неперервна процентна ставка (сила росту) для активу , - стандартний вінеровський процес, і - параметри знесення й волатильності вартості активу . Підкреслюючи важливість процесу виду (1), Самуельсон назвав його економічним броунівським рухом. З точки зору теорії випадкових процесів він є неперервним марківським процесом дифузійного типу. Подібні процеси були вивчені в термінах перехідних імовірностей та відповідних аналітичних характеристик А.Н.Колмогоровим. В подальшому К.Іто розвинув підхід до вивчення вказаних процесів на основі запропонованого ним апарату стохастичних диференціальних рівнянь (рівнянь Іто).

Модель Самуельсона (1) може бути переписана у еквівалентній формі диференціальних рівнянь динаміки цін - ринку.

де друге рівняння є стохастичним диференціальним рівнянням Іто. Теорія рівнянь Іто описана в стандартних підручниках з випадкових процесів ([2], [3], [16]) і через недиференційованість процесу в звичайному розумінні (у існує тільки узагальнена похідна , що є узагальненим стаціонарним процесом зі сталою спектральною щільністю, яка в технічних застосуваннях теорії випадкових процесів називається гауссівським білим шумом) використовує в якості основного аналітичного апарату так звані стохастичні інтеграли Іто, які в нашому випадку (2) є інтегралами виду , для яких і . Зокрема, рівняння (2) для означає, що для будь-яких

Процес виду (2) або (3) зараз називається геометричним броунівським рухом.

В 1973 р. Ф.Блек і М. Шоулс (F.Black, M.Scholes) в своїй знаменитій роботі “The pricing of options and corporative liabilities”, надрукованій в журналі “Journal of Political Economy”, vol.81, №3, р. 637-659 одержали формулу для вартості опціону покупця європейського типу для (B,S) - ринку виду (2), яка отримала назву формули Блека - Шоулса. Виведення цієї формули базувалося на отриманому ними диференціальному рівнянні в частинних похідних для вартості опціону.

Коротко наведемо доказ Блека - Шоулса відповідної формули. Нехай шукана вартість опціону на ризиковий актив з ціною виконання і часом виконання . Розглянемо портфель, що складається з опціону на купівлю і деякої кількості активу (акції). Тоді витрати на придбання такого портфелю складали суму . Нехай в будь-який момент часу курс відомий і змінюється в залежності від , так що ціна портфелю , не залежить від курсу, тобто

.

Тоді поточна ціна портфелю буде

.

Ефективність такого портфелю за нескінченно малий проміжок часу буде складати величину

Застосувавши формулу Іто стохастичного диференціювання складної стохастичної функції (див., напр. [2], [3], [16]) маємо, що

З врахуванням (5) ефективність портфелю (4) набуває вигляду

Оскільки описаний портфель є безризиковим, то його ефективність повинна співпадати з ефективністю безризикового активу

З рівності (6) і (7) отримуємо таке диференціальне рівняння Блека-Шоулса:

До рівняння (8) слід приєднати очевидну крайову умову

Інтегрування рівняння (8) з умовою (9) і заміною відліку часу назад від моменту виконаня опціону T дає формулу Блека - Шоулса вартості опціону

де - функція розподілу стандартної нормальної ВВ, а

Викладений метод диференціальних рівнянь дозволяє деяке узагальнення на більш широкий клас платіжних зобов'язань виду , де - невід'ємна функція. Будемо розглядати портфелі , капітал яких є гладкою функцією і , тобто . Тоді ясно, що

Застосування формули Колмогорова - Іто до процесу призводить до відношення

де - відтворюючий оператор дифузійного процесу виду (2):

З рівності (13) випливає, що портфель є самофінансованим, тоді і тільки тоді, коли виконується рівняння

Але (15) з умовами (12) і є рівняням Блека - Шоулса вартості портфелю р. Відмітимо, що коли має поліноміальний ріст, то розв'язок задачі (15)-(12) існує і виражається формулою

тобто є щільністю логнормального розподілу.

Загальний сучасний підхід до виводу формули Блека - Шоулса (10)-(11), оснований на тому, що єдина мартингальна міра моделі - ринку виду (2) має щільність відносно

.

Тоді згідно принципу безарбітражності ціна опціону покупця

,

що звичайно співпадає з результатом (10).

Зауважимо, що з формули Блека - Шоулса (10) легко отримати вартість опціону продавця (опціону пут) європейського типу для - ринку (2). Це випливає з наступного результату.

Теорема (про паритет опціонів). Нехай позначає премію за опціон пут європейського типу для активу з ціною виконання і часом виконання . Тоді має місце формула Столла

де вартість опціону колл з тими ж умовами.

Для доведення проведемо два теоретичних експеримента.

Перший: купимо опціон пут, сплативши і одночасно купимо акцію за ціну , якщо в момент , то збережемо акцію, а при продамо її отримавши .

Другий: купимо опціон колл, сплативши , а також вкладемо суму в безризиковиий актив. Якщо ціна акції більша в момент , то продаємо за (з урахуванням росту) і, використавши опціон, купимо акцію. В протилежному випадку залишимо собі суму .Таким чином, незалежно від зміни цін обидві варіанти дій дають той самий результат, тобто обидві схеми капіталовкладень еквівалентні: . Це й доводить (17).

На закінчення параграфу зауважимо, що коли застосувати евристичний принцип розрахунку опціон колл європейського типу, то одержимо таку вартість опціону

,

що при співпадає з ціною Блека - Шоулса.

І. В 1976 році Кокс, Росс, Рубінштейн (Cox Y.C., Ross R.A., Rubinstein M.) в роботі “Option pricing: a simplified approach”, надрукованій в “Journal of Financial Economics”, vol. 7, р. 229-263, розглянули просту біноміальну модель - ринку з дискретним часом та відповідні питання вартості опціонів.

В цій моделі безризиковий актив і ризиковий актив мають динаміку процесів цін і , що описуються різницевими рівняннями

де - стала процентна ставка активу , а - випадкові процентні ставки активу ,що є НОРВВ, які приймають два значення і , з імовірностями і відповідно, де . З рівнянь випливає, що

Припускається, що .

Нехай - деяке платіжне зобов'язання (дериватив) на описаному - ринку, . Ключовим елементом теорії вартості є хеджування (від англ. hedge - огорожа), пов'язане зі здатністю виконання зобов'язання при будь-якій можливій поведінці ринку. Портфель інвестора називається хеджем для , якщо його капітал (при довільній поведінці ринку). Таких портфелів може бути багато і важливо обирати оптимальний (мінімальний) хедж з найменшим капіталом: , для будь-якого хеджа . Побудова відкриває природній шлях розв'язання проблеми вартості: ціною зобов'язання є початковий капітал хеджа і при цьому .

Для пошуку ризик-нейтральної ймовірності можна скористатися тим, що дисконтова на ціна активу в середньому відносно повинна бути сталою при всіх :

.

Тоді при маємо рівняння

де - бернуллева ймовірність, з якою (відносно міри ) приймає значення b. З рівняння (3) маємо , тобто ризик-нейтральна ймовірність визначається однозначно через параметри біноміального - ринку.

Міра є мартингальною: дійсно

Перевіримо, що модель біноміального ринку з умовою не дозволяє арбітражних можливостей.

Дійсно, для довільної стратегії

і, отже є мартингалом відносно міри . Якщо - арбітражна стратегія, то з одного боку , а з іншого - завдяки мартингальності відносно :

(бо).

Позначимо через - щільність міри відносно вихідної міри імовірнісного простору на якому розглядається модель. Тоді для будь-якої ВВ на і маємо, що

.

Одержане протиріччя свідчить, що припущення про існування арбітражної стратегії невірно.

Зауважимо, що шляхом індукційних міркувань по можливо встановити, що щільність має вигляд

, де .

Розглянемо приклади, що характеризують сутність методології хеджування.

Приклад 1. Нехай на імовірнісному просторі з множиною елементарних подій і алгебрами подій та заданий біноміальний “однокроковий” - ринок: , грн., , грн. з імовірністю і 80 грн. з імовірністю .

Опціон колл обумовлює в момент виплату грн. з імовірністю 0,4 і 0 грн. з імовірністю 0,6. Знайдемо евристичну ціну , ризик-нейтральну ціну і ціну мінімального хеджування цього опціону. Маємо, що

грн.

Позначимо через

стратегію, що відтворює

.

Враховуючи рівності

і

можна переписати останнє рівняння у вигляді системи:

,

що має розв'язки . Отже, ціна мінімального хеджування опціону грн. Відмітимо, що побудована стратегія хеджування передбачає, що при управлінні ризиком береться кредит ( - від'ємне) і відповідні кошти (у кількості ?) вкладається в акції.

Розрахунок ціни на основі ризик-нейтральної ймовірності призводить до знаходження з умови

,

і, отже, “ризик-нейтральна” ціна

грн.

грн.>грн.

Приклад 2. На тому ж ринку, що і в прикладі 1 розглянемо інший дериватив з виплатами в момент величиною . Тоді з ймовірністю 0,4 і з ймовірністю 0,6. Отже,

грн.

Стратегія мінімального хеджування як і в попередньому випадку визначається умовою, що дає систему

і, отже

грн.

“Ризик-нейтральна” ціна дорівнює

грн.

Отже тут .Стратегія управління ризиком цього зобов'язання відрізняється від прикладу 1 тим, що тут потрібно взяти в борг акції S (в кількості ? ) і розмістити кошти на банківському рахунку.

ІІ. Знайдемо “ризик-нейтральну” ціну європейського опціону покупця в термінах параметрів моделі біноміального - ринку.

Позначивши через індикатор події маємо

де

де - ціла частина .

Позначимо

Тоді

Отже, маємо таку формулу Кокса-Росса-Рубінштейна для ціни європейського опціону покупця в момент

де і визначається формулами (4) - (6).

Аналіз застосованої методології призводить до висновку, що ціна такого деривативу в момент буде

де .

Зауважимо, що величина є капіталом мінімального хеджу в момент , а структура формули (8) показує, що цей хедж має ризикову компоненту . Інша компонента визначається з умови самофінансування. Тобто, за допомогою формули Кокса-Росса-Рубінштейна (8) досягається повний опис стратегії ризик-нейтрального управління для опціону покупця європейського типу.

ІІІ. Опціон продавця (опціон пут) європейського типу є зобов'язанням і дає право продати акцію не за ринковою вартістю в момент , а по наперед обумовленій ціні . Графіки обох опціонів колл і пут наведено на рис.3.

а) опціон колл б) опціон пут

Рис.3. Графіки опціонів покупця і продавця

Якщо - ціна опціону пут, то з врахуванням рівності

та мартингальності послідовності маємо формулу Столла (формулу паритету покупця і продавця )

яка дозволяє перерахувати ці опціони один через інший.

Для класу деривативів виду , де - гладка функція класу , ціна може бути виражена через ціну опціону колл за формулою:

.

Цей результат легко отримати використавши формулу Тейлора

,

в яку замість треба підставити , після чого помножимо все на і застосуємо усереднення по мірі .

В цілому для довільного деривативу його вартість має такі властивості: 1) вона одночасно влаштовує і продавця деривативу (при правильному інвестуванні завжди є можливість з зробити капітал, достатній, щоб розплатитися) і покупця (він сплачує найменшу величину достатню продавцю для хеджування), тобто в цьому розумінні вартість є справедливою, а ризик для обох сторін мінімальний; 2) якщо продавець реалізує дериватив за ціною , то він одержує арбітражну можливість: вкласти в мінімальний хедж і мати ще прибуток , що не залежить від ринкової кон'юнктури; 3) якщо продавець деривативу призначає ціну , то він надає покупцю арбітражний прибуток .

Якщо розглянути на біноміальному - ринку з часовим горизонтом послідовність (портфель) платіжних зобов'язань , що виконуються в моменти , то управління таким портфелем не викликає особливих труднощів через розвинуту вище теорію. Дійсно для кожного зобов'язання обчислюється його ціна, де - дисконт-фактор, що відповідає ставці , , а ціна портфелю є сумою всіх :

Послідовність можна трактувати як змінну стохастичну ренту, а формулу (10) як її сучасну вартість.

IV. Розглянемо тепер розрахунки вартості опціонів американського типу, що дають право його власнику пред'являти опціон до виконання у будь-який момент часу до кінцевої дати .

Для побудови відповідної методології розрахунків знадобиться більш складний апарат теорії випадкових процесів такий як моменти зупинки, супермартингали.

Нехай інформаційний потік -алгебр , що несе інформацію про динаміку цін активу , , який ще називається фільтрацією на імовірнісному просторі . Невід'ємна стохастична послідовність називається узгодженою з потоком (фільтрацією) , якщо для кожного є - вимірною ВВ. Будемо розглядати таку послідовність як послідовність платіжних зобов'язань на фінансовому - ринку. Розглянемо випадкові величини , які приймають свої значення “не забігаючи” у майбутнє потоку , тобто . Їх називають марківськими моментами або моментами зупинки (МЗ) (відносно фільтрації ). За послідовністю, і МЗ побудуємо нове платіжне зобов'язання

Структура показує, що воно визначається всією історією торгів до моменту , але виконується у випадковий момент , що називається теж моментом виконання.

Застосовуючи висвітлену вище методологію управління ризиком до даного зобов'язання , визначаємо його ціну за допомогою усереднення по ризик-нейтральній мірі для біноміального - ринку: .

Позначимо через множину МЗ ф зі значеннями .Тоді буде множиною всіх МЗ. Розглянемо портфель всіх зобов'язань . Оскільки - це “ризик-нейтральний” прогноз майбутніх виплат , то ясно, що як адаптовану до ризику, пов'язаному з цим портфелем, ціну портфелю треба взяти максимальний з цих прогнозів:

,

де . Оскільки набір - скінчений, то знайдеться такий МЗ , що

,

який і слід взяти як момент виконання всього портфеля зобов'язань .

З математичної точки зору знаходження пари є розв'язанням задачі оптимальної зупинки стохастичної послідовності , а з точки зору фінансової економіки - розв'язанням задачі розрахунку деривативу (опціону) американського типу з правом його пред'явлення в будь-який момент до кінцевої дати . Зауважимо, що такі опціони складають у розвинутих країнах переважну більшість опціонної торгівлі (більш 90%).

Розглянемо методологію відповідних розрахунків. Тут повністю зберігається поняття стратегії (портфелю) і відповідно капіталу . Стратегія називається хеджем, якщо майже напевно (м.н.) для довільних . При цьому (м.н.) для будь-якого МЗ . Хедж - мінімальний, якщо для всіх капітал (м.н.) для будь-якого іншого хеджу .

Розглянемо стохастичну послідовність “максимальних прогнозів”:

.

Очевидні граничні значення цієї послідовності і . З'ясуємо структуру послідовності переписавши її термінальне значення через єдиний в класі МЗ . При

Тобто . Покладаючи МЗ

якщо

,

в протилежному випадку,

знаходимо, що дорівнює або, або.Для довільного маємо, що

Продовжуючи вказану процедуру в оберненому часі, остаточно знаходимо, що , а .

Розглянемо тепер побудову мінімального хеджу американського опціону. З (11) маємо, що

( - м.н.), .

Подібні стохастичні послідовності називають супермартингалами.

Загалом стохастична послідовність визначена на імовірнісному просторі з фільтрацією є супермартингалом, якщо , для всіх t і (-м.н.) для всіх .Стохастична послідовність визначена на тому ж просторі називається послідовністю, що передбачається (відносно фільтрації ), якщо ВВ є - вимірною для всіх , - стала.

Кожний супермартингал на стохастичному базисі можна однозначно зобразити як різницю мартингалу і монотонно неспадного процесу , що передбачається; . Це зображення називається розкладом Дуба.

Для доведення цього позначимо і покладемо

.

Тоді ВВ є - вимірними,

і - мартингал, бо

.

Єдиність розкладу Дуба неважко перевірити міркуваннями від оберненого.

Нехай - розклад Дуба супермартингалу . Скористаємось тим, що мартингал на “бернуллієвім просторі”, що розглядається, можна подати у вигляді

де - деяка стохастична послідовність, що передбачається (доведення цього можна знайти напр. в [8], [9]).

Тоді, почавши з , побудуємо за допомогою стратегію з капіталом , так що.Збудована стратегія є мінімальним хеджем, бо

(м.н.) для всіх

і за побудовою

Приклад 3. Нехай потрібно розрахувати опціон американського типу на двохкроковому - ринку, де грн. , а виплати , , , , , причому приймають значення 0,5 з імовірністю і значення - 0,3 з імовірністю .

Підрахунок “бернуллієвої” ймовірності , що визначає ризик-нейтральну ймовірність в даному прикладі є аналогічним підрахунку прикладу 1 і, отже, . Розглянемо структуру максимальних прогнозів

.

Умовне середнє

і тому

Враховуючи рівність , приходимо до і оптимальному моменту виконання .

В попередніх параграфах було показано, що принцип безарбітражності у випадку повних фінансових ринків дає можливість дати досить повні відповіді з розрахунків вартості платіжних зобов'язань (деривативів) на цих ринках. Виникає питання: якою може бути його реалізація для неповних ринків, коли множина відповідних мартингальних мір не зводиться до однієї міри?

Наприклад, якщо в дискретній моделі - ринку випадкові ставки , що задають доходності ризикового активу приймають більше двох значень, то ризик-нейтральних імовірностей може бути багато і відповідно ми маємо стільки ж варіантів усереднених дисконтованих цін , як тоді вибрати без арбітражні ціни для зобов'язання ?

Природна відповідь така: потрібно розглянути відрізок

З результатів попереднього параграфу випливає, що кожне число цього відрізку може прислугувати безарбітражною ціною деривативу . Розглянемо пояснення цього з іншого боку. Нехай - термінальний капітал стратегії з початковим капіталом . Визначимо величини

для деякої, для деякої

Коли одна, то існує хедж з початковим капіталом і термінальним капіталом , що співпадає з . Отже, тоді . В загальному випадку, і відрізок є максимальною областю безарбітражних цін (тобто цін, при яких обидві сторони контракту зі зобов'язанням повинні ризикувати), а є інтервалом арбітражних цін для покупця деривативу, і - інтервалом арбітражних цін для продавця деривативу.

Приклад 1. Якщо , то з одержаної премії x потрібно взяти і цю суму збудувати стратегію , таку що , що можливо з визначення . Тоді є чистим доходом продавця.

В дійсності

,

що дає принциповий спосіб управління ризиком деривативу у ситуації неповного ринку. Для відшукання верхньої та нижньої цін і деривативу розроблена методологія суперхеджування, за якою зобов'язання (можливо досить складної структури) домінується іншим, більш простим деривативом (м.н.), яке реплікується стратегією, що самофінансується. Тоді початковий капітал цієї стратегії можливо взяти як “суперціну” . Далі для кожної маємо, що ,а з означення і випливає їх співпадіння з верхньою й нижньою суперціною.

Приклад 2. Розглянемо опціон покупця . Через те, що маємо . За нерівністю Ієнсена для довільної маємо (з урахуванням мартингальності відносно ), що

.

Отже , а з урахуванням специфіки моделі ринку зовнішні нерівності тут стають рівностями, що приводять до значень і .

Величина називається спредом і характеризує міру неповноти ринку. Неповні ринки є першим кроком відходу від ідеальності - ринку через більш складну імовірнісну структуру цін активу (наприклад, коли волатильність є випадковою).

Ще більш реалістичним є ринки з обмеженнями (напр. різні ставки для набору з різних безризикових активів, заборони “коротких” продаж тощо). Розглянемо просту модель такого ринку -- ринок, для якого

де як і раніше - послідовність НОРВВ (доходних ставок активу ), що приймають два значення і з ймовірностями і , відповідно. Активи та - можливо інтерпретувати як депозитний і кредитний рахунки, а - як акцію. Зокрема, при маємо просто - ринок.

Стратегія (портфель) на - ринку складається з трьох послідовностей, що передбачаються (залежать в кожен момент тільки від ), . Її капітал є , а його невід'ємність означає припустимість стратегії. Самофінансованість означає, що . Щоб уникнути арбітражу через введемо заборону на одночасне розміщення капіталу на депозитному і кредитному рахунках, тобто , а .

Будемо ототожнювати стратегію р з пропорцією ризикового капіталу . Через описане вище обмеження на стратегії інвестор буде вкладати частку свого капіталу на депозит, а - - на кредитний рахунок. Тоді еволюція капіталу має вигляд

.

На неповному - ринку ціна деривативу визначалась однозначно з принципу безарбітражності. Для неповного ринку це втрачається, і принцип безарбітражності дає інтервал без арбітражних цін . Це відбувається і на - ринку.

Для розрахунку “розумних” цін деривативу на - ринку побудуємо допоміжний - ринок і знайдемо умови, коли капітал стратегій з тією ж самою ризиковою пропорцією співпадають на обох ринках. Введемо сталу і визначимо - ринок:

Згідно теорії, викладеної вище, що застосовується до - ринку ціна деривативу визначається однозначно як початковий капітал мінімального хеджу і дорівнює , де - усереднення по - мартингальній імовірності - ринку.

За пропорцією побудуємо відповідні стратегії і на - ринку і - ринку. Виявляться, що при має місце еквівалентність: для всіх тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується рівність

Відповідно рівність боргових капіталів еквівалентна умові

Для доведення звернемося до рівняння еволюції капіталу на - ринку:

Аналогічно на - ринку маємо

.

При рівності початкових капіталів ці співвідношення призводять до потрібної еквівалентності, що закладає основу розрахунку ціни на - ринку, коли для будується - ринок.

На - ринку береться мінімальна хеджуюча стратегія і знаходиться справедлива ціна як початковий капітал цієї стратегії. Далі визначаються і як значення нижньої та верхньої ціни на вихідному ринку з обмеженнями.

Реалізуємо цю методологію для опціону покупця з . Тоді визначається формулою Кокса-Росса-Рубінштейна і як функція , що належить відрізку , є зростаючою. Тому на - ринку нижня і верхня межі ціни для можуть бути знову визначені за тією ж формулою, що застосовується на - ринках зі ставками і відповідно:

Ціни показують несиметричність позицій покупця і продавця на - ринку. переважна для покупця як та мінімальна ціна опціону, що гарантує йому термінальну виплату. Тут бажання покупця гарантовано придбати майбутню виплату за мінімально можливою ціною призводить до використання стратегії при і перетворенню умови еквівалентності в , або . відображає точку зору продавця в його намірі продати опціон так дорого, щоб не втрачалися його якості як інвестиційного інструменту для покупця. Продажем опціону продавець придбає борг , відкладений до моменту . Ціна опціону повинна зрівноважувати цей борг на момент продажу опціону. Тому використовується стратегія при і умова рівності боргових капіталів зводиться до , або .

Приклад. Продовжимо розгляд прикладу 1 з параграфу 6.4 з ціною акції грн. і 80грн. з імовірностями і відповідно. Припустимо, що і . Згідно формул (1) маємо, що

грн.

грн.

Тому спред такого - ринку дорівнює

.

Якщо аналогічний розрахунок провести для - ринку зі ставками , , то

і спред

.

Таким чином цей приклад, де, як неважко перевірити, умови еквівалентності і виконуються, показує зменшення спреду як міри неідеальності (неповноти) - ринку при зближенні ставок кредиту й депозиту.

Для неповних ринків поряд з суперхеджуванням можна використовувати й інші підходи для визначення цін платіжних зобов'язань й управління ризиком інвестора. До них відносяться застосування теорії корисності при прийнятті відповідних рішень, хеджування у середньоквадратичному. Коротко зупинимося на останньому підході.

Визначимо ризик, пов'язаний з хеджуванням платіжного зобов'язання стратегією р у випадку моделі ринку з неперервним часом формулою

.

Тоді відповідна стратегія і початковий капітал обираються з умовами мінімізації цього ризику по припустимим значенням і .

Подібним чином ризик можна визначати як для неповних, так і повних ринків. Відмітимо, що в разі моделі Блека-Шоулса ціна деривативу і стратегія , що хеджує його, співпадає відповідно зі значенням і стратегією , що мінімізує значення . В разі дискретної моделі - ринку, коли фізична міра є мартингальною, і визначаються як

.

В цілому, для неповних ринків ризик, пов'язаний з “не дуже ризикованими” платіжними зобов'язаннями, не може бути зведеним до нуля, але його можна мінімізувати.

Коротко обговоримо співвідношення між повними і неповними ринками. Поряд зі спредом можна використовувати й інші характеристики неповноти ринку: лізинг й накладні видатки. Звичайно лізінг активу пропорційний його ціни: , а накладні видатки - його ціні й зміні портфелю: .Параметри і називаються коефіцієнтами лізингу й накладних видатків. Введення нових фінансових інструментів (продуктів) робить вихідний ринок “більш повним” і відповідно зменшує і . Р.Мертон першим визначив рух ринків як фінансово - інноваційну спіраль до напрямку ідеальних, повних ринків, через інноваційний розвиток посередницьких структур, що стають більш відкритими до нових фінансових продуктів й послуг, будуть розширювати й свою географію, нівелюючи тим самим геополітичні переваги різних фінансових інституцій. Але слід брати до уваги й протилежні тенденції, за якими нарощення розмірів й складності фінансових угод, глобальна взаємозалежність ринків збільшують загальні фінансові ризики (зокрема кредитний) та утворюють реальні можливості для виникнення широкомасштабних фінансових криз.

Читача, зацікавленого у більш повній інформації про стан і перспективи розвитку та про викладання сучасної фінансової економіки та фінансової математики, ми відсилаємо до загальних методологічних праць у цьому напрямку С.Велана, Д.Бові й А.Хібберта (S.F. Whelan, D.C. Bowie, A.J. Hibbert, A Primer in Financial Economics, British Actuarial Journal, vol. 8 N 1, p.27-24, 2002) та Р.Мертона [24] та наведеній в них літературі та її огляду.

Страницы: 1, 2, 3, 4