Подані чотири фінансових показники ефективності проектів не дозволяють однозначно вибирати один з можливих варіантів інвестувань. Тому застосовуючи такий підхід.

Перш за все всі суми, що враховуються вивільняють від податків. Потім, якщо для фірми особливо важливий період окупності, то спочатку на його основі відхиляють всі неприпустимі варіанти. Якщо цей показник не важливий, то його зовсім не застосовують. Далі застосовують два з трьох показників, , IRR та норму рентабельності. Аналітики фірми на основі досвіду фірми ранжують ці показники. Наприклад, в США частіше за все віддають перевагу парі IRR-, а на другому місці пара -IRR. Якщо ж при виборі проекту за допомогою обраної пари зустрічаютсья помітні розбіжності, то застосовують ще й третій показник або проводять поглиблений аналіз проблеми.

Західний досвід показує, що крупні фірми використовують висвітлений апарат фінаналіза значно частіше, ніж дрібні. (для дрібних фірм проекти є дрібномаштабними та більш очевидними для аналізу).

Задачі та вправи

1. Визначити нарощену наприкінці 6 року суму від постійної ренти постнумерандо з членом 15 тис. грн. при ставці в 20% річних.

2. Яку суму необхідно внести у банк (пенсійний фонд), щоб довічно одержувати наприкінці кожного року ренту в 10 тис. грн. при річній ставці 5%?

3. Правило об'єднання рент: знаходяться PV рент складових і підсумовуються, а потім підбирається рента сума з такою ж PV і потрібними іншими параметрами. Знайти ренту суму для двох річних рент: перша терміном 5 років з членом 1000, а друга -5 і 800. Річна ставка - 8%.

4. В суді з'ясувалося, що з вини Пенсійного фонду пану N протягом 10 років недоплачували 100 грн. пенсії щомісячно. Суд зобов'язав фонд виплатити гроші з процентами (12% річних). Яка сума виплати?

5. Чи може PV скінченої річної ренти бути меншою її річного платіжу.

6. В потоці платежів дозволяється переставляти платежі. Як їх потрібно переставити, щоб потік мав найбільшу PV? Чи має це якесь практичне значення?

7. Інвестиційний проект передбачає початкову інвестицію в 4000 грош. од. З наступним грошовим доходом при 8% в 1000 г.о., термін проекту - 6 років. Знайти NVP та термін окупності.

8. Розглянути задачу створення з доходів фонду для погашення інвестиційного кредиту. При цьому в банку береться кредит під проект зі ставкою i, доходи від проекту розміщуються в інший банк з більшою ставкою j. Розрахувати підсумкові характеристики (необхідні дані - за вашим розсудом).

Глава 4. Проблеми оцінювання цінних паперів і моделювання динаміки їх вартості

4.1 Цінні папери. Оцінювання акцій і парадокс Модільяні-Міллера
Цінні папери (ЦП) є найважливим класом сучасних фінансових інструментів, які представ-ляють грошові документи, що підтверджують право володіння або кредитних відносин й ін-ших фінансових зобов'язань і визначають взаємовідносини між їхнім емітентом та власни-ком , а також, як правило, передбачають виплату доходу у вигляді дивидентів або процентів і можливість передачі грошових й інших прав, що випливають з цих документів третім осо-бам. Звичайно ЦП поділяють на 3 класи: 1) пайові ЦП ( різні типи акцій); 2) боргові зобов'язання (облігації, сертифікати, векселі); 3) похідні ЦП або деривативи (форвардні контракти, фьючерси, опціони). Акції - це ЦП, які випускаються акціонерним підприємством (товариством) - звичайно це компанія або корпорація - і дають право: 1) на частку основного (статутного) фонду підприємства; 2) на одержання частки доходу від діяльності підприємства; 3) на участь в управлінні підприємством. Боргові зобов'язання підтверджують позичкові відносини між інвестором (кредитором) та емітентом (особою, що випустила документ). Деривативи закріплюють право їх власника на продаж або купівлю основних ЦП або деяких стандартизованих товарів в майбутньому.

Акції є ЦП без встановленого строку обігу, який свідчить про внесення акціонером коштів на здійснення діяльності підприємства, дає йому право брати участь в розподілі прибутків й управлінні; розподілі залишків підприємства в разі його ліквідації. За ознаками обсягів реалізації прав акціонера акції поділяються на звичайні, конвертовані й привелійовані, а за способом відображення обігу - на іменні та на пред'явника. Оцінка акцій здійснюється за їхньою номінальною, теоретико-економічною, емісійною та ринковою ціною. Перші дві ціни є основою для визначення емісійної та ринкової цін, а також для розподілу дивидендів. Емітентом акція продається за емісійною ціною , а на вторинному ринку ЦП (де акцію продає інший інвестор) вона має ринкову ціну . Остання залежить від взаємодій попиту й пропозиції, дій трейдерів й спекулянтів фондового ринку, економічної кон'юнктури та багатьох інших чинників та нерегулярно (хаотично) коливається за своєю величиною.

На відміну від боргових ЦП з фіксованим доходом ефективність операцій з акціями може бути прогнозавана тільки умовно. Акції придбають щоб заробити на дивидендах, а також, можливо, на різниці між ціною в моменти купівлі й продажу. Власники досить великих обсягів акцій (пакетів) можуть мати реальний вплив на управління підприємством. Залежність ефективності від цін й дивидендів має вигляд де - ціна купівлі, - ціна продажу. Дивиденди виплачуються з прибутку і тільки власники контрольного пакету акцій вирішують яку частину прибутку направити на виплату дивидендів. Послідовність таких рішень формує дивидендну політику корпорації. Сума дивидендів на кожну акцію вельми цікавить акціонерів та тих хто вирішують питання про можливість придбання акції. Однак існує (досить обгрунтована) точка зору що ці хвилювання марні. У своїй знаменитій роботі Міллер і Модільяні))* Модільяні Франко (н.1918) американський вчений в галузі фінансової математики, лауреат нобелевської премії з економіки за 1985р. Міллер Мертон (н. 1923) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки за 1990р.* (Miller M.H., Modigliani F. Dividend policy, growth and valuation of shares. - J. of Business, v. 3y, 1961, p. 411-433) висловили параксальне твердження: в умовах конкурентної економіки дивидендна політика не впливає на ефективність інвестування в акції. Цей ММ-парадокс викликав бурхливу дискусію, що не припиняється й досі. Подамо міркування Міллера-Модільяні в спрощеній формі.

Нехай в момент купівлі акції корпорація мала капітал поділений на акцій. Формально теоретична ціна акції - це частка капіталу, що припадає на неї: . За квартал фірма заробила прибуток , що складає частку від її початкового капіталу, та виділила частку з неї на сплату дивидендів, так що на кожну акцію припало . (Число акцій припускається незмінним). Капітал , що залишився у розпорядженні корпорації й здатний приносити прибуток, дорівнює . Нова ціна акції . Підставляючи ці вирази ціни й дивидендів у формулу ефективності, переконуємося, що вона не залежить від дивидендної політики і визначається тільки продуктивністю фірми:

Висновок формально бездоганний але викликає сумніви. Частина опонентів вказує на те, що реальна ефективність ринкової операції з акціями не дорівнює ефективності в “об'єктивних” цінах, бо ринкові ціни відрізняються від формально-теоретичних. Нехай інвестор не продає акцію. При зберіганні продуктивності фірми, капітал, вкладений в акцію, буде мати ефективність , що визначається тільки продуктивністю. Капітал, отриманий як дивиденд, можна вкласти в довільну ФО. Тому дивидендна політика фірми не має значення, якщо подібні капіталовкладення мають ту ж ефективність, що й капіталовкладення в дану фірму. Ця властивість ідеальної конкуренції економіки й забезпечує справедливість твердження Міллера-Модільяні. В реальній же економіці інвестор може вкласти дивидент і з іншою ефективністю, орієнтуючись на поточну кон'юнктуру.

Повернемось до оцінки акції. Можливо розглянути ситуації, коли акція не змінює власника, або ж зосередитися на власній ціні акції незалежно від власника. Все що отримує власник - це дивиденти, що надходять в різні моменти і тому потрібно враховувати їх дисконти. Приведена до початкового моменту (купівлі акції) сума дивидендів дає теоретичну оцінку акції , де - ставка процента реінвестиції дивидентів, а - дивидент за квартал Найпростіший прогноз дивидендів базується на припущеннях про незмінність продуктивності капіталу корпорації та її дивидендної політики. Тоді капітал за кожен квартал змінюється з коефіцієнтом росту та через кварталів стає , а відповідний дивиденд за квартал є , Тепер можливо обчислити прогноз ціни акції як PV потоку дивидендів

Тобто прогноз ціни акції відрізняється від її формального значення як частки капіталу корпорації множником і залежить від дивидендної політики - коефіцієнта Однак, коли акціонер не може досягти більшої ефективності, реінвестуючи дивиденди в інші ФО, то він вкладає їх в акції тієї ж корпорації. Тоді , і прогнозна ціна не залежить від дивидендної політики, співпадаючи з формальними значеннями. Оскільки в умовах ідеальної конкуренції економіки відсутня можливість більш ефективних конкурентних вкладень, то ММ - парадокс тоді є виправденим.

Ми не будемо торкатися тут проблем оцінювання боргових ЦП, які в цілому є менш складними ніж для акцій. Відповідні результати можна знайти у книгах [5], [12], [20].

4.2 Проблема прогнозування динаміки цін ЦП. Фінансова інженерія, технічний і фундаментальний аналіз
Проблема моделювання динаміки цін ЦП та їхнього прогнозування є вельми складною, що знаходиться далеко від свого розв'язання в теперішній час. Під впливом ринкових сил ці ціни хаотично коливаються в часі. В різних розділах сучасної фінансової математики та фінансової інженерії поширені різні погляди й підходи до вказаної проблеми.

Так, наприклад, в сучасній стохастичній математиці, що займається аналізом деривативів, основною концепцією, на якій будується поняття ефективного ринку є припущення про те, що ціни миттєво асимілюють нову інформацію і встановлюються таким чином, що не дають можливостей “десь купити дешевше а в іншому місці негайно продати дорожче”, тобто не створюють, як прийнято казати, арбітражних можливостей.

В главі 6 висвітлено як концепція раціонально побудованого, правильно функціонуючого фінансового ринку втілюється в те, що (нормовані) ціни акцій на такому ринку описуються спеціальним типом випадкових процесів - мартингалами, що відповідає тому економічному припущенню, що в цих умовах найкращий (в середньоквадратичному сенсі) прогноз майбутньої ціни є її теперішнє значення (тобто прогноз носить тривіальний характер). В той же час в економетриці фінансових ринків і в фінансовій інженерії робляться значні зусилля в побудові адекватних моделей динаміки цін ЦП та прогнозуванні цін на базі спеціальних методів аналізу емпіричних даних. Коротко торкнемося з'ясування ймовірнісно-статистичної структури цін як випадкових процесів.

Нехай - випадковий процес з дискретним часом , що описує зміну ціни акції і . Якщо випадкова послідовність є мартингалом відносно потоку -алгебр подій , що породжується цінами , тобто умовні сподівання , то величини утворюють мартингал-різницю і при умові є некорельованими: .

Але це не означає незалежності і некорельованості або . Аналіз даних фінансових ринків свідчить, що так і є: послідовності і є корельованими і, крім того, спостерігається ще й феномен кластерності (зкученості) величин по групах з великими й малими значеннями. Припущення що , де - незалежні стандартно нормальні ВВ, і неадекватно до реальних даних і тому припускається що є - вимірними невід'ємними ВВ. Величини називаються волатильностями (мінливостями) цін. Отже реальні волатильності є стохастичними (випадковими). Таким чином задача зводиться до “правильного” опису властивостей . Перша нелінійна модель часових рядів для опису ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity- авторегресійна умовна неоднорідність), введена в 1980 р. Р.Енгелем; за якою , дала можливість “ухопити” ефект кластерності. ARCH-модель породила велику кількість споріднених моделей часових рядів, створених для опису й інших ефектів реальних статистичних даних. Найбільш відома серед них GARCH-модель (generalized ARCH), введена Т. Боллерелевом в 1987 р., в якій

Подібний шлях базується на надії збудови при такому підході нетривіальних нелінійних прогнозів і разом з тим цін .

В сучасній статистиці фінансових ринків і в сучасній інженерії поширені й числені інші підходи до моделювання динаміки цін . Зокрема, різноманітні моделі нелінійних часових рядів, що застосовуються безпосередньо до процесів , методи статистичного моделювання Монте-Карло тощо. В той же час серед реальних учасників фондового ринку (дилерів, брокерів, трейдерів й фінансових спекулянтів) надзвичайно широко застосовуються такі методи фінансової інженерії як фундаментальний та технічний аналіз фінансових ринків. Такі фінансові експерти як “фундаменталісти”, “техніки”, “кількісні аналітики” впевнені в можливості передбачення “майбутнього руху цін ЦП”, напрямів й величин майбутніх значень цін, відносно того, акції яких компаній і коли слід купувати й продавати.

Взагалі існують три головних методи практично-емпіричного, частково алгоритмизованого й наділеного кількісними індикаторами підходу до аналізу фондових ринків: фундаментальний аналіз, технічний аналіз та інтуїтивний підхід до аналізу. Фундаментальний аналіз вивчає рух цін ЦП за допомогою врахування числених макроекономічних, мікроекономічних та менеджеріальних чинників. Він сприяє визначенню можливого тренду (тенденції) динаміки ринкових цін, але для визначення конкретних моментів здійснення ФО та угод його як правило недостатньо через хаотичні коливання цін (так званих “цінових тиків”). Тут застосовується технічний аналіз. Одним із головних принципів останнього є врахування того, що ринкові ціни відображують (разом із впливом інших чинників) сподівання й дії всіх учасників ринку. В результаті ціни й обсяги продажу відображують кожну операцію, здійснену численною армією трейдерів. Інтуїтивний підхід до аналізу сповідується незначною кількістю трейдерів і засновується на їхньому досвіді та інтуїції. Цей підхід, як правило, не призводить до довгострокових успіхів.

Якщо основне завдання школи технічного аналізу- розробка технологій і методів (в основному графічних й кількісних) зглажування спекулятивних коливань цін, то головна задача школи фундаментального аналізу - формування й прогнозування нових трендів динаміки цін. Сполучення обох підходів в цілому дозволяє знижувати ризик ФО та підвищувати їх ефективність. При цьому кваліфіковані трейдери використовують й інші аналітичні й технологічні інструменти сучасної фінансової інженерії й аналізу (напр., економетричні методи, методи нейронних сіток, методи імітаційного статистичного моделювання тощо) для прийняття стохастичних фінансових рішень.

Логіка фундаментального аналізу базується на тому, що існує можливість оцінити “справжню” (або “внутрішню”) вартість ЦП, і що ринок з часом більш-менш “правильно” оцінить цю “внутрішню” вартість. Такий аналіз бере до уваги всі суттєві макро- і мікроекономічні чинники, включаючи інвестиційну привабливість даного сегменту ринку, галузі, підприємства, ретельне вивчення фінансово-господарського становища підприємства та перспектив його діяльності. І на базі цього будує прогнози кон'юнктури ринку, його сегментів, місця підприємства в галузі, його майбутнього фінстану, прибутковості тощо з врахуванням теорій “життєвого циклу” галузей, підприємств та їхньої продукції. Числені агенства й аналітики фондового ринку здійснюють рейтингові оцінки підприємств та їхніх ЦП за різноманітними складними методиками, що включають різні статистичні показники, коефіцієнти, індикатори тощо.

Технічний аналіз розробив численні графічні методи візуалізації цінової динаміки та короткочасних трендів цін включаючи “біржові графіки”, “лінійні графіки цін закриття”, “точкові діаграми”, “діаграми японських світників” тощо, методи аналізу цих графічних зображень, які включають зглажування цінових коливань, аналіз різноманітних ринкових станів і “графічних фігур” (“плечові моделі”, “блюдця”, “прямокутники”, “прапори”, “клини”, “V-формації” тощо). Кількісні меттоди технічного аналізу використовують численні кількісні показники й індикатори руху цін, включаючи різноманітні рухомі середні (“мувінгси”), індекси відносної сили- RSI, “стохастики”, MACD, DMI, показники розбіжності -“дивіргентси” тощо. Значне місце в сучасному технічному аналізі зайняла “хвильова теорія Елліота” цінової динаміки, що спирається на аналітичний апарат, пов'язаний з числами Фібоначчі. Значне місце в технічному анвлізі віддається психології учасників фондового ринку, методам управління капіталом трейдерів та їхній торговельній тактиці. Для більш детального ознайомлення з технічним й фундаментальним аналізом можна звернутися, напр. до посібників [9], [14].

Глава 5. Стохастичний аналіз портфельних інвестицій. Теорії портфелю Марковітца й Тобіна, моделі САРМ і АРТ

5.1 Портфель цінних паперів та його характеристики

Розглянемо ФО, що полягає у покупці ЦП по відомим цінам і продажу їх в майбутньому по зарані невідомим ринковим цінам (при цьому інвестор, маючи ЦП може розраховувати на одержання деяких проміжних виплат, напр. дивідендів на акції, теж зарані невідомих). Емпіричний досвід, накопичений економічними агентами на фінансових ринках ЦП, знайшов своє втілення у таких відомих висловах як “Don't put all your eggs in one basket”, “Nothing ventured, nothing gained” (“Не складай всі яйця до одного кошика”, “Не ризикуючи не виграєш”). Подібні ідеї застосування випадковості, а не уникання її та диверсифікації ризиків при цьому й лежать в основі підхода. Г. Марковітца* Марковітц Гаррі (н. 1927 р.) -американський вчений у галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990р.* до теорії портфельних інвестицій, викладеного ним в 1952р. в роботі “Portfolio selection”, опублікований в “Journal of Finance” vol. 7, №1, p. 77-91, що відіграла визначну роль у становленні теорії й практики фінансового менеджменту, фінансової інженерії й фінансової математики. Метод дослідження портфельних інвестицій, запропонований Марковітцем отримав назву “середньо-дисперсійного аналізу” (mean-variance analysis).

Модель портфельних інвестицій грунтується на таких припущеннях: 1) інвестор прагне сформувати оптимальний (в певному розумінні) портфель з багатьох ринкових активів (а не інвестувати, напр., в один тип акцій чи певну галузь економіки); 2) інвестиційний горизонт є визначеним; 3) не враховуються накладні витрати (типу комісійних брокерам, витрати на переєстрацію прав власності тощо). В моделі інвестор, маючи певний капітал на початку періоду, формує в момент часу портфель зі скінченної кількості різноманітних активів на термін інвестиційного горизонту . В кінці періоду він реалізує всі активи портфелю, перетворюючи його в капітал (в грошовій формі). Купівля й продаж активів здійснюється за ринковими цінами, а відносна доходність (ефективність) інвестиції , де - фіксована величина, а - випадкова величина (ВВ), через що й R є ВВ.

Ймовірнісна модель відповідного ринку ринкових активів - ЦП включає: 1) - ймовірнісний простір, що описує множину станів ринку (при цьому елементарна подія відповідає певному стану ринку) 2) - сукупність активів (ЦП), які інвестор може залучити до портфелю; 3) ефективності цих ЦП, так що є ВВ, що характеризує відносну доходність ЦП ,

У інвестора є можливість обирати портфель з певної сукупності допустимих портфелів . Під портфелем розуміється -вимірний вектор , що характеризує розподіл початкового капіталу інвестора між активами, так що є часткою загального вкладення , що припадає на -тий вид ЦП, . При інвестор вкладає частку капілалу в -тий ЦП, а при він бере цей ЦП у борг в кількості - (на одиницю наявного капіталу), тобто бере участь у ФО типу short sale (“короткої продажі”).

Середньо-дисперсійний аналіз грунтується на використанні двох характеристик ВВ : їх середніх (математичних сподівань) , що інтерпретуються як сподівані ефективності (відносні доходності) вкладень в -тий ЦП, та їх дисперсій , що інтерпритуються як міри ризику вкладення в -тий ЦП. Часто замість використовують рівносильну характеристику - середньоквадратичне відхилення . Отже (або ) характеризують варіативності ефективностей вкладень у ЦП і загалом інвестор прагне обирати вкладення з якомога меншими .

Сутність середньо-дисперсійного аналізу полягає у дослідженні двох двоїстих критеріїв поведінки інвестора: 1) максимізації сподіваної ефективності за заданому рівні ризику; 2) мінімізації ризику, тобто показника , при заданому рівні ефективності . Отже такий аналіз досліджує пари . Загалом, щодо вибору між окремими видами ЦП, задача є типовою проблемою так званої багатокритеріальної оптимізації, що не має однозначно розумного розв'язання. Найпростіший принцип домінування, за яким найкращим є той ЦП , параметри якого задавольняють вимоги на практиці можливо застосувати дуже й дуже рідко, і, крім того, він не використовує взаємозв'язків між ефективностями ЦП. Як правило на реальних ринках інвестори мають справу з ситуаціями, де нема домінування. Наприклад, для двох ЦП, , є ситуація коли і (або але ). Вихід полягає у пошуках певних компромісних рішень, що полягають у оптимізаціях характеристик портфелю в цілому з використанням додаткової інформації про коваріаційні зв'язки окремих ЦП

Введемо такі характеристики, як загальна ефективність портфелю , що очевидно дорівнює сумі

сподівана ефективність портфелю

дисперсія ефекту портфелю

Зауважимо, що поряд з в аналізі портфелю також часто використовують коефіцієнти кореляції ,

Приклад 1. Нехай випадкові ефекти ЦП є некорельованими (зокрема взаємно незалежними), так що при . Тоді

Припустимо, що інвестор вклав свої гроші рівними частками = Тоді середній сподіваний ефект та ризик портфелю складуть величини

, .

Поклавши

маємо, що

Отже при зростанні кількості ЦП, що є статистично незв'язаними між собою, ризик ризик портфелю обмежений і прямує до нуля при (доцільно робити вкладення в більш різноманітні набори ЦП). Це наслідок відомого в теорії ймовірностей закону великих чисел. Але на практиці припущення незалежності ефектів окремих ЦП часто не виконується.

Приклад 2. Нехай інвестор може формувати портфель з 6 ЦП, сподівані ефективності й ризики яких відомі й задані наступною таблицею , а ефективності - некорельовані:

1	2	3	4	5	6
11	10	9	8	7	6
4	3	1	0,8	0,7	0,7

Якщо інвестор вкладає капітал порівно в ЦП 1 і 2, то буде не набагато меншим, ніж при купівлі ЦП 1: , але буде меншим ніж у найменш ризикового з двох ЦП:

Наступна таблиця дає і портфелей, складених порівну з перших двох, трьох і т.д. ЦП, характеристики яких дані в табл.1.

n	2	3	4	5	6
	10,5	10	9,5	9	8,5
	2,5	1,7	1,23	1,04	0,87

Ясно, що диверсифікація (diversification) дозволила зменшити ризик майже втричі при падінні сподіваної ефективності на 20%.

Розглянемо тепер випадки залежності ЦП, що ілюструють вплив кореляції.

Приклад 3. Нехай всі (випадок прямої кореляції). Тоді

При рівномірній диверсифікації маємо, що

тобто ризик портфелю є середнім арифметичним ризиків окремих ЦП, і, отже, якщо , то діє така двохбічна оцінка ризику портфелю: .

Значить при повній кореляції диверсифікація не дає позитивного ефекту: ризик не зменшується при . Додатня кореляція між ефективностями ЦП має місце, коли їхні ринкові курси визначаються тим же самим фактором , причому він впливає на них в один бік. Наприлад, нехай зміна курсової оцінки акцій електричної і транспортної компаній і пропорційні зміні цін на нафту . Тоді ефективності гри на курсах цих компаній , де - початкові ціни акцій. Отже диверсифікація закупівлею обох типів акцій марна: ефективність портфелю випадкова й обумовлюється випадковістю цін нафти.

Приклад 4. Нехай є повна зворотня кореляція . Для розуміння сутністі досить розглянути портфель з двох ЦП (n=2). Тоді маємо, що

Отже, якщо , то (тобто портфель є безризиковим). Наприклад, при безризиковим буде портфель, в якому на кожні 3 ЦП виду 1 приходиться 2 ЦП виду 2.

Загальний висновок: при повній зворотній кореляції ЦП можливий такий розподіл вкладень між окремими видами ЦП, що ризик повністю знімається. Практично ж повна зворотня кореляція між ЦП є досить рідким явищем.

5.2 Задачі формування оптимального портфелю ЦП Марковітца та Тобіна

Задача формування оптимального портфелю Марковітца полягає у виборі часток ризикових ЦП в портфелі інвестора при відомих сподіваних ефективностях та коваріаціях всіх цих ЦП, які мінімізують ризик портфелю при заданому рівні його сподіваної ефективності . Припускаючи, що коваріаційна матриця векторів ефективностей ЦП є строго додатньо визначеною (так що і існує обернена матриця ) маємо таку задачу опуклого квадратичного програмування:

Є дві форми цієї задачі Марковітца: перша - більш проста для аналітичного дослідження- коли припускаються операції short-sale при купівлі ЦП (це означає, що нема додаткових умов на знаки величин ) і друга - більш складна, коли не дозволяються операції short sale (тобто всі ).

Якщо ввести вектор-стовпчик , вектор-стовпчик і одиничний вектор-стовпчик 1 розмірності , що складається з одиниць, то задачу (1) можна записати в більш короткій матричній формі:

де позначає операцію транспонування, так що є вектор-рядком

При припустимості операцій short sale відсутні додаткові обмеження на вектор і екстремальна задача (2) легко розв'язується застосуванням стандартного методу множників Лагранжа. Позначимо через функцію Лагранжа задачі (2): , де і - множники Лагранжа. Умова екстремуму дає рівняння звідки оптимальний портфель має вигляд

Підставляючи (3) до обмежень задачі (2) маємо два лінійних рівняння для знаходження невідомих множників Лагранжа і :

Розв'язавши (4) відносно і і підставивши знайдені значення і до виразу (3) знайдемо явний вираз оптимального портфелю

де

Зауважимо, що отриманий розв'язок (5) є лінійним відносно . Звідси випливає, що дисперсія портфелю є опуклою (вниз) функцією від , і таке ж твердження є справедливим і для ризику

При неможливості інвестора брати участь в операціях short sale (купляти ЦП в борг) до задачі (2) слід приєднати обмеження нерівність невід'ємності припустимих векторів

В такому разі уявлення про властивості розв'язку задачі (2) можна отримати застосовуючи загальну теорему Куна-Таккера про умови екстремуму загальної задачі опуклого програмування, що є фактично узагальненням методу Лагранжа. За деталями теореми Куна-Таккера і наступних, заснованих на ній результатах, ми посилаємо зацікавленного читача до книг [18] і [19]. В цілому сутність методу полягає в тому, що вводяться додаткові множники Лагранжа , де множник відповідає нерівності Розв'язок задачі (2), (7), виражений через ці множники має вигляд

де і визначаються рівностями

а множники і вектор задовольняють умови так званої “додаткової нежорсткості”

тобто або або При зміні змінюється й число змінних , що дорівнюють нулеві, але інші змінні визначаються з лінійної системи рівнянь, в яку входить лінійно. Ця властивість призводить до кусково-лінійної залежності в будь-якому діапазоні зміни . Залежність ризику від для задачі (2), (7) залишається опуклою, причому виконується природня властивість, за якою при більшій свободі правил гри можна досягти кращіх результатів (крива ризику при дозволі short sale лежить нижче ніж крива ризику при забороні short sale - рис.1).

В загальному випадку задачі без short sale (2), (7) явних формул для оптимального портфелю (які залежать тільки від параметрів задачі й не залежать від множників Лагранжа) отримати не вдається і тому тут використовуються численні добре розроблені обчислювальні методи нелінійного програмування.

В 1958 р. Д.Тобін знайшов, що розв'язання задачі вибору оптимального портфеля інвестора спрощується й набуває нових особливостей, якщо врахувати наявність на фінансовому ринку крім ризикових ЦП безризикових (або практично безризикових) ЦП типу урядових облігацій з фіксованим доходом або казначейських векселів і включити безризикове вкладання в подібний актив з часткою яку позначають як, а відповідну ставку доходності як (Tobin D. Liquidity preference as behavior toward risk. - Rev. of Econ. Studies, v.25, №1, p.65-86)))* Тобін Джеймс (н. 1918) - американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1981 року.*

Тому і в теорії і на практиці основною задачею є правильний розподіл капіталу між безризиковими й ризиковими вкладеннями. Позначимо через і сподівану ефективність і дисперсію ефективності всієї ризикової частини портфелю. Ефективність комбінованого вкладення (тобто об'єднаного портфелю з безризикової й ризикової частин з відповідними частинами та ) є випадковою: де - ефективність ризикової частини, а - процентна ставка (ефективність) безризикової частини. Тоді сподіване значення ефективності складає величину

а дисперсія визначається тільки ризиковою частиною й дорівнює

. Тому і

Це разом з (*) призводить до рівності

тобто зв'язок між і є лінійним (див рис. 2) (звичайно вважається, що ).

Якщо весь капітал вкладається у безризикові ЦП, то то ефективність є , а ризик є нульовим; якщо ж весь капітал вкладається у ризикові ЦП то сподівана ефективність складає , а ризик є Довільному проміжному рішенню відповідає одна з точок на відрізку прямої, що пов'язує граничні, прості рішення. Однак, якщо можливо брати безризикові папери в борг , то є досяжною будь-яка сподівана ефективність, що супроводжується відповідно зростаючим ризиком. Теорія тільки вказує, які будуть наслідки рішення інвестора.

Задача Тобіна вибору оптимального портфелю має вигляд:

Функція Лагранжа задачі Тобіна (10) дорівнює

де і - множники Лагранжа. Умови екстремуму

призводять до системи лінійних рівнянь для і і : , звідки

Виключаючи з обмежень задачі (10) отримуємо, що або . Підстановка сюди з (11) дає рівняння для , з якого маємо явну формулу для

що дозволяє перетворити (11) в явний вираз розв'язку задачі (10)

де для скорочення записів введено позначення

Істотньо, що величина входить тільки до скалярного множника при Отже, структура ризикових вкладень не залежить від :

Мінімальна дисперсія портфелю має вигляд

Звідси випливає лінійний зв'язок сподіваної ефективності отриманого портфелю та його середньоквадратичного відхилення (ризику):

При оптимальний портфель складається тільки з ризикових ЦП, а, отже, повинен бути оптимальним і серед всіх можливих варіантів тільки ризикових ЦП. Однак мінімальні дисперсії всіх портфелей тільки з ризиковими ЦП для різних даються розв'язанням задачі Марковітца (2). Таким чином точка на прямій (16), що відповідає лежить й на кривій . Це єдина загальна точка цих ліній через єдиність оптимального портфелю ризикових ЦП, і тому пряма (16) дотикається до кривої саме в цій точці (рис.3). Тими ж самими властивостями характеризується й розв'язок задачі Тобіна при додаткових обмеженнях невід'ємності змінних (випадок заборони short sale). В цьому разі, подібно до відповідної задачі Марковітца, розв'язок може бути представлено у формі

де - множники, що задовольняють разом з компонентами умовам доповнювальної нежорсткості (9). Ненульові визначаються спільно з ненульовими з лінійної системи рівнянь, права частина якої пропорційна .

Звідси випливає, що й пропорційний , а, отже, структура ризикових вкладень не повинна залежати від цього скалярного множника.

Хоч гіпотеза Тобіна про можливість чисто безризикових вкладень практично некоректна, можливо довести, що при наявності слаборизикових вкладень розв'язок задачі Марковітца (2) є близьким до розв'язку задачі Тобіна (10), побудованої на базі нехтування слабким ризиком. Тим самим структура сильноризикових вкладень майже не залежить від схильності інвестору до ризику.

5.3 Ризик портфелю і внесок кожного активу в сподівану ефективність портфелю

Серед економістів поширена думка, що або є найбільш розумною мірою ризику портфелю ЦП. Але вона може бути запереченою.

Приклад 1. Нехай для двох видів акцій 1 і 2 але дійсні ефективності залежать від випадкових ситуацій “а” (що має ймовірність 0,2) і “б” (що має ймовірність 0,8). Курс акцій 1 в ситуації “а” зростає на 5% і при “б” - на 1,25%; відповідні величини для акцій 2 складають -1% і 2,75%. Відповідні сподівані ефективності і співпадають:

, .

Дисперсії також співпадають

Нехай інвестор взяв гроші у борг під процент, рівний 1,5. Він нижчий ніж сподівана ефективність і тому ці дії є розумними. Однак, якщо інвестор вкладе гроші в акції 1 і відбудеться ситуація “а” то він виграє 3,5%, а при вкладі в акції 2 він збанкрутує. Коли ж відбудеться ситуація “б” і гроші вкладені в акції 1, інвестор збанкрутує, а коли гроші вкладені в акції 2, то він буде у виграшу. Ситуації мають різну ймовірність і тому рішення інвестора не є рівнозначними щодо ризику банкрутства: при вкладі в акції 1 він збанкрутує з ймовірністю 0,8, а при вкладі в акції 2 - з ймовірністю 0,2.

Отже, при рівності сподіваних ефективностей, дисперсій і початкового капіталу ризик банкрутства може бути різним!

В цілому, хоч завдання дисперсії не повністю характеризує ризик, але воно дозволяє зробити оцінку ризику і виявити граничні шанси інвестора через використання відомої нерівності Чебишева. В застосуванні до випадкової величини за нерівністю Чебишева

Припустимо, що інвестиція робиться за рахунок позики під процентну ставку при заставі майна. Яка ймовірність інвестору не повернути боргу та втратити майно (напр. нерухомість)? Це ймовірність події так що ймовірність банкрутства інвестора є

Звичайно при цьому припускається виконання умови розумності такого вкладення “під кредит”, , і оцінка ймовірності банкрутства має сенс при що було невиконано в попередньому прикладі).

Приклад 2. Знайти умову того, щоби шанс банкрутства був би не більше одного з дев'яти.

З попереднього для цього досить виконання умови або (остання нерівність відома в прикладній теорії ймовірностей як “правило 3-х сигма”).

Розглянемо ситуацію, коли інвестор вкладає в акції тільки частину свого капіталу, залишаючи іншу частину на заощадження під процентну ставку Яка тоді буде оцінка ймовірності банкрутства?

Якщо - початковий капітал, - частина його, що йде на заощадження, то банкрутство можливе, якщо

або ж

Оцінка за Чебишевим дає шанс банкрутства менший ніж при умові, що

або

Ясно, що гра на свій капітал значно безпечніша. Навіть при вкладенні всього капіталу досить виконати умову (звичайно, якщо інвестора задовольняє рівень гарантії).

В цілому оцінка Чебишева, як правило, передбачає великий запас. Наприклад, якщо зарані відомо, що коливання в обидва боки від рівноймовірні, то оцінка шансів на банкрутство зменшується майже в 5 разів: замість 1 випадку з 9 гарантується, що банкруцтво відбудеться не частіше ніж в 1 випадку з 40. Взагалі ймовірність банкрутства теж не є абсолютно об'єктивною мірою ризику економічного агента. Використовуються й інші розумні міри ризику, зокрема величини типу сподіваного значення перевищення втрат над капіталом, який є у розпорядженні агента.

Одним з найбільш загальних підходів до оцінки міри ризику є використання функцій корисності , концепція яких була винайдена російським академіком Д.Бернуллі в 1738 році при розв'язанні так званого “петербургського парадоксу” в одній задачі про банкрутство гравця (див. Напр. [9], стор. 34-35), і стала одним з головних інструментів теорії прийняття рішень, зокрема, в економіці й фінансах. Гладка функція корисності багатства (капіталу) економічного агента визначалась Д.Бернулі як “моральна вартість” суми грошей , що повинна мати властивості

Зокрема, у якості показників (мір) ризику , пов'язаного з випадковою ефективністю активу, можливо використовувати величини де - та чи інша функція корисності, вид якої залежить від особливостей конкретної ситуації.

Наприклад, якщо , то тоді - сподівана середня ефективність активу, а при де - деяке задане число маємо що , тобто міра враховує і сподівання і дисперсію випадкової ефективності активу. Ймовірність уникнення банкрутства при початковому капіталі описується за допомогою спеціальної функції корисності при і при

Застосовуючи різні функції корисності, можна описати різноманітні варіанти випадково-ризикової ситуації та відповідні міри її ризику. Описана вище квадратична функція корисності в теорії ринку ЦП має таку інтерпретацію: інвестор вважає корисним для себе збільшення значення ефективності, але уникає відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше , тим тенденція уникання ризику є більшою. Застосування квадратичної функції корисності є спробою об'єднання двох критеріїв: сподіваного значення й дисперсії.

Тепер розглянемо оцінку внеску кожного ЦП, що входить в оптимальний портфель , у загальну сподівану його ефективність. Відповідні результати належать учню Г. Марковітца - У. Шарпу))* Шарп Уїльям (н. 1934) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990 р.*.

Ефективність оптимального портфелю в моделі Тобіна є ВВ, що має вигляд

де - ефективність -того ризикового ЦП. Звідси, врахувавши, що , знаходимо

Введемо величини що називаються “бета внеску і щодо оптимального потфелю”, рівностями

Враховуючи рівність (3) маємо, що

(остання рівність в (4) є наслідком рівностей (15) і (13) попереднього параграфу.) Звичайно рівність (4) подається у вигляді або у скалярній формі

Величину можна трактувати як премію за ризик при вкладенні коштів в -тий ринковий ЦП під час формування портфелю. Рівність (5) означає, що ця премія за ризик пропорційна з коефіцієнтом (“бетою внеску щодо оптимального портфелю”) премії за ризик , пов'язаною з портфелем в цілому, . При цьому

Чим більша “бета” ЦП , тим вища частина загального ризику, пов'язана з вкладенням саме в цей ЦП. Разом з тим, чим більше тим вища й премія за ризик. Далі в моделі САРМ ми переконаємось у важливості поняття “бета внеску” для теорії й практики аналізу фінансового ринку в цілому.

5.4 Статистика ринку цінних паперів

Цілью портфельного аналізу фінансового ринку є розробка рекомендацій для інвесторів щодо вибору ЦП, в які слід вкладати капітал, та розмірів цих вкладень. Застосування теорій портфелю потребує знання вектору математичних сподівань та матриці коваріацій ефективностей ЦП. Звідки їх брати? Або, як їх знаходити, за наявною інформацією? Відповідь дає статистика ринку ЦП й відповідні статистичні методи оцінки та .

Якщо є дані про ефектності активів (ЦП) за моментів часу, що передують проміжку часу формування портфелю з цих ЦП та його реалізації, то маємо таку базу спостережень де - значеня ефективності -того ЦП для моменту Тоді за оцінки та беруться їх стандартні статистичні оцінки у вигляді вибіркових середніх та вибіркових коваріацій

При звичайних припущеннях про статистичну незалежність спостережень оцінки (1) є незміщенними та консистентними оцінками параметрів та , які можна використовувати як експериментальні значення та при портфельному аналізі інвестицій.

Але при намаганні вимірювати найбільш точно з врахуванням виплати дивідендів за акціями за періоди часу можуть виникати труднощі з наявністю бази спостережень, достатньої для формування всіх оцінок (1), бо дивіденди сплачуються відносно рідко - раз на квартал. Тому досить часто вдаються до іншого статистичного методу оцінювання параметрів портфелю- так званого методу провідних факторів. В якості таких факторів беруться чинники, що переважно визначають всі показники. Наприклад в галузях економіки, що істотньо залежать від використання нафти як енергоресурсу, таким визначальним (провідним ) фактором буде ціна на нафту.

Нехай є один провідний фактор , що ефективності всіх вкладень залежать від нього. Тоді будуються найпростіші лінійні моделі залежності від : які дають змогу знайти оцінки найменших квадратів (МНК - оцінки) параметрів та в схемах регресії

де - випадкові похибки спостережень . При цьому МНК-оцінки параметрів лінійної регресії знаходяться з умов мінімізації функціоналів сумарних квадратичних відхилень

по та

Умови екстремуму призводять до таких оцінок параметрів регресії:

Де

тобто та є статистичними оцінками сподівань для і , є оцінкою коваріації та фактору а - оцінкою дисперсії самого фактору. В схемі парної регресії (2) важливу роль також грають оцінки дисперсії похибок Вони мають вигляд

та є незміщенними оцінками при

Отже при виконанні методу одного провідного фактору в задачі статистичного оцінювання параметрів ЦП потрібно загалом оцінити величин, величин , дисперсій , а також сподівання й дисперсію самого фактора і тобто всього параметрів. Оцінити таку кількість параметрів по значенням, що містяться в історіях (за періодів) провідного фактору і всіх ЦП, значно простіше та надійніше чим напряму оцінювати величин та як це робилося спочатку параграфу (особливо враховуючи недостатню кількість даних, якщо точно враховувати ефективності ) приймаючи до уваги виплати по ЦП в періодах типу дивидендів.

Страницы: 1, 2, 3, 4