Вступ до фінансової математики

Доведемо вказаний факт. Нехай фактична ставка дисконту (облікова ставка), . Інвестор, що вкладає суму на один період конверсії зі ставкою пренумерандо буде негайно отримувати процентний прибуток , цей прибуток негайно приєднується до його доходу, інвестується і дає прибуток інвестування якого дає прибуток і т.д. до нескінченності. Таким чином загальний дохід інвестора (сума інвестованого капіталу плюс всі прибутки) складає величину

(в очевидних припущеннях, що , бо пов'язана з еквівалентною їй за результатами процентною ставкою відношенням через рівність

).

Формально рівність (5), що втілює антисипативний характер нарахування простих процентів з обліковою ставкою є наслідком розкладу

.

Зауважимо, що зв'язок еквівалентних ставок і можна переписати у вигляді , звідки випливає, що . Отже тоді .

Антисипативна за своєю сукупністю схема простих процентів з обліковою ставкою прямо налаштована на підрахунок сучасного, приведеного або поточного значення (present value) інвестиції тобто суми по її майбутній вартості (future value)

: ,

бо при її використанні легше підраховується дисконт-фактор ніж при рекурсивній схемі зі ставкою, коли . При цьому величина дисконту є знижкою до сучасної вартості.

Подібний підхід зручно застосовувати при ФО пов'язаних з обліком боргових цінних паперів (БЦП) - векселів і облігацій. Вексель (В) є письмовим борговим зобов'язанням, що укладено у відповідності із законом та дає право його власнику після настання строку оплати отримати від юридичної або фізичної особи, яка видала В, обумовлену ним суму. В - це цінний папір (ЦП), який підтверджує факт надання позики, або купівлі товару в кредит під проценти і який може знаходитися як і інші ЦП в обігу на фінансовому ринку, тобто перепродаватися й куплятися, змінюючи власника. Виникає проблема оцінювання В при таких ФО, що відбуваються до настання строку платежу (date of maturity) за векселем. Звичайно банк або інша фірма, що купляє В до цього строку (враховує його) з деяким дисконтом (знижкою) відносно його номінальної вартості. Ця ФО здійснюється із застосуванням облікової ставки , тобто ціна обліку (врахування) В обчислюється за формулою , де - номінальна ціна В, а час в періодах конверсії до яких прив'язана ставка до строку погашення векселя. При цьому дохід банку (дисконт врахування В) є .

Приклад 7. Тратта (перевідний В) виданий на суму 10000 грн. зі сплатою (погашенням )17.11.2002. Власник В врахував його у банку 23.09.2002 по річній обліковій ставці =20%. Яку суму він отримав і який дисконт(дохід) отримав при цьому банк?

Звичайно облік В здійснюється при часовій базі року =360 днів з точним числом днів позики, що в даному прикладі дорівнює 55 дням . Тому =10000(1-(55/360)0,2)=9694 грн. 44 коп. Отже дисконт банку складає величину

грн..

2.3 Основні поняття й формули, пов'язані із застосуванням базових схем складних процентів

На відміну від простих процентів, де процентний платіж нараховується на одну й ту ж саму величину первісного капіталу протягом всього часу ФО, в схемах складних процентів процентний платіж у кожному розрахунковому періоді (періоді конверсії) додається до капіталу попереднього періоду, а процентний платіж наступного періоду обчислюється на нарощений капітал попереднього періоду як було з'ясовано в пункті 2.2. Прикладом збільшення капіталу зі складними процентами є регулярне реінвестування коштів, вкладених під прості проценти на один період конверсії. Спосіб обчислення процентних платежів за складними процентами називається нарахуванням “процентів на процент”.

З пунктів 2.2 і 2.1 випливає, що є дві базові схеми нарахування складних процентів: перша найбільш поширена - декурсивна схема з нарахуванням платежів % за звичайною ставкою наприкінці кожного розрахункового періоду; друга менш поширена - антисипативна (попередня або авансова) схема, коли платіж % за обліковою ставкою нараховується та додається до капіталу на початку кожного періоду конверсії. Якщо періоди конверсії є відповідно роком, півріччям, кварталом, місяцем, тижнем або днем, то відповідні % ставки називаються річними, піврічними, квартальними, місячними, тижневими або денними.

Для дискретного часу , початкового моменту і капіталу маємо такі закони динаміки (нарощення) капіталу для моментів часу за декурсивною (антисипативною) схемою складних процентів:

де і фактичні процентна і облікова ставки відповідно. Зауважимо, що формули (1) при певній інтерпретації, що буде приведена в подальшому, зберігаються і для моделей з неперервним часом. При цьому складні коефіцієнти нарощення акумуляції процентів визначаються рівностями

З формул (1) випливають корисні формули для визначення ставок і за величинами капіталу та тривалості розрахункового періоду :

Має місце такий принцип стабільності фінансового ринку: якщо не враховувати податки та інші надкладні видатки, то коефіцієнт нарощення на деякому проміжку часу є добутком таких коефіцієнтів, на які розбитий основний проміжок (ланцюгове правило). Очевидно, що загальне ланцюгове правило еквівалентно його виконанню два двох проміжків часу: при довільних

.

З ланцюгового правила випливає загальний вигляд коефіцієнтів нарощення в умовах змінної ставки процентів: якщо послідовні значення, що діють протягом проміжків часу тривалостей відповідно, то коефіцієнт за весь термін буде

.

Приклад 1. Нехай ставка за позикою є 30% плюс маржа (доплата на накладні видатки або комісійні) в 2% на квартал в перший рік та складає 40% плюс маржа 3% за півроку на другий рік. Тоді за два роки буде.

Нехай - ставка складних процентів за період нарахування в від основного періоду часу (напр. року) зі ставкою . Тоді для часу . Якщо є релятивною ставкою, що відповідає номінальній ставці , , то . Як відомо з математичного аналізу монотонно зростає по і має границю при довільному . Отже використання релятивної ставки замість номінальної при кратному зменшуванні періоду конверсії збільшує дохід інвестора для будь-якого періоду капіталовкладення.

Приклад 2. При річній номінальній ставці =6% квартальному періоді конверсії відповідає релятивна ставка =1,5%, яка дає нарощення за рік, тобто відповідає фактичній річній ставці =6,136%.

Приклад 3. Знайти період подвоєння початкової інвестиції при однаковій ставці простих і складних процентів і порівняти їх для різних. Покладаючи відповідні коефіцієнти нарощення рівними 2 має для простих процентів (з рівності ) і для складних - (з рівності ). Вибираючи =5,10,15,25,50,75, маємо такі порівняльні дані:

Нехай термін інвестиції не є цілим числом, де - ціла частина , а - дробова частина. Тоді складні проценти за ставкою можна порахувати: 1) за загальною формулою

2) комбінованим методом (тобто для нараховуються складні проценти, а для періоду - прості):

Неважко встановити, що формула (5) дає більшу суму ніж (4) (тобто для депозиторів є вигідним метод 2), а для банків - 1).

Нехай - номінальна процентна ставка за базову одиницю часу (напр. рік), але період конверсії становить базової одиниці. Розглянемо сукупність еквівалентних їй номінальних ставок для , для яких відповідні релятивні ставки для періоду конверсії дають той же результат за базову одиницю, що й застосування : . Тоді сім`я ставок описується рівністю

Оскільки є реально діючою ставкою для базової одиниці часу при використанні ставок з періодом конверсії , то вона називається ефективною ставкою для сім`ї номінальних ставок і позначається як . При цьому очевидно, що

.

В загальному випадку, коли період нарахування процентів може і не вкладатися ціле число разів в базову одиницю часу (напр. рік), то ефективна ставка для ставки визначається формулою .

Для антисипативної схеми зі складною номінальною обліковою ставкою при нарахуванні процентів раз за базову одиницю часу сім`я номінальних ставок , для яких відповідні релятивні ставки еквівалентні d, задовольняють рівняння звідки ефективна облікова ставка для ставок має вигляд звідки

Розглянемо тепер динаміку зміни капіталу фінансового фонду, куди розміщений початковий капітал і наприкінці -го року вноситься додаткова сума , при умові використання коштів на інвестиції за річною ставкою .

є балансовим капіталом фонду наприкінці -го року. Враховуючи, що % дохід від балансу попереднього року є , маємо таке рівняння динаміки

Якщо помножити (8) на і просумувати по всім то отримаємо кінцевий капітал на рік :

Сучасна вартість (для =0) акумульованого капіталу підраховується дисконтуванням, тобто множенням (9) на , де - дисконт-фактор за ставкою . Тоді

.

Переписавши рівняння (8) у вигляді та підсумувавши це по знайдемо загальний приріст капіталу фонду

,

що складається з сумарного процентного доходу й суми всіх проміжних депозитів.

В ряді країн отримані (юридичними а іноді й фізичними особами) процентні дивіденди обкладаються податком , що зменшує нарощену суму. Нехай нарощена сума до сплати податку (tax-free) - , а після сплати і ставка податку на проценти є . Тоді після нарахування простих процентів з находимо, що

Тобто податок фактично зменшує процентну ставку з величини до величини .

В довгострокових операціях при оподаткуванні складних процентів можливі варіанти: 1) податок нараховується відразу за весь термін (на всю суму інтересу); 2) податки нараховуються послідовно наприкінці кожного року. У випадку 1) сума податку складає , а нарощена сума:

У випадку 2) сума податку змінюється з роками за законом

.

Досі в усіх випадках всі суми грошей вимірювалися за номіналом (на бралися до уваги зменшення реальної купівельної спроможності грошей через інфляцію). Інфляцію необхідно щонайменше врахувати у двох випадках : при розрахунку реальної нарощеної суми та при вимірюванні реальної ефективності ФО. Розглянемо ці проблеми.

Вимірювання купівельної спроможності грошей є однією з головних задач державної фінансово-економічної статистики і з цією метою обчислюється індекс цін (індекс росту споживчих цін). Якщо середній споживчий кошик в економіці включає назв товарів у кількостях , а ціна за одиницю товару в момент часу , то вартість кошику є . Індекс за час від до , є безрозмірною величиною , а темп інфляції за цей період є відносним приростом вартості попиту: . Звичайно темп інфляції вимірюється у процентах . Тоді . Середній індекс рангу цін та темп інфляції за проміжок в часових одиниць визначаються як

.

Оскільки інфляція є ланцюговим процесом (тобто ціна в поточному періоді підвищується на відносно рівня попереднього періоду), то

.

Якщо сталий очікуваний (або прогнозований) темп інфляції за період, то за періодів .

Тоді для реальної вартості нарощеної суми за час у випадку простої процентної ставки маємо, що

,

а у випадку складної процентної ставки

.

При буде “ерозія” капіталу, а при - реальне зростання капіталу. При у випадку простих процентів нарощення зі ставкою компенсує інфляцію.

Щоб запобігти знеціненню грошей застосовують корекцію ставки процентів на величину, що називається інфляційною премією; так скоректована ставка називається брутто-ставкою . У випадку простих процентів за ставкою ставку знаходять з умови рівності відповідних коефіцієнтів нарощення: або . Ставку в разі складних процентів знаходять з рівності або . На практиці часто останнім членом нехтують і покладають .

2.4 Неперервне нарахування процентів і неперервне дисконтування

В сучасній практиці фінансових інституцій за електронних методів виробництва та реєстрації ФО проценти на значні суми нараховуються щоденно і навіть за періоди в декілька годин. Тому тут стають у нагоді моделі неперервного нарахування процентів, що досить добре наближають дискретні розрахунки.

Схему неперервного нарахування складних процентів можна одержати граничним переходом для схем з релятивними ставками для періоду конверсії в базового періоду часу, що відповідають даній ефективній ставці , пов'язаній з базовою одиницею часу. Неперервне нарахування процентів є граничним для описаної моделі при , оскільки тоді період конверсії стає нульовим. При цьому існує границя

яка називається силою росту (force of interest) або неперервною ставкою процентів. Відповідних коефіцієнт нарощування за довільний час

і отже нарощування інвестиції описується формулою

Застосовуючи подібний граничний перехід для антисипативної схеми з релятивними обліковими ставками , що відповідають ефективній обліковій ставці на базову одиницю часу, , маємо, що

.

При умові еквівалентності ставок і маємо, що і, отже . Очевидно, що гранична неперервна схема нарахування складних процентів буде тією ж самою як для декурсивної, так і для антисипативної схеми. При цьому зокрема, , що дає значення так званого складного коефіцієнта дисконтування для будь якого часу у вигляді

що дає наступний вираз сучасної вартості PV (present value) для суми на момент

Відмітимо, що при сталих ефективній ставці , номінальній неперервній ставці коефіцієнт нарощення залежить тільки від довжини часового інтервалу і є оберненою величиною до . Зауважимо також, що і похідна .

Через випадкові коливання курсів цінних паперів й інших високоліквідних фінансових активів (валют, дорогоцінних металів) можливо вважати при моделюванні, що процентні ставки подібних активів змінюються неперервно в часі, тобто є функцією часу. Це означає, що залежить і від і від, причому

Через рівність

маємо ще одну інтепретацію сили росту . З (6) випливає, що

а коефіцієнт дисконтування для проміжку має вигляд

Зокрема при і проміжку

Приклад 1. Нехай на проміжку часу [0, 5) прогнозується ступінчаста зміна сили росту зі значеннями 0,2 при , 0,15 при і 0,1 при . Тоді за формулою (8) маємо, що

Приклад 2. Збудувати неперервну модель зміни капіталу фінансового фонду з початковим капіталом , якщо його капітал інвестується під неперервну ставку та мають місце нові надходження з інтенсивністю (це неперервний аналог дискретної моделі параграфу 2.3).

Динаміку зміни капіталу за нескінченно малий проміжок часу від до можна описати як приріст капіталу за рахунок процентного доходу

і нових надходжень :

.

Тобто, є розв'язком неоднорідного диференціального рівняння

,

який, як відомо, має форму

що при узгоджується з формулою (7).

Задачі та вправи

1. При якій річній ставці складних процентів за 9 років сума на депозиті подвоїться?

2. Рахунок „СБ-100” в сбербанку обіцяє 2,9% за 100 днів. Скільки це складає річних процентів?

3. Знайти суми в 1990, 1995, 2005, 2010 роках, еквівалентні сумі 10 000 грош. Од. В 2000 році при ставці 8% річних в разі простих та складних процентів.

4. Банк облікував вексель під 70% його номіналу за півроку до терміну його погашення. Яка доходність (ефективність) операції для банку?

5. Яку ставку повинен призначити банк, щоб при річній інфляції в 12% реальна ставка була б 6%?

6. Б.Франклін заповів мешканцям Бостону Ј1000 на таких умовах: 1) гроші давати під 5% річних молодим ремісникам; 2) через 100 років з накопичень (за складними процентами) Ј100 000 віддається на будівлю суспільних споруд; 3) гроші, що залишилися віддати під тіж самі проценти ще на 100 років; 4) після цього терміну накопичену суму поділити між мешканцями Бостону та Массачузетської громади, котрій передати Ј3 000 000. Скільки грошей одержали мешканці Бостону через 200 років після смерті Франкліна (1790 рік)?

7. Показати, що ефективна ставка більша за номінальну.

де дисконт-фактор.

Сучасна вартість потоку платежів є його узагальненою оцінкою на деякий попередній момент часу (у миттєвої ренти - на початок терміну). Нарощена сума (майбутня вартість) - це оцінка потоку на кінець терміну. Очевидно, що між та існує проста функціональна залежність:

Тоді для ренти пренумерандо маємо.

Для ренти постнумерандо маємо

Для вартості рент з одиничними виплатами в актуарній та фінансовій математицi застосовують спеціальні позначення:

тобто

Нарощені вартості в моменти n рент постнумерандо та пренумерандо з одиничними виплатами позначаютсья відповідно як

Звідси

Величини та називають коефіцієнтами дисконтування, а та - коефіцієнтами нарощення рент. Якщо величина процентної ставки фіксована, то в нижньому індексі часто пишуть замість просто .

Корисність та зручність введених величин полягає в тому, що в загальному випадку

Наведені позначення введені наприкінці ХІХ ст. Міжнародним Союзом Актуаріїв.

Вкажімо основні властивості коефіцієнтів дисконтування та нарощення рент, залишаючи їхню перевірку читачеві як самостійну вправу.

Якщо , тo і для довільних .

Випадок трактується як відсутність виплат і тому звичайно приймається, що .

, n1 .

, .

При довільних та , , .

При та довільному , .

,.

Якщо та необмежено зростає, тo

Останній граничний випадок, коли відповідає довічним (безстроковим) рентам. Коефіцієнти дисконтування таких рент мають наступні властивості:

А.

В.

Приклад 1. Кредит в сумі 5 млрд. грн. погашується 12 рівними щомісячними внесками. Процентна ставка за кредитом в місяць. Знайти щомісячний внесок при платежі; а) постнумерандо; б) пренумерандо.

а) для внесків постнумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: млрд. Оскільки , то грн.

б) для внесків пренумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: . Оскільки , то

грн.

Приклад 2. Нехай щорічно сплачується безстрокова рента з грн. Знайти ренти постнумерандо й пренумерандо з і . Тут , .

Оскільки , тo, . Тому постумерандо складає відповідно та грн., а пренумерандо - та грн.

Приклад 3. Знайти суму вкладу на рахунок недержавного пенсійного фонду, щоби він сплачував за ним своїм клієнтам щомісячно грн. Фонд інвестує свої кошти за сталою ставкою в місяць.

Тут доцільно наближено використати модель безстрокової ренти з щомісячним платіжом грн при . Застосуємо схему виплат наприкінці та початку кожного місяця. В першому випадку маємо

грн.,

а в другому

грн.

Приклад 4. Знайти довічних рент пренумерандо і постунумерандо, де сума в сплачуєтсья разів на рік.

Позначимо відповідні ренти як і . Тoді

Якщо є неперервний безстроковий потік платежів з інтенсивністю виплат , що починаєтсья в момент 0, і сила росту процентів є , то відповідна сучасна вартість такої неперервної довічної ренти та її коефіцієнт дисконтування (що відповідає випадку ) складають

Якщо є щорічна довічна рента з довільними платіжами (в моменти 0, 1, 2,…), то її є рядом Таку ренту можна зобразити сумою постійних довічних рент, де перша має член з моменту 0, друга - член з моменту 1, третя - член з моменту 2 тощо. Тоді початкової змінної довічної ренти виражається згідно з вищевказаними результатами у вигляді

Цей вираз є корисним, коли різниці величин Rk більш прості ніж самі .

Приклад 5. Нехай є зростаючий безстроковий потік платежів, що має експоненційний ріст , Знайти цього потоку при умові, що .

Маємо, що

.

то при начисленні відстроченої ренти можливо використовувати формули (7) з пункту 3.2 при довільних значеннях , включаючи дробові. Разом з тим при будь-яких цілих та

Таким чином, при цілому для обчислення коефіцієнтів дисконтування відстроченої ренти можливо використовувати як (1) так і (2), а при довільному , включаючи дробові, тільки (7) з 3.2. З фінансових міркувань, коефіцієнти дисконтування (1)-(2) відстроченої ренти при збігаються з та .

Розглянемо тепер - кратні ренти. Нехай за рік відбуваєтсья рівновіддалених виплат з грош. од. кожна, причому % нараховуються також разів, Загальне число виплат за років є , а загальна їх сума при складає грош. од. Для ренти постнумерандо виплати відбуваються та проценти нараховуються в моменти

а для ренти пренумерандо - моменти

Передостання операція постнумерандо і остання операція пренумерандо відбуваютсья в момент .

Позначимо коефіцієнти дисконтування рент та у випадку виплат і конверсій відповідно через та , а коефіцієнти нарощення - та . Для спрощення іноді опускаємо індекс в проміжних результатах.

Приводячи вартість виплат в до моменту 0, маємо

.

Оскільки , то за формулою зв'язку з

.

Отже,

Аналогічно

.

Тому, як це випливає з фінансових міркувань,

Проводячи подібні підрахунки для , отримаємо

(пропонуємо читачеві як вправу довести це). Граничний перехід в (5) і (6) при та дає рівності

що узагальнює відповідні результати для однократних рент на -кратні. Потрібно зауважити, що -кратна рента з та номінальною річною ставкою еквівалентна однократній ренті з періодом років, та ставкою за період та терміном періодів, бо через рівність маємо, що .

Нехай на інтервалі часу рента сплачується так часто, що її практично можна вважати неперервною, коли різниця між схемами постнумерандо і пренумерандо щезає. Позначимо неперервної ренти з постійною інтенсивністю 1 гр.од. за одиницю часу при неперервному нарахуванні % з постійною інтенсивністю через . Оскільки за інтервал часу при малому буде сплачено гр.од., а приведена на момент 0 цієї суми є , то після підсумовування по інтервалу та переходу до границі при маємо, що

де - будь-яке невід'ємне число (необов'язкове ціле). Якщо , то , що узгоджується з елементарними фінансовими міркуваннями. Оскільки при неперервній конверсії , та при з (8) випливає, що

Нехай h довільне дійсне невід'ємне число, а - відстроченої на неперервної ренти з інтенсивністю 1 на інтервалі часу . Тоді

Тобто відстрочену неперервну ренту можна виразити через миттєву:

.

Міркуючи, подібно до виводу формули (8) маємо для коефіцієнтів нарощення неперервної миттєвої ренти рівність ,

звідки

З (9) ,

та при довільних

і

Використовуючи, що при довільних

маємо з (11), що ,

На заключення параграфу розглянемо ще найпростіші випадки змінних рент, коли їхні члени змінюються за арифметичною та геометричною прогресією.

Якщо члени ренти R0 змінюються у арифметичній прогресії , де перший член і - різниця прогресії, то її є

.

Якщо члени ренти змінюються у геометричній прогресії ( - знаменник прогресії), то її є

.

Читачеві пропонується довести останні дві рівності як вправу.

Теорія інвестицій (капіталовкладень) є складним та цікавим розділом фінансової теорії та фінансової математики. Ми далі розглянемо деякі відносно прості методи аналітичної оцінки ефективності інвестиційних та інших комерційних проектів, де спочатку вкладаються кошти в деяку сферу (виробництво, будівельну галузь, торгівлю, цінні папери тощо), а потім вони поступово повертаютсья, приносячи інвестору певний прибуток. Задача інвестора - на базі даних про проекти до їх початку та відповідному прогнозі на період реалізації проектів вибрати оптимальний варіант вкладання своїх грошей, оцінивши доходність проектів. Це складна задача, що містить в собі ряд моментів невизначеності та ризику.

У відповідному фінансовому аналізі доцільно йти від простих моделей до більш складних, що враховують більшу кількість факторів та параметрів. Тут розраховані на широке застосування моделі не повинні бути занадто складними. Навіть прості моделі разом з експертними оцінками динаміки майбутніх значень показників дозволяють отримувати оцінку доходності проекту, що вивчається для прийняття рішення про інвестування. Ми не будемо користуватися тут складними ймовірнісними моделями, залишаючись у сфері детермінованих методів. Для цього нам необхідно побудувати модель детермінованого потоку грошових видатків та надходжень у інвестиційному проекті, що розглядаєтсья з різними за знаками та величиною платіжами спочатку в дискретному, а потім в неперервному варіанті.

Почнемо із узагальнення дискретного потоку платежів, що вивчався раніше.

Нехай є деякий інвестиційний проект, що починаєтсья в момент часу з капіталовкладаннями грош.од., а потім в моменти часу , відбуваютсья видатки і/або надходження (доходи) грош.од. - транзакції. Вважаємо, що обрана одиниця часу (напр.рік) та взагалі кажучи .

Введемо вектори , , та позначимо потоки видатків і надходжень відповідно через та

Тоді цих потоків відповідно дорівнюють

,

,

де - коефіцієнт дисконту на інтервалі .

У фінаналізі для інвестора його видатки вважаються від'ємними величинами, а доходи - додатними. Тоді - початкова інвестиція, а - нетто-платіж інвестора у момент (при це видаток, при дохід). Тепер можна розглянути один нетто-потiк , . Чиста PV (Netto Present Value=NPV) цього потоку складає

Аналогічно, чиста AV (Netto Accumulated Value=NAV) потоку на довільний момент складає

Зокрема, при oтримаємо з (2) всіх платежів потоку

Звичайно при оцінці проекту його доходність порівнюють з середньоринковою (тобто тією що панує на ринку в момент аналізу проекту). Тут при визначенні короткострокових ринкових ставок доходності звичайно орієнтуютсья на ставки банківського % , а для середньо та довгострокових інвестицій - на показники доходності за державними цінними паперами з відповідним терміном погашення. Це в першу чергу стосуєтсья інвестицій у цінні папери. Якщо ж аналізуєтсья проект інвестицій у виробництво, будівництво, торговлю тощо, то необхідно використати середньогалузеві показники доходності аналогічних по класу підприємств.

Враховуючи, що завжди , та при неперервному нарахуванні % з інтенсивністю на рік

а при для довжини інтервала часу при

маємо в цьому випадку просту форму формул (1)-(3)

Розглянемо тепер модель неперервного потоку платежів. Часто у фірми поряд з великими та рідкими платіжами (скажімо, щомісяця) відбуваються часті невеликі видатки (щоденно), які при теоретичному аналізі можна описувати моделлю неперервного потоку платежів. При помірних ставках це дає невелику методичну похибку підрахунку але розрахунки стають прозорими та простими. Більші похибки в прогнозі та вносять похибки у оцінки величини платежів та . Приймемо за базову одиницю часу рік і те, що на видатки відбуваютсья неперервно з інтенсивіністю грош.од. на рік, а платежі - неперервні з інтенсивністю в рік, . Тоді неперервна інтенсивність нетто-потоку платежів в момент є . Отже величина платіжу на малому інтервалі приблизно дорівнює

(тут відповідає видаткам, доходам, нейтральному стану).

Вважаючи, що і неперервні або кусково-неперервні функції, шляхом розбиття інтервалу часу на малі проміжки при , підсумовуванню відповідних платежів та граничному переходу при , маємо, що сума всіх платежів на є інтегралом

звідки платіж на інтервалі, є

Якщо , то на проміжку сумарний платіж при малому має наближення

.

Тому дисконтування його на момент 0 приблизно становить , а після підсумовування по розбиттю на такі малі проміжки та граничному переходу при маємо, що дисконтоване значення всього неперервного потоку нетто-платіжів складає

Модель неперевного потоку дозволяє аналізувати проекти буз значних викладень та доходів на відносно коротких проміжків часу.

Для середньо- та довгострокових проектів потік готівки є змішаним поряд з великими платіжами, що відносно різні існують інтервали часу, де платіжі можна вважати практично неперервними. Тут необхідні дискретно-неперервні моделі потоку платежів на проміжку . Для побудови таких моделей потрібно задати: а) послідовного , , моментів і послідовінсть сум платежів в ці моменти; б) вказати підінтервали на , де неперервних платежів відмінна від 0. Тоді через формули (1) та (8) на момент 0 змішаного дискретно-неперервного потоку платежів буде

Аналогічно, цього потоку в момент є

де - коефіцієнт нарощення на .

Зауважимо, що формально математично коефіцієнти нарощення та дисконтування взаємозамінні, бо при

через властивість інтегралу

та формули

, .

Розглянемо тепер зрівноважуючий час для серії позичкових платежів. Нехай боржник зобов'язався погасити борг послідовними платіжами величиною в моменти відповідно. Тобто є однобічний потік платежів . Сума всіх недисконтованих платежів є , а вага в ній s-того платіжу , .

Боржник пропонує кредитору погасити борг одним платіжом в момент . Кредитор пропонує боржнику (дебітору) зроботи платіж x в момент , що визначається з умови еквівалентності потоків платежів та при відомому , тобто в момент . Момент називаєтсья зрівноважуючим часом для даного потоку платежів при фіксованому .

Задача. Показати, що при , тобто вигідніше для боржника, а - для кредитора.

Для вибору найкращих варіантів вкладання коштів застосовують кілька розроблених методик. Найчастіше вони засновані на застосуванні таких 4-х показників порівняння варіантів: 1) чиста поточна вартість; 2) внутрішня норма доходності; 3) період окупносіт; 4) індекс рентабельності.

Першим показником є проекта, що співпадає з відповідного потоку платежів, що була вже розглянута. Дійсно, каже про недоречність для інвестора відповідного варіанту потоку платежів при даних, та . Серед варіантів з потрібно обирати той, де більша, але це потрібно ще порівняти із вкладанням грошей на банківський депозит, що може бути більш рентабрельним і до того ж значно менш ризиковим.

Для цієї мети прислуговує інший показник - внутрішня норма доходності (Internal Rate of Return=IRR): , де є коренем рівняння

яке називається рівнянням вартості або доходності проекту на момент 0. Смисл рівняння (1) той, що на момент потоку видатків та потоку доходів збігаються, тобто прокет при є безприбутковим.

Якщо у рівняння (1) є єдиний додатний корінь , то він називається ставкою доходності проекту або внутрішньою нормою доходності (IRR) за базову одиницю часу. Якщо , де - ринкова ставка процента, то проект потрібно відхилити, а при він потенційно гідний, але серед таких варіантів, потрібно обрати варіант з найбільшим значенням .

Якщо поток платежів заданий, то

недисконтована сума всіх нетто-платежів на термін проекту. З фінансових міркувань та сенсу випливає, що потрібно відхилити всі варіанти з та розглядати тільки варіанти з . Далі при дуже великих маємо:

,

де початкова інвестиція.

Приклад 1. Нехай в момент 0 інвестор вкладає у проект суму грошей , розраховуючи отримувати наприкінці кожного року сталу суму доходу де - норма доходності за 1 рік.

Обчислимо . Тут рівняння (1) приймає вигляд полінома від :

де - коефіцієнт дисконтування. Оскільки , то після підстановки та скорочення на маємо . Очевидно, що - єдиний корінь цього полінома, що є IRR проекта.

Приклад 2. Нехай є схема погашення боргу , що взятий на років за річною ставкою з умовою виплати наприкінці кожного року процентів в сумі та повертанням наприкінці року первісної суми боргу . Тоді за допомогою ренти постнумерандо (3) можна записати у вигляді . Скорочуючи, обидві частини рівності на отримаємо формулу , що еквівалентна рівності (*) прикладу 1.

Має місце таке твердження про достатні умови існування IRR.

Пропозиція. І. Якщо у потоці всі від'ємні платежі передують всім додатним або навпаки, то визначена. ІІ Більш загально, нехай та

- накопичена сума всіх нетто-платежів інвестора від моменту до включно. Якщо , і після виключення нульових значень послідовність має рівно одну зміну знаку, то рівняння доходності (1) має єдиний додатний корінь, тобто - визначена.

Доведення цього можна знайти у [25]. Зауважимо, що потік платежів прикладу 1 задовольняє умови пропозицій. Зауважимо ще, що рівняння вартості можливо подати у вигляді та звести задачу до знаходження коренів полінома з цілими степенями змінної або якщо обрати базову одиницю так, щоб всі були цілими числами.

Розглянемо випадок дискретного потоку платежів та приймемо, що всі платежі віднесені до середини місяця (або іншої базової одиниці), причому інвестиції робляться у перші місяць, а потім йдуть доходні місяці:

.

Тоді загальний обсяг інвестицій , а термін окупності без приведення сум грошей до одного моменту часу можливо знайти шялхом послідовного акумулювання щомісячних доходів, поки вони не перервищують :

.

Інакше кажучи, термін окупності задовольняє нерівність

В найбільш простому випадку, коли інвестиції у розмірі |c0|=k здійснюються тільки раз, а всі надходження рівні c1 умови (1) мають вигляд

В більш складному, але краще обгрунтованому варіанті потрібно спочатку привести всі грошові суми до одного моменту часу - моменту завершення інвестицій, а потім визначати термін окупності проекта. Це вточнене значення (present value payback period) буде більше за первісне.

Індекс рентабельності (benefit cost ratio або Present Value Index) проекту є відношенням суми всіх дисконтованих грошових доходів від інвестицій до суми всіх дисконтованих інвестиційних видатків.

Якщо індекс менший , то проект відхиляєтсья. а серед проектів з індексом перевага віддається проекту з найбільшим індексом, але він може мати не найбільшу .

Приклад. Нехай є проекти і . Для всіх доходів є , а інвестиції становлять . Для відповідно та . Відомо, що проекту більше за те, що є у .

Тоді індекси рентабельності цих програм відповідно дорівнюють

.

Тому за рентабельностю більш переважний. Але дозволяє інвестувати більше коштів і має більшу , тобто економічно він може бути більш вигідним. Отже iндекс рентабельності не є однозначним критерієм ефективності проекту.

Зупинимося тепер на врахуванні інфляції у інвестиційних проектах. Розглянемо простий випадок, коли інвестор може одержати або дати кредит під однаковий процент та його можливості одержати кредит необмежені. Рівень інфляції для різних компонентів майбутнього потоку платежів, взагалі кажучи, може бути різним (напр., зарплата може зростати більш повільно ніж ціна на матеріали).

Розглянемо випадок, коли всі компоненти платежів за період мають ту ж інфляцію з прогнозною ставкою (темпом) за базову одиницю часу. Припустимо, що всі платежі індексуються із врахуванням , так що прогнозні оцінки

, i

для параметрів дискретно-неперервного потоку платежів приймають вигляд:

, .

Тому дисконтована на момент 0 вартість потоку платежів при ставці за базову одиницю часу складає

Страницы: 1, 2, 3, 4