Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Учебно-методическое пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Г723

Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей.

В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления.

Научный редактор проф. А.П. Господариков

Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет).

Господариков А.П.

Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с.

ISBN 5-94211-104-9

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Введение

Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида . Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.

Глава 1. Ряды Фурье

§ 1. Векторные пространства

Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье.

Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов , и . Произвольный вектор является линейной комбинацией векторов базиса:

. (1.1)

Коэффициенты li (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора относительно базиса , могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектора и одного из векторов базиса

В силу ортогональности базиса скалярные произведения при , следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее , поэтому , откуда

, (1.2)

где .

Если векторы и заданы своими координатами и , то их скалярное произведение

Так как при скалярное произведение , то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому

. (1.3)

В частности при из (1.3) следует

. (1.4)

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

Обозначим символом множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a, b], т.е. функций, имеющих на промежутке [a, b] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.

Скалярным произведением функций называется число

Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:

1. .

2. .

3. .

4. ; .

Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.

Функции называются ортогональными на [a, b], если .

Нормой функции на промежутке [a, b] называется неотрицательное число , квадрат которого равен скалярному произведению функции на себя:

Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора:

1. .

2. Если функция непрерывна на [a, b] и , то . Так как , то при

откуда . Дифференцируя последнее соотно- шение по и применяя теорему Барроу, получим и, сле-довательно, .

3. теорема косинусов

. .

Следствие. Если , то (теорема Пифагора).

4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции (k = = 1, 2, …, n) попарно ортогональны на промежутке , то

Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим

В силу ортогональности функций скалярные произведения при , поэтому

5. неравенство Коши – Буняковского , или, что то же самое,

При любых вещественных

Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант .

Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3.

Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений:

а) функция ортогональна функциям и на промежутке при любых целых k и m;

б) при любых целых k и m функции и ортогональны на промежутке ;

в) функции и , а также и при ортогональны на промежутках и ;

г) функции и не ортогональны на промежутке .

Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника

§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

Счетное множество непрерывных на промежутке функций образуют на этом промежутке ортогональную систему, если

1. , 2. при .

Пусть – ортогональная система функций на промежутке и . По аналогии с (1.2) образуем величины

, (3.1)

где .

Числа называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы .

Ряд

(3.2)

называется рядом Фурье для функции .

В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция , ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции линейными комбинациями функций .

Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции другой, близкой к , функцией , более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения

или более простой величины

Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций и , тем лучше функция аппроксимирует функцию .

Определим, при каком наборе коэффициентов линейная комбинация

первых п функций ортогональной системы наилучшим образом аппроксимирует функцию , или, иначе говоря, при каких величина принимает наименьшее значение.

Преобразуем выражение для dп, используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье:

Применив тождество , получим

Из последнего выражения сразу следует, что принимает наименьшее значение

, (3.3)

при

Таким образом, именно частичная сумма ряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функции по сравнению с другими линейными комбинациями функций

Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций ортогональна на промежутке , и, во-вторых, системы функций и ортогональны на промежутке .

Указание. Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций.

§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

Из формулы (3.3) с учетом того, что величина по определению не отрицательна, следует

. (4.1)

Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда

. (4.2)

Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при , получим неравенство Бесселя

. (4.3)

Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность сходится. из (3.3) получим ее предел

. (4.4)

Если , где – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует

(4.5)

Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.

Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.

Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества , или, что то же самое, для любой функции из ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.

Свойства замкнутых систем следующие:

1. Если непрерывная функция ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что , и тогда (см. § 2, свойство нормы 2)

Таким образом, к замкнутой системе функций нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем . Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.

Следствие. Если две непрерывные функции и имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.

2. Пусть и – коэффициенты Фурье функций и относительно замкнутой ортогональной системы . Тогда

(4.6)

где, как и ранее,

Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.

Так как для функций коэффициенты Фурье, очевидно, равны , в силу замкнутости системы из (4.5) следует

Вычитая почленно эти равенства и используя тождества

получим равенство (4.6).

3. Если – замкнутая ортогональная система функций, то

, (4.7)

т.е. интеграл от функции можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям и

и учесть, что в этом случае . Тогда

Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.

Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [а, b] к функции , то он сходится в среднем к этой функции.

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]

Система функций

(5.1)

ортогональна на промежутке [–L, L] (см. упражнение в § 3).

Показать, что следует самостоятельно.

Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке [–L, L], сопоставим ее ряд Фурье:

. (5.2)

Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами

(5.3)

Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.

Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид

. (5.4)

Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции на промежутке [–L, L].

Частичные суммы

тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции ее тригонометрическим полиномом Фурье,

. (5.5)

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

Функция называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.

Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке , то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.

Теорема Дирихле. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где – односторонние пределы в точке а.

Если доопределить (или переопределить) функцию , полагая в точках разрыва и f (–L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле

, (6.1)

где коэффициенты по-прежнему определяются формулами (5.3).

Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)

(6.2)

называются гармониками. Введем в рассмотрение величины и , связанные с коэффициентами Фурье и соотношениями и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где – амплитуда гармоники; – ее частота; – начальная фаза. Множество частот образует дискретный частотный спектр функции на промежутке [–L, L]. Формула (6.1) примет вид

, (6.3)

т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.

Из равенства Парсеваля (5.4) следует

, (6.4)

где .

Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции на промежутке [–L, L]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.

В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [–L, L] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-периодическая функция , которая на промежутке [–L, L] совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением.

Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.

Замечание. Если функция , заданная для всех , является 2L-периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию на всей числовой оси. В этом случае можно

получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:

, (6.5)

где с – любое число.

Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция имеет период Т, то интеграл не зависит от а. Действительно,

Выполнив в среднем интеграле замену переменной и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение .

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L, т.е. .

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

Функция , область определения которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если . Тогда или []. Так, например, функции и нечетны, а и четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция четна, то

; (7.1)

б) если функция нечетна, то

. (7.2)

Указание. Представить интеграл в виде суммы интегралов: и в первом из них выполнить замену .

Пусть четная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Произведение будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

. (7.3)

Так как – четная функция, то вследствие (7.1)

. (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

(7.5)

где

. (7.6)

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]

Пусть функция удовлетворяет на промежутке [0, L] условиям Дирихле. Построим четное продолжение данной функции на промежуток [–L, 0], полагая для . Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы:

. (8.1)

Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значения первоначально заданной функции:

. (8.2)

Аналогично, если функцию продолжить на промежуток [–L, 0] нечетным образом, полагая для , и разложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке [–L, L], то в этом разложении будут содержаться только синусы:

(8.3)

где

. (8.4)

На промежутке [0, L] ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию , но вне этого промежутка эти ряды ведут себя по-разному. Так на промежутке [–L, 0] ряд (8.1) сходится к четному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции .

Функции

; (8.5)

, (8.6)

участвующие в разложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке [0, L]. Кроме того, как нетрудно проверить, . Поэтому величины и , определяемые формулами (8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции относительно ортогональных систем (8.5) и (8.6) соответственно, и, следовательно, ряды (8.1) и (8.3) являются рядами Фурье на промежутке [0, L] для этой функции.

Замечание. Если функцию , заданную на [0, L], продолжить произвольным образом на промежуток [0, L], например, просто положив для , то ее разложение в тригонометрический ряд будет содержать и синусы, и косинусы:

. (8.7)

На промежутке [0, L] этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и (8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции на указанном промежутке, так как система функций

участвующая в разложении (8.7), не ортогональна на [0, L] (см § 2, упражнение 2, д).

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций назовем комплексное число

где – функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

2. билинейность

, .

Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.

Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение нормы функции оставим прежним, так что

Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:

1. теорема косинусов.

или в более общем виде

. (9.1)

2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то

Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.

3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции и непрерывны, то .

В самом деле, если , то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где и , имеем

Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.

Пусть теперь система комплексных функций

(9.2)

Страницы: 1, 2, 3