Учебное пособие: Основы теории вероятности

- Кроме указанных законов распределения, на практике используются числовые характеристики с.в.:

-   математическое ожидание M(X);

-   дисперсия D(X);

-   среднее квадратическое отклонение X).

 (5.5)

 (5.6)

 (5.7)

 (5.8)

Для биномиального распределения (формула (5.1)) имеем:

M(X)=np (5.9)

D(X)=npq (5.10)

Для распределения Пуассона (формула (5.2)):

M(Х)=D(Х)=np= (5.11)

Задачи

Задача №57. В партии из 6-ти деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной с.в. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики с.в. Х.

Решение. Имеем гипергеометрический закон распределения с.в. Х:

Возможные значения Х:

Соответствующие вероятности вычисляются по формуле (5.4):

=

Имеем ряд распределения:

Многоугольник распределения.

рис.3

Функцией распределения F(х) называется вероятность того, что с.в. Х в результате испытаний примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x)

В нашем случае имеем:

если х1, то F(x)=0,

если 1<x2, то F(x)=,

если 2<x3, то F(x)= 

если х>3, то F(x)=.

График этой функции на рис.4.

рис.4

Математическое ожидание (по формуле (5.5)):

Дисперсия (по формуле (5.7)):

Среднее квадратическое отклонение (по формуле (5.8 )):

Задача №58. В денежной лотерее 100 билетов, из них 1 составляет выигрыш в 50 грн, 10 – в 1 грн. Составить закон распределения с.в. Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Вероятность выигрыша 1 грн равна

,

аналогично получим

, .

Имеем ряд распределения с.в. Х:

Многоугольник распределения с.в. Х:

рис.5

Функция распределения.

рис.6

Задача №59. Среди 20-ти изделий 5 бракованных. Случайным образом выбираются 3 изделия для проверки их качества. С.в. Х – число бракованных изделий. Построить ряд распределения Х, найти М(Х), D(X), если Х=0,1,2,3.

Решение.

Имеем ряд распределения с.в. Х.

Х:

Задача №60. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не более определённого числа литров в сутки), равна . Найти вероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение 1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти дней.

Решение. Пусть с.в. Х – число дней, в течение которых расход воды будет нормальным. Тогда вероятности, соответствующие возможным значениям Х (от 1 до 6), будут вычисляться по формуле Бернулли (5.1) и распределение с.в. Х будет биномиальным.

Примечание: при вычислениях вероятностей удобно использовать формулу

Строим ряд распределения с.в. Х.

Строим многоугольник распределения с.в.Х.

рис.7

Очевидно, что наиболее вероятен перерасход воды в течение одного или двух дней из 6-ти.

Наиболее вероятным является нормальный расход воды в течение 5-ти дней:

Р(Х=5)=0,356.

 называется модой () с.в. Х.

Строим функцию F(x) распределения с.в. Х.

рис.8

Функция распределения аналитически может быть записана так:

F(x)

Задача №61. Игральная кость брошена три раза. Построить ряд и функцию распределения с.в. Х – возможного числа появления шестёрок.

Решение. Имеем схему Бернулли с

, , n=3.

 ; .

Ряд распределения Х имеет вид:

Функция F(х) распределения с.в. Х имеет вид:

F(х)=

Строим график:

рис.9

Задача №62. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна р=0,09. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла.

Решение. Пусть с.в. Х – число проб с промышленным содержанием металла, тогда c.в. Х распределена по биномиальному закону.

Математическое ожидание вычисляем по формуле (5.9), дисперсию, соответственно, по формуле (5.10 ):

.

Задача №63. Тираж учебников составляет  экземпляров. Вероятность неверного брошюрования учебника равна  Записать ряд бракованных учебников среди данного тиража для возможных значений Х от 1 до 5.

Решение. Здесь

По формуле (5.2) мы получим все интересующие нас вероятности:

Имеем ряд распределения с.в. Х (закон Пуассона).

Так,  (принимаем ).

Математическое ожидание числа бракованных экземпляров среди 10 книг при  равно:

Задача №64. Вероятность того, что с конвейера сойдёт k бракованных деталей равна . Построить ряд распределения для с.в. k и найти её математическое ожидание.

Замечание. для решения этой задачи понадобятся первоначальные сведения из теории рядов, или, по крайней мере, знание бесконечной убывающей прогрессии.

Решение.

1. Строим ряд распределения с.в. k – числа бракованных деталей с конвейера (геометрический закон).

2.

Мы получим М(Х), если бесконечная сумма – ряд сходится.

Воспользуемся признаком Даламбера для знакоположительных рядов.

ряд сходится и М(Х) – его сумма.

Для её нахождения применим искусственный приём:

+  . . . 

Примечание. Каждая бесконечная сумма в скобках в правой части равенства для М(Х) вычисляется по формуле для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии ().

Задача №65. Мишень вращается вокруг оси Ох. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различить цифры. Стреляет наугад. Секторы одинаковы. Выигрыш соответствует номеру сектора.

Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 грн?

Решение.

рис.10

Вероятности всех возможных значений Х равны между собой и равны

Найдём

.

Стоимость выстрела 5 грн. Очевидно, стрелять много раз невыгодно.

Задача №66. Дискретная с.в. Х принимает только 3 возможных значения: 1,

, . ().  

Найти закон распределения с.в. Х, если

М(Х)=2,2 и D(X)=0,76.

Решение.

1.         Запишем ряд распределения для Х, найдя предварительно

2.        

2. Запишем равенства для математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X):

Получим нелинейную систему двух уравнений с двумя неизвестными  и . Решим её.

5.2 Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной называют величину, которая может принимать любое числовое значение из некоторого конечного (a,b) или бесконечного интервала.

Множество возможных значений такой величины бесконечно.

Примером таких величин являются: величина ошибки при измерении расстояний, веса и др.; время бессбойной работы прибора, размеры детали, рост человека при обследовании определённой группы людей и др.

Закон распределения непрерывной с.в. имеет две формы:

интегральная функция распределения F(x) и дифференциальная функция распределения f(x).

- Как и в случае с дискретной с.в., интегральная функция распределения F(x) имеет вид:

F(x)=P(X<x) (5.12)

Но в отличие от ступенчатой линии для F(x) в случае с дискретной с.в. для непрерывной с.в. имеем непрерывную кривую для F(x).

Свойства F(x):

1)            0F(x)1;

2)            если >, то F()F();

3)            P(a<X<b)=F(b)-F(a); (5.13)

4)            P(X=)=0;

5)            если Х (a,b), то  ;

6)             .

- Дифференциальная функция распределения f(x) (плотность вероятности) есть производная от интегральной функции:

f(x)=

P(a<x<b)= (5.14)

(f(x)dx называется элементом вероятности)

F(x)= (5.15)

Свойства f(x):

1)            f(x);

2)             (5.16)

3)             (

Наиболее употребимыми являются следующие законы распределения непрерывной с.в. (задаются они формулой для f(x)):

- равномерное распределение вероятностей

Пусть [a,b] – шкала некоторого прибора. Вероятность p попадания указателя в некоторый отрезок шкалы [,] равна p=k(-), (k>0).

Тогда, так как

p(a<x<b)=1, то k(b-a)=1 k= 

 p(<x<)= F(x)=p(a<X<x)= (5.17)

График F(x) на рисунке 11.

рис.11

f (x)= (5.18)

рис.12

- показательное распределение

 (5.19)

F(x)= (5.20)

- нормальное распределение

 (5.21)

F(x)= (5.22)

Здесь a=M(x),  - параметры распределения с.в.Х.

График f(x) представлен на рис.13 и называется нормальной кривой (кривой Гаусса).

рис.13

При a=0,  имеем плотность нормированного распределения:

Эта функция табулирована (см. приложение 1), график её на рис.14.

рис.14

В этом случае интегральная функция распределения с.в.Х есть функция Лапласа:

 (5.23)

График функции Лапласа Ф(х) на рис.15.

рис.15

Из него видно, что:

1)         Ф(0)=0,

2)         Ф(-х)=-Ф(х),

3)        

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (c,d), находим по формуле:

 (5.24)

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа, равна:

, (5.25)

()

При а=0 справедливо равенство:

 (5.25а)

-    Числовые характеристики непрерывной с.в.:

- математическое ожидание M(X)

 (5.26)

 (5.27)

- дисперсия D(X)

 (5.28)

 (5.29)

Эти равенства можно заменить равносильными равенствами:

 (5.30)

 (5.31)

- среднее квадратическое отклонение

 (5.32)

При этом для равномерного распределения:

 (5.33)

 (5.34)

 (5.35)

Для показательного распределения

:

 (5.36);  (5.37);  (5.38).

Для нормального распределения:

M(X)=a (5.39);  (5.40);  (5.41).

Задачи

Задача №67. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очередной автобус менее 3-х минут.

Решение. Пусть с.в. Т –время ожидания очередного автобуса – непрерывная случайная величина. Она распределена по равномерному закону с плотностью:

 (см. формулу (5.18) )

В нашем случае

0<t<5  

По формуле (5.14) имеем:

Искомая вероятность

p=0,6.

Задача №68. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округлены до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, не превышающая 0,04 (событие А).

Решение. Ошибку округления отсчёта можно рассматривать как с.в. Х, которая распределена равномерно в интервале между 2-мя соседними целыми делениями с плотностью

 ,

Ошибка отсчёта не превысит 0,04, если она будет заключена в (0; 0,04) или в(0,16;0,2). По формуле (5.14) имеем:

Искомая вероятность

р=0,4.

Задача №69. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичское отклонение с.в. Х, распределённой равномерно в интервале (2,8).

Решение. По формулам (5.32)-(5.34) получим:

.

Задача №70. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону, заданному при  дифференциальной функцией ; при х<0  Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (0,3; 1).

Решение. Исходя из формулы (5.19),

Пользуясь формулой (5.14), получим:

.

Искомая вероятность приближённо равна 0,414.

Задача №71. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону

.

Найти числовые характеристики с.в. Х и вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2,5).

Решение.

1)         Из формул (5.36)-(5.38) получим:

2)         Из формулы (5.14) следует, что:

.

Задача №72. Задана плотность распределения количества прибыли Х:

Найти коэффициент a и вероятность получения величины прибыли Х из отрезка [0,5; 1] млн.гр

Решение.

1) В соответствии с определением модуля х:

– имеем:

3)         Используя формулу (5.16) и свойство аддитивности несобственного интеграла, получаем:

рис.16

 .

4)         Используя формулу (5.14), получим:

Примечание. Подынтегральная функция , т.к. отрезок [0,5; 1] принадлежит положительной части оси Ох.

Ответ:

Задача №73. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (15,25).

Решение. Воспользуемся формулой (5.24). Подставив

c=15, d=25, a=20, ,

получим:

По таблице (приложение 2) находим Ф(1)=0,3413 

Ответ:

Задача №74. Контролируется длина Х выпускаемой детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм.

Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 55 мм;

б) меньше 40 мм.

Решение.

1) Событие  является достоверным

С другой стороны, по формуле (5.24):

Приравниваем правые части равенств для

=1

Теперь имеем: математическое ожидание с.в. Х а=50, среднее квадратическое отклонение

2) Найдём

0,0823.

3)

Задача №75. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы выполнялось равенство: ?

Решение. Согласно формуле (5.25) имеем:

Из таблицы Ф(х) (приложение 2) находим:

Мы получили "правило 3-х сигм": вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределённой случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Ответ: (а-3, а+3).

Задача№76. Станок автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту может отклоняться от 125 мм не более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной.

Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение, найти их дисперсию.

Решение. Пусть с.в. Х – длина детали, а=М(Х)=125.

Из условия:

Согласно формуле (5.24) имеем:

Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:

Искомая дисперсия

D(X)=

Задача №77 ("из жизни хищников").

Для некоторого хищника вероятность удачной охоты равна 0,4 при каждом столкновении с жертвой.

Найти математическое ожидание с.в. Х – числа пойманных жертв при 20-ти столкновениях.

Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону при п=20, р=0,4.

Согласно формуле (5.9), имеем:

Приложение 1

Таблица значений функции

Приложение 2

Таблица значений функции

Литература

1.         Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія імовірностей та математична статистика – К.: 1999 – 447с.

2.         Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.: Наука – 1969 – 400с.

3.         Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбінаторики – М.: Наука – 1977.

4.         Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики. Практикум – К.: "Выща школа" – 1989.

5.         Жалдак М.І. початки теорії ймовірностей – К.: Рад.шк.. – 1978 – 144с.