Курсовая работа: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
то . Таким образом,
всякая собственная подгруппа группы принадлежит
. Допустим, что . Тогда
и поэтому . Полученное
противоречие показывает, что , т.е. – минимальная не -группа.
Предположим теперь, что .
Покажем, что . Не теряя
общности, можно положить, что . Тогда , . Пусть , где и , где . Для всякого через обозначим подгруппу . Предположим, что все отличны от . Так как , то – дополнение к в . Если для всех различных и , то
и поэтому .
Противоречие. Значит для некоторых
различных и . Из последнего вытекает
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что для некоторого и, следовательно, . Лемма доказана.
Лемма [4]. Пусть – наследственная локальная
формация, – такая нормальная
подгруппа группы , что . Тогда равносильно .
Доказательство. Пусть . Тогда , и если – произвольная
максимальная подгруппа , то , а значит, и принадлежит . Следовательно, .
Предположим теперь, что .
Понятно, что .Пусть – произвольная
максимальная подгруппа , тогда . Пусть – произвольный -главный фактор из . Обозначим . Пусть – максимальный внутренний
локальный экран формации , и
пусть . Так как , то . Покажем, что . По лемме 8.7 из [6]
формация наследственна.
Следовательно, если , то сразу
получим . Если же , то вытекает из изоморфизма . Итак, всякий -главный фактор из , -централен в . Значит, . Таким образом, . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть – локальная наследственная
формация, – некоторый ее полный
экран. Группа принадлежит тогда и только тогда,
когда выполняются следующие два условия:
1) ;
2) , где – главный -фактор группы , – минимальная не -группа.
Доказательство.
Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть и – произвольные
максимальные подгруппы . Покажем, что . Если -абнормальна, то ввиду
леммы 2.1 имеем . Значит, . Пусть . По условию
Следовательно, и по
лемме 2.1 – -группа. Значит по лемме
8.2 из [6] . Итак, . Применяя теперь лемму 2.1
получаем, что . Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть – локальная формация,
имеющая постоянный наследственный локальный экран .
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) для любого из ;
2) тогда и только
тогда, когда для любого из , – главный фактор , .
Доказательство. 1) Пусть – произвольная группа из . Покажем, что . Предположим противное.
Пусть – подгруппа наименьшего
порядка из , не принадлежащая . Очевидно, что . Так как – постоянный экран, то
ввиду леммы 4.5 из [5] для
любого из . Если , то из того, что следует . Получили противоречие.
Итак, – собственная подгруппа из
. Но тогда , что невозможно.
2) Пусть . Покажем, что . Так как
то, не ограничивая общности, можно считать, что . Пусть – произвольная -абнормальная максимальная
подгруппа группы . Тогда по лемме
2.1 , где . Очевидно, что . Отсюда следует, что – -группа. Так как и – постоянный экран, то . Пусть – произвольная собственная
подгруппа из . Так как формация наследственна, то . Кроме того, . Отсюда . Следовательно,
Если теперь , то . Отсюда нетрудно заметить,
что . Противоречие. Итак, . Из леммы 2.1 следует, что
есть главный -фактор
группы .
Пусть теперь .
Очевидно, что . Пусть – собственная подгруппа из
.Рассмотрим подгруппу . Если , то тогда
Согласно пункту 1 . Пусть
. Тогда – собственная подгруппа
группы . Тогда
Отсюда . А это значит,
что . Итак, . Так как , то по лемме 2.1 . Лемма доказана.
1) если – подгруппа
группы и , то -субнормальна в ;
2) если -субнормальна в , – подгруппа группы , то -субнормальна в ;
3) если и -субнормальные подгруппы , то – -субнормальная подгруппа ;
4) если -субнормальна в , а -субнормальна в , то -субнормальна в ;
5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная
подгруппа группы является -субнормальной;
6) если – -субнормальная подгруппа
группы , то -субнормальна в для любых .
Лемма. Пусть – непустая формация, – подгруппа группы , – нормальная подгруппа из . Тогда:
1) если -субнормальна в , то -субнормальна в и -субнормальна в ;
2) если , то -субнормальна в тогда и только тогда,
когда -субнормальна в .
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1]. Пусть – наследственная формация.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп;
2) группа принадлежит , если , – -субнормальные -подгруппы группы ;
3) – формация
Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть – контрпример
минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть – минимальная нормальная
подгруппа группы . Все условия
леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7]
формация является насыщенной.
Поэтому группа имеет
единственную минимальную нормальную подгруппу и
.
Если , то – простая группа. Так как и – -субнормальная подгруппа
группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором
группы .
Пусть . Рассмотрим
подгруппы и . Так как – собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что – собственная подгруппа , . Покажем, что .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть – абелева
группа. Тогда – -группа, – простое число. Так как и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .
2. Пусть – неабелева
группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Так
как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и
подгруппа -субнормальна в группе . Пусть
Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп, то – -субнормальная подгруппа . Кроме того, из следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как нормальна в , то нормальна в . Но
где – неабелева
простая группа и для всех . Поэтому
Из и
наследственности формации следует,
что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа
-субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что
Пусть – добавление к
подгруппе в группе . Так как , то . В силу насыщенности
формации из
и
получаем, что . Итак, , и .
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если предположить, что , то . В этом случае
Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в
. Следовательно, можно
считать, что , .
Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности
формации следует, что подгруппа -субнормальна в .
Так как формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, то – -субнормальная подгруппа
группы . Кроме того, из и наследственности
формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .
Пусть . Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .
Так как
то
Таким образом получаем
Так как , то – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа
-субнормальна
в . Это невозможно ввиду
равенства . Значит, . Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть ,
где – нормальная -подгруппа группы , . Так как
и , то . Из наследственности
формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа
теперь -субнормальна в , . Так как выполняется
условие 2) леммы, то
Следовательно, –
формация Фиттинга.
Пусть – -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна в для всех . Так как выполняются
условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем
индукцией по порядку группы . Пусть и – -субнормальные подгруппы
группы и . Если – минимальная нормальная
подгруппа группы , то можно
считать, что . Учитывая лемму 2.6 по
индукции получаем, что – -субнормальная подгруппа
группы . На основании леммы 2.6
тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5
она -субнормальна.
Будем далее считать, что для
любой минимальной нормальной подгруппы группы .
Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]
Это означает, что .
Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается,
что . Итак, и .
По условию леммы –
формация Фиттинга и , . Следовательно,
Пусть – минимальная
нормальная подгруппа группы ,
содержащейся в . Тогда
Из наследственности формации следует,
что – -субнормальная подгруппа
группы .
Итак, порождение двух -субнормальных
подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 – также -субнормальная подгруппа
группы . Значит, формация обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная
формация. Если замкнута
относительно расширений, то формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы
3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и обладают решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп.
Пусть обозначают
некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть – некоторое семейство
классов групп. Обозначим через класс
всех групп , представимых в виде
где и , .
Лемма [1]. Справедливы следующие
утверждения:
1) пусть – наследственная
локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп;
2) пусть – некоторое
семейство наследственных локальных формаций и для
любых . Тогда и только тогда
формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, когда для каждого формация
обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп.
Пусть формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и – формации Фиттинга
поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также
является формацией Фиттинга.
Пусть – -субнормальная подгруппа
группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1
получаем, что и . Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп. Отметим, что . Отсюда
ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным
свойством для - субнормальных
подгрупп.
Обратно, пусть для любого формация
обладает решеточным
свойством для -субнормальных
подгрупп. Пусть
Индукцией по порядку группы покажем,
что любая группа , где , – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .
Пусть – минимальная
нормальная подгруппа группы . Ввиду
леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что .
Так как – насыщенная формация, то имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что
Отметим также, что
где – изоморфные
простые группы для .
Докажем, что .
Рассмотрим группу . Так как
подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции
Рассмотрим пересечение . Если
то
Отсюда и из того факта, что –
нормальная подгруппа и следует, что .
Пусть . Так как – нормальная подгруппа из , то – нормальная подгруппа из . А это значит, что
Из наследственности формации и
получаем, что . Но тогда .
Из строения и
для любых , следует, что для некоторого . Так как
то нетрудно видеть, что группа имеeт
-холловскую подгруппу .
Так как , то – -субнормальная подгруппа
группы . Так как , и , – -субнормальные подгруппы,
то по индукции имеем, что
Отсюда и из ввиду получаем . Аналогично доказывается,
что . Таким образом,
Отсюда и из -субнормальности
и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы
группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию
формация обладает решеточным
свойством для - субнормальных
подгрупп, то ввиду леммы 3.1
Итак, содержит
некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду
леммы 3.1 формация обладает
решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная
разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные
подгруппы образуют решетку, то имеет
вид
где для любых из ;
2) если – формация из
пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп.
1) Покажем, что является
либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .
где – единственная
минимальная нормальная подгруппа группы ,
( – простое число), а – максимальная подгруппа
группы , являющейся минимальной не
-группой.
Докажем, что –
циклическая -группа для некоторого
простого числа . Допустим
противное. Тогда в найдутся по
крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что
. Получили противоречие с
выбором .
Следовательно, –
циклическая группа порядка , где – некоторое простое число,
, – натуральное число.
Допустим, что . Обозначим через
– регулярное сплетение
циклических групп и соответственно порядков и .
По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна
некоторой подгруппе группы . Так
как и , то ввиду теоремы 2.4 из
[5] .
Рассмотрим регулярное сплетение ,
где . Тогда , где – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из
следует что .
Рассмотрим в подгруппы
и , где – база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда
Так как , то по лемме 3.1. Получили
противоречие.
Следовательно, и – группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой
Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо
группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной
формацией.
Покажем, что формация имеет
такой локальный экран , что
p(F)p'(F)p(F) Действительно. Пусть – локальный экран формации
. Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.
Пусть – группа
минимального порядка из . Так
как – наследственная формация
и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме
2.3
где – единственная
минимальная нормальная подгруппа группы ,
причем – -группа, , а – минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой
простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть – группа
простого порядка. Так как , то
очевидно, что . Противоречие.
Пусть – группа Шмидта.
Тогда – группа простого порядка,
причем , . Так как , то очевидно, что
Отсюда следует, что .
Получили противоречие. Следовательно .
Итак, и – полный локальный экран
формации .
Покажем, что либо для любых простых , .
Вначале докажем, что из следует
. Допустим противное. Пусть
. Рассмотрим точный
неприводимый -модуль над полем , который существует по
лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу . Так
как и имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный
неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу
Так как
то . Ясно, что . Так как , то найдется такой, что . Заметим, что . Тогда
Так как , то -субнормальна в и -субнормальна в . По лемме 3.1 . Получили противоречие.
Таким образом, если , то .
Пусть теперь . Тогда . Предположим, что найдется
такое простое число , которое не
принадлежит . Рассмотрим точный
неприводимый -модуль над полем .
Группа принадлежит ввиду и . Теперь рассмотрим точный
неприводимый -модуль . Группа формации не принадлежит, так как . Ясно, что . Рассуждая как и выше,
можно показать, что для некоторого , причем подгруппы , -субнормальны в , причем , принадлежат . Отсюда по лемме 3.1 . Получили противоречие.
Следовательно, если , то , а значит . Более того, если
где и , то и , а значит, .
Таким образом, множество можно
разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде , где для любых из и для . Покажем, что
Обозначим
Так как для любого имеет
место , то включение очевидно.
Допустим, что множество непусто,
и выберем в нем группу наименьшего
порядка. Так как – наследственная
формация, то . Группа непримарна в силу
равенства и локальности формации . Из строения
и нетрудно
показать, что – группа Шмидта.
Ясно, что . Тогда по теореме 26.1 из
[5] , где – элементарная абелева -группа, – некоторые простые числа.
Так как , то
Как показано выше, для
некоторого номера . Но тогда . Получили противоречие с
выбором . Следовательно,
где для всех .
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная
локальная формация тогда и только
тогда обладает решеточным свойством для -субнормальных
подгрупп, когда
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп.
Для построения теории решеток -субнормальных
подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной
Виландтом, используются свойства минимальных не -групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация
будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О
решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие
алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев,
1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп).
Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и
логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных
не -подгрупп //
Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск:
Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. –
1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации
алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla
groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.