Контрольная работа: Анализ линейных стационарных объектов

Цель работы: исследовать параметры нелинейных стационарных объектов, описываемых системами нелинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства пакета MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения (раздел 2.1), раскрывающие структуру нелинейных стационарных объектов, их математическое описание и пример решения систем нелинейных алгебраических уравнений средствами пакета MathCAD, используемый для анализа такого рода объектов;

2) выполнить индивидуальное задание согласно предусмотренной в разд.2.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела по контрольной работе согласно требованиям задания.

2.1. Краткие теоретические сведения

Структура и математическая модель объекта

Структурная схема нелинейного стационарного объекта имеет вид:

Такой объект представляет собой систему, которая имеет два входа х1 и х2 с постоянными значениями в установившемся режиме и два выхода в1 и в2. Структура объекта определяется сумматором S1 , умножителем М1, двумя линейно– усилительными блоками а1 , а2 и системой связей между ними.

В отличие от линейных стационарных объектов нелинейные описываются системами нелинейных алгебраических уравнений.

Математическая модель, соответствующая такой схеме, имеет вид:

а1х1 +а2х2=в1;

х1х2=в2

2.1.2. Анализ объектов

Исследование такого рода объектов состоит в определении значений входных воздействий х1 ,х2 в зависимости от значений выходов в1 и в2 при заданных параметрах объекта а1 и а2 .

Реализация решения задачи исследования нелинейного стационарного объекта в такой постановке может быть осуществлена с помощью средств системы символьной математики MathCAD 7.0 PRO .

2.1.3. Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.3.1. Постановка задачи. Пусть дано уравнение

, (2.1)

 где функция  определена и непрерывна на некотором интервале (А,В). Всякое значение , обращающее функцию  в нуль, то есть такое, при котором , называется корнем уравнения (2.1), а процесс нахождения  называется его решением.

Если функция  представляет собой многочлен относительно , то уравнение называется нелинейным алгебраическим (например, ); если в функцию  входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение называется трансцендентным (например, ).

2.1.3.2. Характеристика методов. Методы решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений (НАТУ) делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Однако прямые методы имеются только для ограниченного круга уравнений, поэтому на практике более широко используются итерационные методы.

В итерационных методах процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

В общем случае задача решается в 2 этапа:

определение приближенных значений корней уравнения;

уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из итерационных методов.

Для определения приближенных значений корней уравнения используются:

1) Построение графика функций  и приближенное определение точек, где кривая пересекает ось Х.

Запись уравнения  в виде  и построение графиков двух функций:  и . Точка их пересечения и есть корень исходного уравнения (5.1).

На втором этапе происходит уточнение корня с использованием критерия окончания итерационного процесса.

Итерационный процесс следует оканчивать, когда  < , т.е. при близости двух последовательных приближений к корню.

Одним из итерационных методов для уточнения корня является метод Ньютона.

2.1.3.3. Метод Ньютона

2.1.3.3.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Приняв в качестве начального приближения к корню некоторое значение  , восстанавливаем перпендикуляр в точке  к оси Х. В точке пересечения перпендикуляра с графиком функции , для которой отыскивается нуль, проводим касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Х дает новое приближение  к корню. После этого процесс повторяем для точки , получаем точку  и т.д.

2.1.3.3.2. Получение формулы Ньютона. Определим рекуррентное соотношение для нахождения корня методом Ньютона.

Уравнение касательной в точке  можно получить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку  и имеющей угловой коэффициент :

 В точке  пересечения касательной с осью Х, величина  равняется нулю:

Отсюда

 В общем случае для вычисления последующего приближения  к корню по известному предыдущему  формула Ньютона имеет вид:

 К такому же результату можно придти, используя разложение в ряд Тейлора:

Члены, содержащие  во второй и более высоких степенях, отбрасываются; используется соотношение  . Предполагается, что переход от  к  приближает значение функции к нулю так, что  т.е. точка  выбирается такой, что значение функции в ней равняется нулю:

Полученная точка  является точкой пересечения касательной в точке  с осью Х. Поскольку кривая  отлична от прямой, то значение функции  скорее всего не будет в точности равно нулю (это результат отбрасывания членов высшего порядка в ряде Тейлора). Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо  используется .

Одно из преимуществ метода Ньютона – это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравнений со многими переменными.

2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.4.1. Постановка задачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

 (2.2)

где  – неизвестные;

– заданные функции n переменных.

Решением системы НАТУ называется совокупность чисел , которые, будучи поставлены на место неизвестных  ,обращают каждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколько решений. Нахождение решения системы уравнений является значительно более сложной задачей, чем решение одного уравнения. Для систем НАТУ не существует каких–либо приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней. В некоторых случаях в результате построения графиков с последующим определением координат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Для уточнения корней всегда применяются итерационные методы, чаще всего метод Ньютона.

2.1.4.2. Метод Ньютона для решения систем НАТУ. Представим все n уравнений в виде рядов Тейлора:

(2.3)

Задача сводится к отысканию такой совокупности приращений , при которой  близки к корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив члены более высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно :

(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:

 (2.5),

где матрица коэффициентов (А) состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободных членов (В) – из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5) называется матрицей Якоби или якобианом.

Найденные из системы (2.5) значения  используются как поправки для получения очередного – го приближения к решению:

 (2.6)

Таким образом, для выполнения одной итерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок . Получив значение вектора поправок  (), получим очередное приближение к корням  () (2.6) и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки  не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному ().

Следует обратить внимание на то, что проверку поправок  на каждом шаге итерации на условие < () необходимо выполнять для значений поправок всех корней (.

Пример: Найти методом Ньютона решение системы уравнений

Решение. Очевидно,

Для формирования матрицы Якоби получим частные производные:

Подставив в (2.5) в качестве: матрицы коэффициентов (А) – частные производные функций и вектора свободных членов (В) – функции с противоположным знаком, получим запись СЛАУ в виде:

 (2.7)

Задавшись некоторым начальным приближением  () и, подставив его вместо () в систему (2.7), решим полученную систему линейных уравнений (например, матричным способом ) и получим значение поправок . Если поправки не будут достаточно малы (т.е. условие < не выполняется), то вычисляется очередное приближение к корням:  

С полученным  затем повторяют те же операции, что и с  для получения  и, если необходимо,  и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки  не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному.

2.2. Последовательность выполнения работы

Согласно номеру по списку группы выбрать из табл.2.1 значения параметров для нелинейного объекта. По формулам

в1і= в1–h(і-1) ;

в2і= в2–h(і-1) ;

для і=1,2,...5 определить значения коэффициентов, определяющих выход для пяти рассматриваемых случаев.

2. Составить и отладить программу решения системы нелинейных уравнений согласно Приложению 2.1 и для полученных в пункте 1 значений выхода найти пять наборов значений входных переменных х1 и х2 .

3. По результатам просчета на ПЭВМ получить таблицы значений входа (х1 и х2 ) при заданных значениях выхода ( в1 и в2).

4. Построить графики изменения значений х1 и х2 в зависимости от значений в1 и в2. .

Таблица 2.1

3. Анализ динамических объектов

Цель работы: исследовать свойства и поведение динамических объектов, описываемых системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, используя для их решения средства пакета MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения (раздел 3.1), определяющие структуру динамических объектов, их математическое описание и решение задачи анализа объектов, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений;

2) выполнить индивидуальное задание согласно предусмотренной в разд.3.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание контрольной работы согласно требованиям задания.

3.1. Краткие теоретические положения

3.1.1. Структура и математическая модель объекта

В общем случае под динамическими (нестационарными) объектами понимают такие объекты, состояние и поведение которых определяется временными характеристиками, т.е. является функцией времени.

Такого рода объекты могут быть описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений вида  

 где  – функционал, определяющий конкретный вид системы уравнений, которая описывает структуру объекта;  – вектор переменных, описывающий выходы объекта; – вектор производных;  – вектор внутренних параметров уравнения, определяющий конкретную реализацию объекта при заданной его структуре;  – внешние (входные) воздействия на объект.

Системе уравнений вида:

будет соответствовать структура объекта, изображенного на рис 3.1.

Структура объекта определяется интеграторами И1 и И2 , сумматорами S1, S2, S3, и S4, линейно– усилительными блоками а11 , а12 ,а21 ,а22 и системой связей между ними.

Рис 3.1. Структура динамического объекта.

3.1.2. Анализ динамических объектов

Задача анализа динамических объектов состоит в исследовании зависимости выходных значений объекта х1(t) и х2(t) как функции времени при заданных внешних (входных) воздействиях на объект f1(t) и f2 (t) и внутренних параметрах объекта а11 , а12 ,а21 ,а22 .

Решение задачи анализа состоит в динамическом моделировании объекта, который описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, и заключается в решении (интегрировании) системы уравнений на интервале времени. Этот интервал времени (от  – начального до – конечного) называется интервалом интегрирования. В большинстве практических случаев  равно нулю, то есть моделирование начинается в нулевой момент времени. В описании такого рода систем переменная  называется независимой, а все остальные переменные – зависимыми.

3.1.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа независимых переменных, и, следовательно, типа входящих в них производных, дифференциальные уравнения делятся на две категории:

обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную и производные по ней;

дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), содержащие несколько независимых переменных и производных по ним, которые называются частными производными.

Для решения дифференциальных уравнений могут применяться различного рода аналитические и численные методы. Аналитические методы основаны на прямых преобразованиях системы уравнений, приводящих к точному аналитическому решению. Однако такие методы сложны, не универсальны с точки зрения системы уравнений и приводят к решениям только в самых простых случаях. Поэтому они малоприемлемы при решении практических задач.

В последнее время в связи с бурным развитием вычислительной техники широкое применение получили численные методы решения дифференциальных уравнений. В основе этих методов лежит итерационное повторение однотипных вычислительных операций и поэтому они достаточно просто реализуются на ПЭВМ. Эти методы позволяют с заданной точностью находить на интервале интегрирования требуемое количество точек по времени для всех переменных, входящих в систему уравнений.

Среди этих методов можно выделить явные методы (метод Эйлера, метод Рунге–Кутта), простые в реализации. Количество проводимых вычислений для них зависит только от количества переменных и заданного количества точек определения значений переменных на интервале интегрирования. Точность вычисления результатов для этих методов значительно уменьшается при увеличении интервала интегрирования. Лишенной этого недостатка является группа неявных методов (методы прогноза и коррекции), но они обычно превосходят явные по количеству вычислений.

3.1.3.1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1.3.1.1. Решение задачи Коши. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

Требуется найти решение  этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию  на интервале .

Численное решение задачи Коши состоит в нахождении значений  в точках  отрезка , где – шаг интегрирования. Число разработанных методов решения задачи Коши очень велико. Можно выделить две группы методов:

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой  требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.

Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге–Кутта.

2. Многошаговые методы (методы прогноза и коррекции), в которых для отыскания следующей точки кривой  требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. К числу таких методов относятся методы Милна, Хемминга, Адамса-Башфорта.

3.1.3.1.2. Метод Эйлера. Метод Эйлера – это простейший метод, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Метод Эйлера основан на разложении  в ряд Тейлора в окрестности .

Запишем ряд Тейлора:

 При малом  членами высоких порядков можно пренебречь. Тогда:

Таким образом, получим значение зависимой переменной  при малом смещении  от начальной точки . Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

или

3.1.3.1.3. Модифицированный метод Эйлера (метод Эйлера – Коши). Тангенс угла наклона касательной к кривой  известен в  и равен , но он меняется с изменением независимой переменной, и в точке  наклон касательной уже не такой, как в, т.е. на интервале  вносится погрешность.

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать, использовав среднее значение производной в начале и конце интервала.

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера.

,

которое используется для приближенного вычисления значения производной в конце интервала, т.е.

 .

Вычислив среднее значение производной между полученным в начале и в конце интервала, найдем более точное значение  :

Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Вернемся к разложению в ряд Тейлора:

Попытаемся сохранить член с ; для этого аппроксимируем конечной разностью:

Подставив это выражение в ряд Тейлора, получим:

Это выражение совпадает с ранее полученным.

Данный метод является методом второго порядка, поскольку в нем используется член ряда Тейлора, содержащий .

3.1.3.1.4 Метод Рунге – Кутта. Точность одношаговых методов можно повысить, если осуществить более точную аппроксимацию производной на интервале , т.е. использовать члены более высоких порядков в разложении Тейлора.

Чтобы удержать в ряде Тейлора член – го порядка, необходимо вычислять – ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно – разностной форме достаточно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно– разностном виде, необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала , т.е. между  и  . Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений потребуется внутри интервала.

Метод Рунге-Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой цели.

Алгоритм Рунге-Кутта первого порядка является методом Эйлера.

Алгоритм Рунге-Кутта второго порядка является модифицированным методом Эйлера (методом Эйлера – Коши). Для вычисления  получаем формулы:

Наиболее распространенный вариант метода – метод четвертого порядка точности. Для вычисления  получаем формулы:

3.1.3.1.5 Автоматический выбор шага. В приведенных выше методах величина шага изменения  предполагалась постоянной. Очевидно, что при интегрировании с малой величиной шага мы будем получать более точное решение.

Однако, указать заранее приемлемую величину шага сложно. Если шаг выбрать большой, то будет недостаточной точность результатов. Если же шаг выбрать очень малый, то это увеличивает число шагов и время решения.

Поэтому некоторые программы интегрирования, применяемые на практике, снабжены процедурой автоматического выбора шага. В результате этого на участках плавного изменения интегральной кривой шаг автоматически увеличивается, а при резких изменениях функции шаг уменьшается.

3.1.3.1.6. Общая характеристика одношаговых методов. Чтобы получить информацию в новой точке, нужно иметь данные о предыдущей точке.

В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие степени до  включительно. Целое число  называют порядком метода. Погрешность на шаге имеет порядок .

Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных – вычисляется лишь сама функция (правая часть уравнения). Могут потребоваться значения функции в промежуточных точках, что влечет дополнительные затраты времени.