2. Основою прямої призми є трикутник, у якого сторони довжиною 5 см і 6 см утворюють кут 30°. Бічне ребро призми дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм призми.

3. У прямій призмі основа – прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Бічне ребро призми дорівнює 12 см. Знайдіть площу повної поверхні призми.

4. Знайдіть площу поверхні піраміди, основою якої є квадрат. Кожне ребро піраміди дорівнює 3 дм.

5. Сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 5 см. Знайдіть площу повної поверхні тіла, утвореного обертанням цього прямокутника навколо меншої сторони.

6. Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 12 см і 26 см. Знайдіть об'єм циліндра, якщо його висота дорівнює меншій стороні осьового перерізу.

7. Твірна та радіус основи конуса дорівнюють відповідно 5 м і 2 м. Знайдіть площу поверхні конуса.

8. Покрівля силосної башти має форму конуса. Висота покрівлі 2 м, діаметр башти 6 м. Знайдіть площу поверхні покрівлі.

2. Методичні основи вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

2.1 Аналіз змісту і методів вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу за новими підручниками з геометрії

У зв'язку з введенням у школах нових навчальних планів і програм з математики постала гостра потреба у підручниках, які б відповідали вимогам нових програм.

Навчання математики у 9 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється за новими підручниками: «Геометрія. 9 клас» (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва «Гімназія», «Геометрія. 9 клас» (автори Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) видавництва «Зодіак – ЕКО», «Геометрія. 9 клас» (автори А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршова) видавництва «Ранок».

Ці підручники створено відповідно до Державного стандарту та нових програм з алгебри та геометрії для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Однією з основних проблем шкільних підручників геометрії – оптимальне поєднання науковості й доступності викладення матеріалу. Складністю вирішення цієї проблеми пояснюється те, що українські школи мають обмаль підручників, за якими справді хотілося б навчати учнів. Та з іншого боку, це дало поштовх до педагогічної творчості чималій кількості небайдужих вчителів.

Розглянемо, як висвітлений розділ «Початкові відомості зі стереометрії» у цих підручниках.

У підручнику «Геометрія, 9» М.І. Бурди, Н.А. Тарасенкової розділ розпочинається переліком передбачуваних пізнавальних результатів («У розділі дізнаєтесь…»), а завершується рубрикою «Перевірте, як засвоїли матеріал розділу». Тут подано контрольні запитання узагальнюючого характеру і тестові завдання. У кожному параграфі є: основний навчальний матеріал; додаткові відомості (рубрика «Дізнайтеся більше»); запитання для повторення вивченого (рубрика «Згадайте головне»); система задач, диференційована за складністю (рубрика «Розв'яжіть задачі»), яку завершує окремий блок завдань «Застосуйте на практиці».

Науковість змісту розділу забезпечена в першу чергу логічно послідовним розміщенням навчального матеріалу, коректним формулюванням означень понять, достатнім рівнем строгості. Логічне упорядкування і послідовність навчального матеріалу розділу відповідають вимогам дидактики і математики як науки. Термінологія сучасна, предметна й однозначна. Поняття і властивості геометричних фігур сформульовані коректною математичною мовою. Чітко розмежовується зміст понять (перераховуються всі суттєві ознаки) і їх обсяг (вказується множина об'єктів, де застосовується поняття). При цьому зміст понять розкривається за допомогою означень, а їх обсяг – із залученням класифікацій (поділу понять за певною ознакою). З одного боку, це покращить засвоєння і застосування понятійного апарату даної теми, а з другого – посилить його зорове сприймання. Заслуговує на увагу і те, що поряд з означеннями понять через найближчий рід і видову відмінність, сприймання яких вимагає складнішої розумової діяльності, використовуються і конструктивні означення, які дають змогу учневі усвідомити сам процес створення (побудови) відповідного стереометричного об’єкта. Тому означення поняття нерідко спирається або на малюнок, або побудову відповідної геометричної фігури, або на розгляд життєвої ситуації. Учням пропонується спочатку самостійно дати означення поняттю, а потім порівняти його з наведеним у підручнику.

Вивчення геометричних фактів, як правило, розпочинається з аналізу учнем емпіричного досвіду (відповідних прикладів із довкілля, моделей чи малюнків), або з опису практичних дій. Це дає змогу проводити невеликі дослідження, з'ясовувати суттєві ознаки понять, властивості геометричних фігур і на основі цього самостійно формулювати відповідні твердження. Самостійно оволодіти навчальним матеріалом допоможе і підкріплення його малюнками, які виконують не лише ілюстративну, а й евристичну роль – на малюнках кольором виділено дані і шукані величини, допоміжні побудови тощо. Кольорові фотографії та ілюстрації також несуть ретельно продумане дидактичне навантаження.

Задачі підручника мають чотири рівні складності – початковий, середній, достатній і високий. Усередині набору кожного рівня складності задачі згруповані за порядком вивчення теоретичних відомостей. Як правило, набори початкового і середнього рівнів складності розпочинаються із задач за готовими малюнками. Хоча вони не є винятком і серед більш складних задач. Окремі найбільш важливі задачі-теореми виділені чорним шрифтом. Учням доцільно запам’ятати їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовувати у розв'язуванні інших задач. Особливістю задач є те, що задачі високого рівня складності включають елементи задач середнього і достатнього рівнів, а останній – елементи задач початкового рівня.

Особливістю розділу є прикладна спрямованість змісту. Автори намагалися, де це можливо, не лише показати виникнення геометричного факту із практичної ситуації, а й проілюструвати застосування його на практиці. З цією метою в окремо виділеному блоці завдань «Застосуйте на практиці» подано типові практичні ситуації, де потрібно застосувати вивчений матеріал.

У підручнику «Геометрія, 9» А.П.Єршової, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановського, С.В.Єршова зазначено, що цей розділ «своєрідний стислий огляд курсу геометрії 10–12 класів». Тема «Початкові відомості зі стереометрії» передбачає ознайомлення учнів з фігурами в просторі і є пропедевтичним вступом до курсу стереометрії, що вивчатиметься у старших класах. Разом із цим, у порівнянні з попередніми підручниками, з'являються нові дидактичні акценти, пов'язані зі специфікою «геометрії методів», розширюються і поглиблюються окремі питання щодо властивостей геометричних фігур, методики розв'язування задач тощо.

Структура, обсяг і співвідносність розділів навчального матеріалу повністю відповідають діючій програмі. Однак порівняно з традиційними підходами до розгляду відповідного навчального матеріалу запропоновано декілька важливих інновацій. Це дає можливість спростити низку доведень. Найбільш складні з точки зору обґрунтування теореми супроводжуються в основному тексті зрозумілими для пересічного учня загальними схемами міркувань, а відповідні строгі доведення подаються в «Додатках».

У тексті виділено основний зміст (означення, теореми й наслідки з них), доповнення та приклади розв'язування задач. До кожної теореми подано її назву. Наприкінці розділу міститься підсумковий огляд його змісту у вигляді таблиці, які наочно ілюструють змістовно-логічні та структурно-функціональні зв'язки між елементами навчального матеріалу.

Крім того, наприкінці розділу пропонуються контрольні запитання і типові задачі для підготовки до контрольної роботи. Наявність цих матеріалів дає змогу учневі самостійно оцінити рівень своєї математичної підготовки; запитання і задачі мають діагностичну цінність і сприяють корекції знань. Додаткові задачі до розділу призначені для організації інтегрованого повторення і узагальнення вивченої теми, встановлення внутрішніх взаємозв'язків між окремими фрагментами теми. Окремо після розділу виділено задачі підвищеної складності. Така організація матеріалу дає змогу забезпечити опанування учнем програмового змісту як під керівництвом учителя, так і самостійно.

Теоретичний матеріал побудовано за схемою «означення основних понять – аксіоми й теореми – наслідки – приклади застосування». Окреме місце відводиться опорним задачам, які містять додаткові теоретичні відомості, на які учні далі можуть посилатися без доведення. Такі задачі подаються як в основному тексті параграфів, так і в задачному матеріалі. Задачі до кожного параграфа розподілено на чотири групи. Першу групу складають усні вправи – завдання теоретичного плану, розгляд яких є проміжним етапом між вивченням теорії і розв'язуванням письмових задач. Наявність таких задач дає змогу використовувати на уроці інтерактивні форми роботи. Друга група завдань – графічні вправи, які учні можуть виконувати як власноруч у зошиті, так і за допомогою комп'ютера. Ці вправи дають наочне уявлення про базові геометричні конфігурації, що вивчаються, сприяють розвитку початкових креслярських умінь і навичок роботи з графічними комп'ютерними програмами. Наступну групу складають письмові задачі, згруповані за трьома рівнями складності. Зазначимо, що на кожному рівні завдання диференційовано за змістом навчальної діяльності – задачі на обчислення, доведення, побудову тощо. Нарешті, наприкінці кожного параграфа виділено теоретичний матеріал, який необхідно повторити для свідомого засвоєння наступної теми, і подано задачі для повторення.

Розв'язувати всі задачі розділу не обов'язково (а з урахуванням наявного навчального часу і неможливо). Задачі до кожної теми свідомо подано в надлишковій кількості, щоб розширити творчі можливості вчителя, сприяти організації особистісно-орієнтованого навчання, диференціації роботи учнів у класі та вдома з урахуванням їхніх індивідуальних можливостей і рівня математичної підготовки.

До теми «Взаємне розташування прямих у просторі» у трьох підручниках докладно подано основні фігури в просторі, позначення і зображення площин, розміщення точок у просторі. У підучниках Мерзляка і Єршова чітко виділені твердження, як однозначно задати площину. Також тут подані графічні зображення взаємного розміщення двох прямих у просторі, у підручнику Бурди лише продемонстровано на прикладі кімнати.

До теми «Взаємне розміщення прямих і площин у просторі» у підручнику Бурди всі випадки взаємного розміщення прямої і площини, двох площин наведені в таблиці, графічних зображень немає.

При вивченні в 9 класі даного розділу значну увагу слід приділити формуванню в учнів культури графічного зображення просторових тіл та їх елементів. До даних тем у трьох підручниках вдало підібрані усні та графічні вправи, у підручниках Мерзляка, Бурди значна увага приділена задачам практичного змісту, більшість задач супроводжуються допоміжними малюнками. Таким чином, вивчаючи перші теми стереометрії учні відзначають, що в просторі взаємне розташування фігур є більш різноманітним, ніж у площині.

Наступні теми передбачають вивчення основних тіл стереометрії, вони закладають формування переходу від мислення в категоріях плоских фігур до мислення в просторі, також усвідомлення того, що для визначення взаємного розташування фігур у просторі слід правильно виокремити ті елементи, які визначають це взаємне розташування.

Так, до теми «Поняття многогранника. Призма.» у даних підручниках сформульоване поняття геометричного тіла, многогранника та його елементів, наведені наочні та графічні зображення призм. Дев’ятикласники вже мають запас просторових уявлень, тому при вивченні даних тем вони доповнюються і систематизуються.

У підручниках Мерзляка і Єршова подається доведення теорем про площу бічної поверхні прямої призми.

У підручнику Бурди вивчення піраміди і призми подано одночасно, властивості розглядаються без доведень, проте вони мають достатньо переконливе наочне підтвердження. Так, вивчення властивостей фігур у просторі спирається на приклади з довкілля, макети, малюнки або досліди. Щоб учні до формул об’ємів призми (піраміди) розглядаються досліди з пересипанням піску.

Циліндр, конус, куля подаються в усіх підручниках як тіла обертання. Бічні поверхні циліндра і конуса розглядаються через розгортки відповідно циліндра і конуса.

На мою думку, те, що у підручнику Бурди призма і піраміда подаються разом є своєрідним недоліком. Також сюди можна віднести той факт, що ми бачимо перенасичення задачами. Слід зазначити, що не всі задачі однаковою мірою сприяють цілеспрямованому розвитку даного процесу. Саме тому доцільно використовувати систему вправ і задач, яку будують так, щоб учень самостійно застосовував свої знання, вміння, уявлення, щоб у нього вироблялася звичка переносити знання у нові ситуації. Розв’язуючи задачі учні повинні усвідомлювати ті дії, які вони при цьому виконують. Аналіз дій дає їм змогу підходити до пошуків алгоритмів розв’язання задач певного виду, а потім і до алгоритмізації більш складних видів навчальної діяльності.

У школі вчителі протягом вивчення стереометрії приділяють увагу в основному опрацюванню теорії та розв’язуванню абстрактних задач, оскільки вони недооцінюють можливості реалізації прикладної спрямованості для досягнення цілей вивчення цього курсу. Посилюють цю ситуацію такі фактори: невелика кількість годин, що відведена для вивчення курсу стереометрії; у методичній літературі мало матеріалів, які доводять значущість прикладної спрямованості та конкретних методичних розробок, що допомагають вчителю ефективно використовувати її засоби тощо. З огляду на перераховані обставини, у вчителів відсутня мотивація для систематичного прикладного спрямування курсу, зокрема для розв’язування з учнями прикладних задач, особливо враховуючи їх невелику кількість у підручниках, посібниках та майже повну відсутність серед добірок завдань контролюючого характеру.

2.2 Загальні методичні рекомендації вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

2.2.1 Формування уявлень і понять про стереометричні фігури та деякі їх властивості

Формування понять – складний психологічний процес, який починається з утворення найпростіших форм пізнання – відчуття. Він проходить часто за такою схемою: відчуття сприймання уявлення поняття.

Дитина народжується, розвивається у тривимірному просторі.

Ознайомлення з просторовими об'єктами починається в ранньому віці на рівні відчуттів і сприйняття цих об'єктів органами чуття. Чим багатший і різноманітніший навколишній світ дитини, тим більше знань про просторові об'єкти вона одержує до початку навчання у школі.

Наприкінці 9-го класу під час вивчення розділу «Початкові відомості зі стереометрії» варто ознайомити учнів із взаємним розміщенням прямих і площин у просторі, зосередити увагу на властивостях просторових фігур, паралельності та перпендикулярності, систематизувати, узагальнити та дещо доповнити стереометричний матеріал, відомий з курсу математики 5–6-х класів та планіметрії 7–9-х класів. Основна мета вивчення розділу – розвиток просторових уявлень та уяви учнів, що має велике значення не тільки для загального їх розвитку, а є своєрідним завершенням шкільної геометричної освіти учнів, підготовкою до вивчення систематичного курсу стереометрії та продовження освіти в інших середніх навчальних закладах.

Особливістю вивчення елементів стереометрії у 9-му класі (порівняно з питаннями планіметрії) є те, що майже всі стереометричні факти повідомляються у цій темі без доведення. Їх обґрунтування та доведення – завдання систематичного курсу стереометрії. Засвоєння властивостей стереометричних фігур має здійснюватися з опорою на наочність: моделі, таблиці, рисунки тощо.

Вивчення розділу «Початкові відомості зі стереометрії» розпочинаємо з розгляду питання про взаємне розміщення точок, прямих і площин. Уявлення про площину, про взаємне розміщення точок і прямих на площині та деякі їх властивості учні одержали в курсі планіметрії. Їх слід повторити, навести приклади плоских поверхонь (поверхня підлоги, стелі, шибки, спокійного озера тощо).

Після цього вчитель пропонує зображення площини (здебільшого у вигляді паралелограма), її позначення (буквами грецького алфавіту тощо). Учні встановлюють, що єдину площину можна провести: 1) через дві прямі, які перетинаються; 2) через дві паралельні прямі; 3) через пряму та точку поза нею; 4) через три точки, що не лежать на одній прямій. До кожного випадку доцільно зробити відповідні рисунки.

Оскільки питання про взаємне розміщення прямих у просторі учням відоме з курсу планіметрії 7-го класу, то його варто повторити, сформулювати означення паралельних, мимобіжних прямих, ознаку паралельності прямих у просторів

Одночасно з цим потрібно з'ясувати випадки взаємного розміщення точки та площини, прямої та площини, навчитися виконувати умовні зображення площини та точки, яка лежить у цій площині або поза нею; площини та прямої, що лежить у площині, має з нею одну спільну точку (перетинає її), або такої, що не має спільних точок (паралельної їй). Можна дати означення паралельних прямої та площини: пряму та площину називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Слід показати учням, що коли пряма та площина паралельні, то використовуються такі записи:

або .

Далі формулюємо ознаку паралельності прямої і площини.

Наступним кроком є розгляд випадків взаємного розміщення двох площин. Логічно міркуючи, учні без особливих труднощів доходять висновку, що дві площини можуть не мати спільних точок (бути паралельними) або перетинатися по прямій. На моделях прямокутного паралелепіпеда, прямої призми учні інтуїтивно вказують їх паралельні грані і такі, що перетинаються. Учитель додає, що площини, у яких лежать ці грані, відповідно паралельні або перетинаються. За аналогією з означенням паралельних прямих на площині варто дати означення паралельних площин: дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

За допомогою двох аркушів паперу пропонуємо учням сконструювати моделі:

а) паралельних площин;

б) площин, що перетинаються.

Рисунки, що ілюструють паралельність або перетин площин, учитель виконує на дошці, а учні відтворюють у зошитах. Після цього вчитель формулює ознаку паралельності площин.

Перед розглядом перпендикулярності прямої та площини, треба повторити питання про перпендикулярність прямих на площині, у просторі, пригадати означення перпендикулярних прямих.

Уявлення про перпендикулярність прямої та площини дають стовп і поверхня землі, ніжка стільця та підлога, канат у спортзалі, прикріплений до стелі, тощо. За допомогою спиці та картонного паперу створюємо модель прямої, перпендикулярної до площини. Перпендикулярність перевіряємо за допомогою косинця. Прикладаючи косинець катетом до спиці з кількох сторін, показуємо, що в кожному випадку спиця з картонкою утворює прямий кут. Так підводимо учнів до означення перпендикулярних прямої та площини: пряму, яка перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину.

Слід показати учням, що коли пряма перпендикулярна до площини , то це записують так:

або .

Варто повідомити учням, що у курсі стереометрії доводиться ознака перпендикулярності прямої та площини: «якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини».

Основну увагу треба звернути на формування в учнів поняття відстані від точки до площини. Насамперед слід повторити, як знаходиться відстань від точки до прямої. Якщо пряма перпендикулярна до площини і точка лежить у цій площині, то відрізок називають перпендикуляром, опущеним з точки на площину . Довжину цього перпендикуляра називають відстанню від точки до площини .

Розгляд можливих випадків перетину двох площин приводить до уявлення про перпендикулярні площини. Нехай дві площини та перетинаються по прямій . Якщо деяка площина перпендикулярна до прямої і перетинає площини та по перпендикулярних прямих, то площини та називають перпендикулярними. Це записують так:

або .

Далі слід дати означення перпендикулярних площин і сформулювати ознаку, яка доводиться в систематичному курсі стереометрії. Таке пояснення необхідно також супроводжувати показом моделей. Якщо косинець прикласти до двох площин, що перетинаються так, що його катети будуть перпендикулярні до лінії їх перетину, то ми матимемо уявлення про перпендикулярні площини. Перпендикулярність площин на практиці можна перевірити за допомогою виска (шнура з тягарцем). Так, наприклад, перевіряють вертикальність стін будівлі.

Важливо, щоб учні могли показувати приклади взаємного розміщення прямих і площин у просторі на моделях відомих їм геометричних тіл, на предметах навколишнього середовища.

За дослідженнями психологів, середній шкільний вік є найбільш сензитивним для засвоєння методу проектування. Враховуючи це в практиці навчання, необхідно вже в курсі планіметрії ознайомити учнів з виконанням зображень геометричних тіл. У зв'язку з цим як спосіб зображення просторових фігур доцільно розглянути паралельне проектування, а саме конструкцію паралельного проектування точки та фігури на площину, сформулювати властивості паралельної проекції.

Під час вивчення розділу «Елементи стереометрії» відомості про многогранники, які учні одержали раніше, необхідно узагальнити й систематизувати. А саме: на основі попереднього досвіду учнів потрібно дати загальне поняття многогранника, його граней, ребер, вершин. Доцільно сформулювати таке означення.

Многогранник – це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників.

Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника.

При цьому вчителю слід продемонструвати різні моделі многогранників. Учні повинні вміти показувати їх грані, ребра, вершини.

Корисно нагадати учням, що з найпростішими з многогранників – призмами і пірамідами – вони зустрічалися раніше і вже ознайомлені з їх елементами та деякими властивостями.

Перший вид многогранників, який слід розглянути, – призми. Відомості, одержані про призму раніше, варто пригадати, повторити. Зокрема, призму учні мають розпізнавати як многогранник, у якого дві грані – довільні рівні многокутники з відповідно паралельними сторонами, а решта граней – паралелограми. Рівні многокутники називають основами призми, а паралелограми – бічними гранями.

Демонструючи моделі різних призм, учитель має звертати увагу учнів на те, що є призми, у яких бічні грані – прямокутники. У цьому випадку бічне ребро перпендикулярне до площини основи. Можна дати означення прямої призми: призму називають прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. В іншому випадку призма буде похилою. У 9-му класі досить обмежитися розглядом прямої призми.

Висотою прямої призми є довжина її бічного ребра. Відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані, називають діагоналлю призми. Уявлення про діагональний переріз можна дістати, коли розрізати призму, виготовлену з пластичного матеріалу (пластиліну, воску, гуми), площиною, що проходить через бічні ребра призми.

Серед чотирикутних призм корисно виділити ті, основою яких є паралелограм. Такі призми називають паралелепіпедами. Отже, всі грані паралелепіпеда є паралелограмами. Якщо бічні ребра паралелепіпеда перпендикулярні до площини основи, то його називають прямим паралелепіпедом (в іншому випадку він буде похилим). У прямого паралелепіпеда дві грані (основи) – паралелограми, а решта граней – прямокутники. З класу прямих паралелепіпедів виділяють такі, основою яких є прямокутник. Це прямокутний паралелепіпед. Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Важливо, щоб учні усвідомили, що і куб, і прямокутний паралелепіпед, і прямий паралелепіпед є різновидами призми. Доречним є поданий нижче ланцюг, який демонструє зв'язок між цими поняттями: призма – чотирикутна призма – паралелепіпед – прямий паралелепіпед – прямокутний паралелепіпед – куб.

Деякі відомості про елементи прямої призми (ребра, грані, основи) учням уже відомі. На основі планіметричних знань їх доцільно уточнити. Оскільки основи та бічні грані прямої призми є плоскими фігурами, то для них справедливі твердження планіметрії, зокрема: бічні ребра рівні між собою як протилежні сторони прямокутника. Після цього, використовуючи властивості паралельного проектування, вчимо учнів будувати зображення прямої призми. Це можна зробити в такій послідовності. Спочатку зображуємо одну з основ призми (це буде деякий плоский многокутник). Потім через вершини многокутника проводимо вертикальні паралельні прямі та відкладаємо на них рівні відрізки (вони будуть зображенням бічних ребер прямої призми). Послідовно сполучаючи кінці цих відрізків, одержуємо зображення другої основи призми.

Одночасно доцільно дати учням уявлення про зображення прямокутного паралелепіпеда, куба. За відповідної підготовки переважна більшість учнів правильно виконує ці зображення, досить легко за ними знаходить паралельні, взаємно перпендикулярні грані, ребра тощо.

Наступний вид многогранників, які пропонуємо розглянути, – піраміди. Уявлення про піраміду і деякі відомості про неї учні вже мають. Тому їх слід пригадати. Зокрема, піраміду вони розпізнають як многогранник, у якого одна грань – довільний многокутник, а решта граней – трикутники, що мають спільну вершину. Такий опис дає безпосереднє уявлення про форму всіх граней піраміди. Це значно полегшує сприймання форми піраміди, а отже, й дослідження її властивостей. При узагальненні поняття піраміди має бути сформульовано її означення.

Пірамідою називають многогранник, одна з граней якого – плоский многокутник, а решта граней – трикутники, що мають спільну вершину. Потрібно пригадати види пірамід залежно від многокутника, що є основою піраміди, показати їх на моделях та зображеннях.

Оскільки учні вже мають уявлення про перпендикулярність прямої та площини, то можна ввести поняття висоти піраміди як перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди на площину основи. Точку перетину перпендикуляра та площини основи називають основою висоти піраміди. Висота утворює прямий кут з будь-якою прямою, що лежить у площині основи піраміди та проходить через основу висоти. Це твердження широко використовується під час розв'язування задач на обчислення елементів піраміди.

Зображати піраміду вчимо учнів у такій послідовності. Будуємо зображення основи піраміди у вигляді плоского многокутника. Позначаємо вершину піраміди і сполучаємо її відрізками з вершинами основи (ці відрізки будуть зображенням бічних ребер піраміди).

Під час побудови зображень призми, піраміди радимо використовувати відповідні демонстраційні комп'ютерні програми.

Варто на наочному рівні дати уявлення про діагональний переріз піраміди аналогічно до того, як це було зроблено у випадку призми.

Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною площині основи, то одержимо два многогранники, один з них – піраміда, інший – зрізана піраміда. Слід наголосити, що зрізана піраміда – окремий вид многогранників.

Грані, що лежать у паралельних площинах, називають основами, решту граней називають бічними гранями. Основи – подібні многокутники, бічні грані – трапеції.

З найпростішими тілами обертання учні ознайомлені у 5–6-х класах. У 9-му класі пропонуємо розглядати лише прямий круговий циліндр, прямий круговий конус, зрізаний конус і кулю.

Учні вже мають уявлення про те, як дістати поверхню циліндра обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін та поверхню конуса обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Тому, як підсумок, на уроці демонструємо моделі циліндрів, конусів, серед яких є моделі похилих і некругових циліндрів і конусів. При цьому повідомляємо, що надалі розглядатимемо лише прямі кругові циліндри та прямі кругові конуси, які називатимемо відповідно циліндрами і конусами. Формулюємо означення циліндра як геометричного тіла, утвореного обертанням плоского прямокутника навколо однієї з його сторін. З'ясовуємо, що називають основами, твірними, радіусом, висотою, віссю циліндра. Учитель має зауважити, що у прямого циліндра твірні перпендикулярні до площин основ.

Побудова зображень геометричних тіл – ефективний спосіб розвитку просторових уявлень. Побудова зображень циліндра, конуса, кулі не становить для учнів значних труднощів.

Після ознайомлення з паралельністю площин учні досить легко помічають, що основи циліндра знаходяться в паралельних площинах. Якщо каркасну модель циліндра розмістити в полі зору учнів так, що його основи матимуть вигляд еліпсів, а твірні та висота циліндра будуть вертикальними, то зрозумілим стає зображення циліндра. За допомогою шаблона будуємо два рівних еліпси – основи циліндра, малі осі яких лежать на одній вертикальній прямій. Спільні вертикальні дотичні до обох еліпсів будуть контурними твірними зображуваного циліндра. Для організації роботи учнів треба забезпечити достатньою кількістю шаблонів еліпса різних розмірів.

Відомості, одержані учнями про конус раніше, варто пригадати, повторити.

Прямий круговий конус означуємо як геометричне тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Пояснюємо учням побудову зображення конуса. Основою конуса є круг, який зображується у вигляді довільного еліпса, мала вісь якого лежить на вертикальній прямій. На цій прямій, яка проходить через центр еліпса, позначимо точку – вершину конуса, через неї проведемо дві дотичні до еліпса – контурні твірні. Одержана фігура і буде зображенням конуса на площині.

Даємо уявлення про зрізаний конус. Перетнемо конус площиною, паралельною його основі. Вона відтинає від нього менший конус. Частину, що залишилася, називають зрізаним конусом. Демонструємо учням відповідні моделі.

Слід звернути увагу учнів на практичне значення конічних форм. З конусом, і особливо зрізаним, дуже часто доводиться мати справу на виробництві, зокрема в токарній справі.

Уявлення про осьовий переріз циліндра, конуса учні одержують у процесі ознайомлення з тілами обертання. Уже під час проведення досліду, який демонструє утворення циліндра, конуса, звертаємо увагу на те, що є їх осьовим перерізом. Під час побудови зображень цих тіл даємо уявлення також про зображення осьового перерізу.

З кулею учні ознайомлені раніше. У 9-му класі доцільно розглянути кулю як тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра. Перед формулюванням означення кулі пропонуємо учням пригадати означення кола і круга, відомі з курсу планіметрії. Тоді так само, як у випадку з циліндром і конусом, формулюємо означення кулі.

Куля – це геометричне тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра як осі. Центр півкруга буде центром кулі. Радіус півкруга водночас є і радіусом кулі. Поверхню кулі називають сферою. Доцільно зауважити, що сферу можна дістати обертанням кола навколо діаметра як осі.

Переріз кулі площиною є круг. Цей факт буде доведено в систематичному курсі стереометрії.

Контуром кулі є коло. Якщо, будуючи зображення кулі, зобразити тільки її контур, то таке зображення не буде наочним. Тому рисунок потрібно доповнити деякими лініями і точками, які зображають окремі елементи кулі. Коло одного з великих кругів кулі назвемо екватором; діаметр, перпендикулярний до площини екватора, – віссю; його кінці – полюсами кулі. Якщо зображення контуру кулі доповнити зображеннями екватора і полюсів, рисунок стане об'ємним. Зображенням екватора кулі буде довільний еліпс, центр якого є зображенням центра кулі. Нехай такий еліпс вибрано. Тоді пропонуємо таку послідовність побудови зображення кулі:

1)проводимо вертикальну вісь кулі, вибираємо на ній точку, що зображає центр кулі;

2)сумістивши центр еліпса з вибраною точкою, а малу вісь еліпса з вертикальною віссю кулі, зображаємо екватор кулі;

3)радіусом, що дорівнює великій півосі еліпса, будуємо коло з центром у точці, що є зображенням центра кулі; це коло зображає контур кулі;

4)для зображення полюсів проводимо дотичну до еліпса в одному з кінців його малої осі; відрізок цієї дотичної між точкою дотику і точкою перетину її з контуром кулі відкладаємо на осі кулі по обидві сторони від центра кулі. Одержані точки – зображення полюсів кулі.

За аналогією до дотичної до кола дається уявлення про дотичну площину до кулі.

Учні 9-го класу готові до оволодіння вмінням виконувати такі зображення. Більшість з них правильно зображає прямокутний паралелепіпед, куб, піраміду, циліндр, конус, кулю, хоча поширеною помилкою є неправильне зображення невидимих ліній суцільною лінією.

Під час вивчення питань, пов'язаних із зображенням геометричних тіл, ефективним засобом є комп'ютер. За його допомогою легко виділити най-значиміше, продемонструвати побудову зображення у відповідній послідовності у динаміці.

З обчисленням об'ємів геометричних тіл учні ознайомлені в курсі математики 5–6-х класів. Надалі слід звернути увагу на те, що кожне геометричне тіло має певний об'єм, виражений додатним числом. Обчислюючи об'єми, треба брати до уваги такі властивості.

1. Рівні тіла мають рівні об'єми.

2. Якщо тіло складається з частин, що не мають самоперетинів, то його об'єм дорівнює сумі об'ємів частин, з яких воно складається.

3. Одиницею об'єму вважають об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини.

Зауважимо, що зазначені властивості об'ємів аналогічні до властивостей площ.

Оскільки формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда відома учням ще з 5-го класу, то її необхідно пригадати:

де – виміри паралелепіпеда.

Якщо добуток розглядати як площу основи паралелепіпеда, – його висоту, то можна сказати так: об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту.

Після цього дається формула для обчислення об'єму прямої призми:

де – площа основи призми, – її висота.

Об'єм циліндра, як і об'єм призми, також дорівнює добутку площі його основи на висоту.

Варто пригадати, що основою циліндра є круг. Якщо його радіус позначити через , а висоту циліндра через , то його об'єм дорівнює:

Формули для обчислення об'ємів піраміди, конуса, кулі учням також уже відомі. Бажано зауважити, що формула для обчислення об'єму конуса аналогічна до відповідної формули для обчислення об'єму піраміди. Формули об'ємів і площ поверхонь многогранників і тіл обертання відпрацьовуються під час розв'язування відповідних задач.

На завершення потрібно сказати, що названі формули будуть доведені в систематичному курсі стереометрії.

Обсяг, зміст і характер викладу поданого вище стереометричного матеріалу цілком доступні для учнів.

2.2.2 Система вправ для формування початкових стереометричних знань і методика їх розв’язування

Усі психічні процеси, зокрема просторова уява, формуються і удосконалюються в результаті діяльності. Таку діяльність необхідно стимулювати й координувати в процесі навчання математики через розв'язування задач. Запропонована нами система вправ має за мету формувати в учнів просторові уявлення, готувати їх до сприйняття стереометричного матеріалу в 10–11-х класах.

Вона включає вправи трьох типів на формування:

1)просторових уявлень та уяви учнів;

2)вимірювальних та обчислювальних навичок;

3)конструктивних навичок.

Належну увагу необхідно приділити формуванню навичок оперування просторовими уявленнями, одержаними в результаті попередньої діяльності. При цьому як засіб наочності разом з моделями геометричних тіл доцільно використовувати їх зображення. Уміння бачити просторові образи на готовому кресленні є важливим стимулом для розвитку просторових уявлень та уяви. У результаті виконання відповідних вправ образи поступово втрачають індивідуальні ознаки, набувають абстрактнішого характеру.

Мінімальний обсяг матеріалу, що вивчається зі стереометрії в основній школі, визначають обов'язкові результати навчання. Наступному накопиченню та переробці у свідомості учнів геометричних фактів, формуванню та розвитку просторових уявлень, конструктивних здібностей має сприяти подана нижче система задач. Для деяких випадків, де це потрібно, описано методику роботи з ними. Задачі підвищеної складності позначено зірочкою (*).

Учні вже мають уявлення про паралельні та перпендикулярні прямі. На другому етапі ми пропонуємо їх перенести і на простір. У зв'язку з цим доцільним є виконання серії вправ на засвоєння учнями взаємного розміщення прямих і площин у просторі. Спочатку це потрібно робити на різних моделях геометричних тіл, поступово переходячи до їх наочних зображень.

Для формування уявлень про взаємне розміщення прямих у просторі, а також прямої та площини, для більшої наочності доцільно використовувати каркасні та скляні моделі. Розглядаючи поняття про взаємне розміщення площин краще користуватися скляними моделями та моделями, виготовленими з картону.

1.На моделі прямої трикутної призми покажіть ребра, які лежать на мимобіжних прямих.

2.На моделі прямокутного паралелепіпеда покажіть ребра, перпендикулярні до нижньої основи.

3.На моделі піраміди покажіть кілька граней, що перетинаються.

4.На моделі циліндра покажіть паралельні грані.

5.Дано модель прямої призми, основою якої є паралелограм. Покажіть:

а) пари паралельних граней;

б) пари перпендикулярних граней.

6. На рис. 18 зображено чотирикутну піраміду SABCD. Назвіть усі ребра, які лежать на прямих, що не перетинають: а) ребро SC; б) ребро AB.

Рис. 18

7. На рис. 19 зображено пряму трикутну призму ABCA1B1C1. Назвіть:

а) ребра, паралельні ребру AA1;

б) ребра, перпендикулярні до ребра BC.

Рис. 19

8. На зображенні прямокутного паралелепіпеда (рис. 20) назвіть:

а) взаємно перпендикулярні грані;

б) грань, паралельну грані BB1C1C.

Рис. 20

9. Зобразіть будь-які два відрізки куба (які не є його ребрами) з кінцями у вершинах куба (рис. 21) такі, щоб вони були:

а) паралельними;

б) перпендикулярними;

в) мимобіжними.

Рис. 21

У 9 класі продовжується формування в учнів уявлень про геометричні тіла за їх розгортками та зображеннями, зокрема під час обчислення площ поверхонь цих тіл за розмірами, поданими на розгортках та зображеннях.

Наведемо приклади таких задач.

10.Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник зі сторонами 63 см і 3,2 см. Обчисліть радіус основи циліндра (розгляньте два випадки).

11.Обчисліть площу повної поверхні конуса, якщо твірна конуса дорівнює 12см, центральний кут розгортки 120°.

12.За поданими на розгортках призм розмірами (рис. 22) обчисліть площі їх поверхонь. Основи призм – правильні многокутники. (Одиниці вимірювання подано в дециметрах.)

13.Обчисліть площі поверхонь (бічну та повну) прямих призм за розмірами, поданими на рис. 23. Основи призм – правильні многокутники. (Одиниці вимірювання подано в сантиметрах.)

Рис. 22 Рис. 23

Центральне місце на другому етапі відводиться вправам на зображення простіших геометричних тіл. Їх розв'язуванню сприяє попередня підготовча робота, а саме: розпізнавання многогранників і тіл обертання на моделях та їх зображеннях, знаходження плоских фігур на зображеннях геометричних тіл.

Після того як учні ознайомилися з побудовою зображень призми, піраміди, циліндра, конуса, кулі, слід запропонувати їм виконати вправи на закріплення. Зокрема, це можуть бути вправи такого типу.

14. Накресліть прямокутний паралелепіпед і позначте його вершини буквами. Назвіть:

а) ребра, що лежать на паралельних, перпендикулярних, мимобіжних прямих;

б) паралельні, перпендикулярні грані.

15.На зображенні куба проведіть площину так, щоб одержати квадратний переріз куба.

16.На рис. 24 дано зображення куба, на ребрах якого взято три точки. Побудуйте фігуру (переріз), по якій площина, що проходить через дані точки, перетне куб.

17.

Рис. 24

18.На рис. 25 дано зображення прямокутного паралелепіпеда, на ребрах якого взято три точки. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через дані точки. Яка фігура утворилась у перерізі?

Рис. 25

18.Зобразіть прямий паралелепіпед і проведіть його діагоналі.

19.Зобразіть пряму трикутну призму. Проведіть діагональ бічної грані.

20. Побудуйте зображення прямої трикутної призми. Сполучіть кінці сторони нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи. Яка фігура утворилася в перерізі?

21.Зобразіть круговий циліндр. Позначте на зображенні радіус нижньої основи.

22.Зобразіть циліндр та побудуйте зображення його осьового перерізу.

23.Побудуйте зображення циліндра. Позначте точку на колі верхньої основи і точку на колі нижньої основи. Сполучіть їх відрізком.

24. Зобразіть конус. Побудуйте на зображенні діаметр основи.

25.На зображенні конуса побудуйте зображення його осьового перерізу.

26.Побудуйте зображення конуса. Позначте на колі основи конуса точку. Зобразіть твірну конуса, яка містить вибрану точку.

Навички будувати зображення геометричних тіл відпрацьовуються під час подальшого ознайомлення учнів з многогранниками та тілами обертання.

Вивчаючи систематичний курс планіметрії, з метою пропедевтики стереометричних знань велику увагу слід приділити задачам на обчислення лінійних елементів геометричних тіл, які є елементами плоских фігур, за даними розмірами інших елементів і мір кутів цих тіл, а також задачам на встановлення залежності між лінійними елементами та площами плоских фігур, поверхнями та об'ємами геометричних тіл. Учні вчаться знаходити на зображеннях геометричних тіл плоскі фігури та, використовуючи відомості з планіметрії, обчислювати необхідні величини.

Така ілюстрація тверджень планіметрії на геометричних тілах, по-перше, розширює знання учнів про ці тіла, по-друге, значно полегшує засвоєння учнями відповідного планіметричного матеріалу, по-третє, досить сприятливо відбивається на розвитку просторових уявлень учнів, дає змогу здійснювати «вихід» за межі площини. Оскільки формування обчислювальних навичок і вмінь на даному етапі навчання вже не є його основною метою, то там, де це необхідно, рекомендуємо користуватися калькулятором.

Наведемо приклади таких задач.

27.У трикутній піраміді РАВС АРС=ВРС, АСР=ВСР. Скільки рівнобедрених трикутників серед її граней?

28.У трикутній піраміді PАВС РВА=90°, РВС=90°. Нехай BA=ВС. Доведіть, що РА=РС.

29.Основою піраміди PABC є рівнобедрений трикутник АВС (АB=ВС). ЇЇ бічні ребра рівні. Нехай MN – середня лінія основи, паралельна АС. Доведіть рівність трикутників РВМ і РВN.

30.Дано зображення куба. Сполучіть деякі його вершини так, щоб одержати рівносторонній трикутник.

31.Довжина ребра куба дорівнює 10 см (рис. 26). Обчисліть довжину діагоналі куба.

Рис. 26

32. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1BlClDl АВ=5 дм, DD1=2 дм, B1C1=1 дм. Знайдіть B1D.

33. Основою прямої призми ABCDA1BlClDl є паралелограм ABCD зі сторонами 4 см і 8 см, кут BAD дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі призми, якщо її висота 6 см.

34.Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює 12, а сторони основи 8 і 6.

35.Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють 3 дм і 4 дм, якщо вона утворює з діагоналлю основи кут 60°.

36.За даними стороною основи а=9 см і бічним ребром b=6 см знайдіть висоту піраміди, основою якої є квадрат. Основа висоти піраміди збігається з центром квадрата.

37.Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 6 м. Бічні ребра піраміди рівні й утворюють зі сторонами основи кути по 45°. Знайдіть висоту піраміди.

38.Основою піраміди SABCD є прямокутник ABCD. O – точка перетину його діагоналей; SO – висота піраміди. Обчисліть довжину бічного ребра піраміди, якщо довжина діагоналі дорівнює 14 см, а кут між діагоналлю основи та бічним ребром дорівнює 60°.

39.Осьовим перерізом циліндра є прямокутник. Обчисліть площу осьового перерізу, якщо діаметр основи циліндра 22 см, а висота циліндра 40 см.

40.Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює і утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть радіус циліндра.

41.Знайдіть радіус основи прямого кругового конуса, якщо його твірна 5 м, а висота 4 м.

42.Твірна конуса дорівнює 3 дм, а площа круга основи дм2. Знайдіть висоту конуса.

43.Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 60°, а твірна дорівнює 2см. Знайдіть площу осьового перерізу.

44.Назвіть і покажіть на каркасній моделі куба його осі симетрії.

45.Скільки осей симетрії має прямокутний паралелепіпед?

46.Що є центром симетрії: а) циліндра; б) кулі?

У 9-му класі пропедевтичне засвоєння знань стереометричних понять завершується розглядом питань на обчислення площ поверхонь та об'ємів многогранників і тіл обертання. У 5–6-х класах учні вже зустрічалися з такими задачами, але під час їх розв'язування вони користувалися готовими формулами.

Після того, як у систематичному курсі планіметрії учні ознайомилися з обчисленням площ плоских фігур, розширили відомості про геометричні тіла, вони набувають чіткіших уявлень про обчислення площ поверхонь та об'ємів многогранників і тіл обертання. Ці уявлення слід закріпити під час розв’язування таких задач.

47.Обчисліть (з точністю до одиниць) радіус основи і висоту циліндра, площа основи якого дорівнює 50 см2, а бічна поверхня 25 см:.

48.Бічна поверхня циліндра дорівнює 200 см2. Чи може довжина кола основи дорівнювати 400 см?

49.Обчисліть об'єм прямої призми, основою якої є рівносторонній трикутник зі стороною 7 мм, а бічне ребро дорівнює 10 мм.

50.Обчисліть площу повної поверхні прямої призми, основою якої є квадрат зі стороною 3 см, а висота призми 7 см.

51.Скільки квадратних метрів заліза потрібно для виготовлення бака з кришкою, що має форму прямої призми, основою якої є правильний шестикутник зі стороною 0,6 м, а висота призми 1,2 м? Витрати на шви становлять 5% від площі поверхні бака.

52.Залізничний насип довжиною 500 м має поперечний переріз у вигляді рівнобічної трапеції з основами 12 м і 8 м, висотою 2,5 м. Скільки тонн землі потрібно для цього насипу? Густина землі 1,3 т/м3.

53.Подвір’я, що має форму прямокутника зі сторонами 32 м і 80 м, треба обгородити. Висота огорожі 2,5 м. Скільки потрібно для цього кубічних метрів дошок товщиною 2,5 см?

54.Обчисліть площу повної поверхні піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 12 см, а бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники з бічною стороною 20 см.

55.Довжина діагоналі однієї з граней куба дорівнює 6,4 см. Обчисліть об’єм і площу поверхні цього куба.

56.Обчисліть площу повної поверхні та об’єм циліндра, якщо діаметр його основи дорівнює 12 см, а висота 62 см.

57.Знайдіть масу десятиметрової труби, виготовленої зі стального листа товщиною 22 мм, якщо його зовнішній діаметр дорівнює 1420 мм. Густина сталі дорівнює 7800 кг/м3.

58.Посудину, що має форму прямої трикутної призми зі сторонами основи 20см, необхідно замінити рівновеликою посудиною циліндричної форми тієї самої висоти. Знайдіть діаметр основи циліндричної посуди.

59.Що має більшу масу: один вал діаметром 30 см чи два вали, кожний діаметром 15см, якщо всі мають однакову довжину і виготовлені з одного матеріалу?

60.Скільки води містить циліндричний паровий котел, що має довжину 4 м і внутрішній діаметр 1,4 м? Усередині котла по довжині проходять дві жарові труби діаметром по 40 см кожна.

61.Обчисліть площі бічної та повної поверхонь конуса, висота якого дорівнює 6 см, радіус основи 4 см.

62.Скільки тонн породи в териконі висотою 90 м, якщо кут укосу породи 46°, а її густина 2 т/м3 (рис. 27).

Рис. 27

63.Відсортоване зерно жита зібрали в конічну купу, висота якої 0,7 м. Скільки важить така купа зерна, якщо твірна конічної купи утворює з горизонтальною площиною кут 30°? (Маса 1 дм3 жита 0,7 кг.)

64.Довжина кола основи купи щебеню, що має форму конуса, 12,1 м. Довжина твірної 2,3 м. Обчисліть об'єм цієї купи.

65.Площа поверхні кулі 215 см2. Обчисліть її діаметр.

66.Знайдіть площу поверхні кулі, в якої довжина кола великого круга дорівнює 25 см.

67.Скільки потрібно фарби, щоб пофарбувати кулю діаметром 2,4 м, якщо на пофарбування 1 м2 витрачається 120 г фарби?

68.Знайдіть масу гранітної кулі діаметром 1,8 м. Густина граніту 2,1 кг/дм3.

69.Чому дорівнює маса дубової кулі діаметром 100 мм, якщо густину дуба 0,70 г/см3?

70.Дві металеві кулі діаметром 14 см і 8 см сплавили в одну кулю. Чому дорівнює її діаметр?

Виконання під керівництвом учителя геометричного аналізу запропонованих ситуацій, спостереження предметів навколишньої дійсності, моделей геометричних тіл, їх виготовлення, вправи з використанням зображень, на обчислення елементів тіл, площ поверхонь та об'ємів сприяють накопиченню та переробці в свідомості учнів геометричних фактів, формуванню і розвитку в них конструктивних навичок, просторових уявлень, що забезпечить необхідну базу для вивчення систематичного курсу стереометрії.

2.3 Практична реалізація вивчення стереометричного матеріалу у 9 класі з використанням інформаційних технологій

Впровадження в процес навчання інформаційно-комунікаційних технологій значною мірою сприяє реалізації принципів гуманізації освіти та навчального процесу, поглиблення та розширення теоретичної бази знань і надання результатам навчання практичного значення, активізації евристичної навчально-пізнавальної діяльності, створенню умов для повного розкриття творчого потенціалу учнів з урахуванням їх вікових особливостей, індивідуальних схильностей, потреб та здібностей.

У шкільному курсі математики особливе місце займають стереометричні задачі. Щоб розв’язувати їх треба застосовувати знання та вміння не тільки зі стереометрії, а й з інших дисциплін. Ефективність навчанню розв’язувати стереометричні задачі залежить не стільки від розгляду всього різноманіття задач курсу стереометрії, скільки від уміння проводити детальний розбір конкретної ситуації, про яку йде мова в задачі. Необхідно щоб учні варіювали вихідні дані, аналізували, як зміняться елементи фігури при зміні інших її елементів, порівнювали хід розв’язання задачі з її результатом, в чому ефективно допоможуть ІКТ.

Комп’ютерна підтримка при вивченні стереометрії захоплює учнів і полегшує розуміння методів і понять геометрії. Застосування програмних засобів забезпечує наочність основних понять стереометрії, розвиває образне мислення, підштовхує учнів до дослідницької діяльності.

Останнім часом все частіше в навчальному процесі використовують педагогічні програмні засоби.

Доцільно ознайомити учнів з програмою GRAN-3D, яка може використовуватися учнями для перевірки самостійних побудов.

Працюючи один на один з такою програмою, учень отримує зручні умови для відпрацювання вмінь та навичок розв’язування задач, повторює знайомі або засвоює нові методи та стратегії розв’язання, тобто має змогу виховувати в собі оригінальність думки, яка так потрібна для розвитку навиків евристичної діяльності.

У цій програмі простий для вивчення інтерфейс.

1. Початок роботи з програмою. Звернення до послуг програми.

Активація програми.

Програма GRAN-3D призначена для графічного аналізу просторових (тривимірних) об'єктів, звідки й походить її назва (GRaphic Analysis 3-Dimension).

Програма функціонує під управлінням операційної системи Windows9x. Після успішної установки в зазначеному директорії буде створено файл GRAN3D.EXE – основна програма, а також будуть створені допоміжні файли допомоги. Далі після «натискання» кнопки Пуск назва програми GRAN-3D буде з'являтися як пункт меню Програми, при зверненні до якого буде відбуватися запуск ППС GRAN-3D.

Основні елементи інтерфейсу. Звернення до послуг програми.

Після активації ППЗ GRAN-3D на екрані з'явиться головне вікно програми (рис. 28). Зверху під заголовком головного вікна розташовано головне меню – перелік послуг, до яких можна звернутися в процесі роботи з програмою. При зверненні до певного пункту головного меню з'являється перелік пунктів (послуг) відповідного підменю. Тип записів у свою чергу можуть розгалужуватиметься на підпункти, перелік яких з'являється при зверненні до відповідного пункту підменю.

Під час роботи з програмою в деяких ситуаціях використання певних послуг меню не є коректним. Такі пункти меню будуть виділятися блідим кольором, а звернення до них не призведе до будь яких дій. Наприклад, використання послуг пункту головного меню Об'єкт – Змінити або Видалити на початку роботи з програмою, поки ще не створено ні один об'єкт, не є коректним, оскільки ще нічого змінювати або видаляти.

Якщо необхідно відмовитися від роботи з тільки що обраною послугою, слід звернутися до послуги Об'єкт \ Припинити виконання операції, або натиснути клавішу ESC.

Рис. 28

Звернення до окремих послуг програми (без перебирання пунктів головного меню і підпунктів відповідних підменю) при необхідності можна здійснити за допомогою функціональних клавіш або комбінацій клавіш, вказаних праворуч біля назв пунктів головного меню.

Панель інструментів.

Для активації деяких послуг можна скористатися кнопками швидкого виклику операцій на панелі інструментів, яка розташована під головним меню програми. Для цього треба натиснути відповідну кнопку (тобто встановити покажчик миші на позначення кнопки і натиснути ліву клавішу миші). «Кнопки» оснащені системою оперативної підказки, тому під час знаходження покажчика миші над певною «кнопкою» на екрані з'являються короткі відомості про її призначення.

2. Система координат. Картинна площина проекції.

Зображення координатних осей. Масштаб зображення.

Відразу після завантаження програми GRAN-3D в полі Зображення з'являється зображення осей координат, на яких вказані значення поділок, що визначають довжини одиничних відрізків уздовж цих осей. Співвідношення масштабів зображення уздовж будь-якої з осей можна змінити за допомогою послуги Установки \ Параметри на вкладиші Зображення вікна Налаштування. Для збільшення або зменшення масштабу зображення призначені послуги Зображення \ Збільшити і Зображення \ Зменшити. Після звернення до послуги Зображення \ Підібрати розмір буде встановлений передбачений у програмі масштаб зображення.

Поворот системи координат.

За допомогою смуг повороту зображення можна обертати систему координат разом з створеними моделями об'єктів. Центром повороту може бути точка з довільними просторовими координатами (за замовчуванням центром повороту є точка з координатами (0,0,0)). Щоб змінити координати центру повороту, слід скористатися послугою Установки \ Параметри на вкладиші Зображення вікна Налаштування. Для повороту системи навколо осі Oz призначена горизонтальна смуга повороту зображення, а для повороту навколо горизонталі, що проходить через центр повороту, призначена вертикальна смуга повороту зображення. Для повороту системи можна використовувати також клавіші управління курсором.

Виродження простору в площину. Ізомертія.

Для швидкого встановлення системи в положення ізометрії або в положення, при якому зображення однієї з координатних осей вироджується в точку, призначені послуги пункту меню Зображення \ Положення координатних осей – Вироджена вісь Ox, Вироджена вісь Oy, Вироджена вісь Oz і ізометрії.

Означення координат точок

Якщо підвести вказівник мишки до будь-якої лінії довільного об'єкта, зазначена лінія виділяється пунктиром і в полі інформування автоматично виводяться просторові координати точки, яка відповідає сучасному стану покажчика, і назва об'єкта, з яким ця точка належить. У випадку, якщо система розміщена так, що одна з координатних осей вироджується в точку (тобто координатна площина, яка визначається іншими двома осями, розміщена паралельно площині зображення), автоматично обчислюються (і виводяться в поле інформування) координати точки, яка відповідає сучасному стану покажчика миші в площині зображення. Координата вздовж вироджений осі вважається невідомою.

3. Створення моделей просторових об’єктів.

Створення об’єкта типу Многогранник.

Для створення об'єкта типу Многогранник потрібно звернутися до послуги меню Об'єкт \ Створити \ Многогранник, що призведе до появи вікна Конструювання об'єкта з вкладкою Многогранник (рис. 29).

Рис. 29

Засобами ППЗ GRAN-3D можна створити довільний многогранник. Для цього необхідно у відповідних полях вказати кількість вершин многогранника і кількість трикутних граней (не трикутні грані потрібно поділити на трикутники), ввести координати вершин многогранник в таблицю Вершини, а також вказати по три вершини на кожній грані.

Для опуклих многогранників можна не вказувати кількість трикутних граней і номери вершин для кожної грані. Досить спочатку ввести вершини многогранник, а потім скористатися послугою Сформувати межі опуклого об'єкта – кількість граней і відповідні номери вершин для кожної грані будуть встановлені автоматично. Для підтвердження введення даних слід «натиснути» кнопку Виконати.

4. Графічне зображення об’єктів типу Точка, Ламана, Площина.

Об'єкти типу Точка, Ламана і Площина можна задавати «з екрану», вказавши точки, які визначають ці об'єкти, безпосередньо в полі Зображення з допомогою миші. Для створення об'єктів зазначених типів описаним способом слід звернутися до послуги меню Oбьект \ Створити з екрану \ Точка, Oбьект \ Створити з екрану \ Ламана або Oбьект \ Створити з екрану \ Площина, в залежності від того, об'єкт якого типу необхідно створити. На відповідний запит програми, який з'явиться у полі підказки, необхідно в поле Зображення вказати (за допомогою покажчика миші) точки, які будуть визначати об'єкт, після чого з'явиться (після вказівки останньої крапки) вікні Конструювання об'єкта відкоригувати деякі параметри об'єкта (якщо це необхідно) і «натиснути» кнопку Виконати.

Для створення об'єкта типу Точка потрібно вказати лише одну точку.

Для створення об'єкта типу Ламана потрібно вказати стільки точок, скільки вершин має ламана. Вказавши останню вершину ламаної, потрібно натиснути праву клавішу миші.

Для створення об'єкта типу Площина слід вказати три точки, через які має проходити площина.

«Вказати крапку» означає підвести покажчик миші в поле Зображення до зображення будь-якої вершини або лінії (ребра) будь-якого створеного об'єкта так, щоб у полі інформування з'явилися координати точки і назва об'єкта, якому вона належить, і натиснути ліву кнопку миші. Якщо одна з координатних площин розміщена (за допомогою смуг повороту зображення) паралельно площині зображення, тоді можна підвести курсор миші до будь-якої точки площини так, щоб у полі інформування з'явилися координати цієї точки, і натиснути ліву кнопку миші. Координата точки вздовж осі виродження буде вважатися рівна 0.

5. Характеристика об’єктів.

Характеристика поточного об’єкта.

Деякі характеристики об'єктів обчислюються автоматично відразу після створення об'єктів або після їх перетворення (рис. 30). Для об'єктів усіх типів обчислюються (і виводяться в поле Характеристики) мінімальні і максимальні координати точок уздовж кожної з координатних осей. Крім цього, для об'єктів кожного окремого типу виводиться деяка додаткова інформація:

Рис. 30

– для об'єктів типу Ламана обчислюється довжина ламаної, а якщо ламана замкнена і всі її вершини лежать в одній площині, то також обчислюється площа області, обмеженої ламаної;

– для об'єктів типу Площина, незалежно від способу завдання, обчислюються коефіцієнти A, B, C і D рівняння площини виду Ax + By + Cz + D = 0;

– для об'єктів типу Многогранник обчислюється об'єм та площу поверхні, а також площа і периметр окремо кожної грані (ці характеристики наводяться у вікні Перелік граней об'єкта, яке з'явиться при звернення до послуги Обчислення \ Багатогранник \ Площі і периметри граней);

– для об'єктів типу Поверхня можливо обчислення обсягів і площ поверхонь тіл, які ними обмежуються (ці відомості доступні через послугу головного меню Обчислення \ Подвійний інтеграл і площу поверхні);

– для об'єктів типу Поверхня обертання обчислюються площа поверхні, утвореної обертанням графіка деякої функції або ламаного, і об'єм тіла, обмеженого такою поверхнею.

6. Обчислення об’ємів і площ поверхні многогранників.

Обсяги та площі поверхонь об'єктів типу Многогранник (піраміда, призма, паралелепіпед, куб і т.п.) обчислюються автоматично при створенні або перетворення цих об'єктів. Обчислені значення виводяться в поле характеристик поточного об'єкта.

Додаткова інформація про площі та периметри окремих граней поточного многогранника доступна через послугу програми Обчислення \ Многогранник \ Площі і периметри граней. У що з'являється вікні Перелік граней об'єкта наведено перелік граней поточного об'єкта-многогранника та переліки вершин, які лежать на кожній окремій грані, а також площі і периметри цих граней. Під переліком в полі Площа зазначених виводиться сумарна площа граней, зазначених «галочкою» у переліку граней. За допомогою кнопок Позначити всі, Зняти позначки і Інвертувати позначки можна швидко відзначити всі грані, зняти позначки з усіх граней в переліку або змінити стан відміток граней на протилежне. Послугою Обчислення \ Многогранник \ Площі і периметри граней можна скористатися лише тоді, коли поточних об'єктом є об'єкт типу Многогранник.

7. Обчислення об’ємів і площ поверхні тіл обертання.

У програмі передбачено обчислення обсягів і площ поверхонь тіл обертання, що утворюють яких обертаються навколо осі Оx або Oy в прямокутній декартовій системі координат і задаються одним з трьох способів:

1. у вигляді явної залежності між змінними x і y: y = f (x);

2. у вигляді заданої параметрично залежності між змінними x і y: x = f (t), y = g (t), де t – мінлива-параметр;

3. у вигляді ламаної, заданої впорядкованим набором вершин у площині xOy.

Відразу після створення об'єкта типу Поверхня обертання розпочнеться обчислення об'єму та площі поверхні тіла, обмеженого поверхнею, утвореної обертанням графіка заданої функції або ламаного. Цей процес вимагає певного часу, тому під час обчислення з'являється вікно з показником стану виконання обчислень.

Після обчислення результат буде виведено у полі характеристик поточного об'єкта. У програмі передбачено обчислення обсягів і площ поверхонь тіл обертання, що утворюють яких обертаються навколо осі Оx або Oy в прямокутній декартовій системі координат і задаються одним з трьох способів:

1. у вигляді явної залежності між змінними x і y: y = f (x);

2. у вигляді заданої параметрично залежності між змінними x і y: x = f (t), y = g (t), де t – мінлива-параметр;

3. у вигляді ламаної, заданої впорядкованим набором вершин у площині xOy.

Після обчислення результат буде виведено у полі характеристик поточного об'єкта.

8. Обчислення значення вираження.

Під час роботи з програмою іноді виникає необхідність обчислити значення деякого вираження. У таких випадках зручно скористатися послугою Обчислення \ Значення виразу. На вкладці Значення виразу вікна Обчислення, яке з'явиться після звернення до зазначеної послуги, в полі Вираз потрібно ввести вираз, значення якого необхідно обчислити, і «натиснути» кнопку Обчислити, після чого результат буде виведено у полі Результат обчислень. При цьому якщо вираз було введено некоректно, то з'явиться повідомлення про помилку.

Для введення виразів можна використовувати панель калькулятора з цифровими кнопками і кнопками швидкого введення назв стандартних функцій, що дозволяє вводити вирази за допомогою лише миші, без використання клавіатури. Без використання панелі калькулятора всі необхідні символи можна ввести також і з клавіатури.

Покажемо застосування цієї програми.

Головною функціональною можливістю програми, яка заявлена розробниками, є перевірка вірності розв’язання геометричних задач. Користувач (учень) має змогу після вирішення поставленої задачі перевірити результат, використавши програму Gran 3D.

Розглянемо можливості програмного продукту на прикладі задач, поданих в шкільному підручнику. Спочатку проводиться вирішення задачі стандартним способом – за допомогою формул та математичних обчислень, після чого знайдені результати перевіряються на правильність.

Задача 1.

Діаметр кулі дорівнює 10 см. Знайти відношення площі поверхні цієї кулі до її об’єму.

Розв'язання стандартним способом:

Перевірка:

Викликаємо команду «Створити базовий просторовий об'єкт». У вікні, що появилось, вибираємо вкладку «Куля» (рис. 29).

Рис. 29

Вводимо діаметр кулі і натискаємо на кнопку «Створити». Програма будує тримірне зображення кулі, що дозволяє користувачу наглядно оцінити параметри кулі, аналіз якої він проводить (рис. 30).

Рис. 30

У вкладеному вікні, що знаходиться з правої сторони, зчитуємо інформацію про об’єкт та площу поверхні (рис. 31).

Рис. 31

Обєм: 523 куб. од.

Площа поверхні: 307 кв. од.

Діленням об’єму на площу можна отримати відношення 3 до 5, що є правильним розв’язком задачі.

Задача 2.

Кульку виготовили із скла, її радіус 3 см. Знайти з точністю до десятих грама масу цієї кульки, якщо маса 1 см3 дорівнює 3 г.

Стандартний метод розвязку:

Тоді маса кульки:

3*113,04=339,1 (г)

Перевірка результату. Викликаємо команду побудови базового просторового об’єкту, у вікні вибираємо вкладку «Куля» і вводимо початкові дані (рис. 32).

Рис. 32

Створюємо кулю з вказаними параметрами і у вікні з інформацією про об’єкту отримуємо дані про об’єм кулі (рис. 33) і перемножуємо на густину скла. В результаті отримуємо співпадання даних, добутих двома способами.

Рис. 33

Задача 3. Прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 36 см. І 10,5 см, обертається навколо одного катета. Визначити повну поверхню і об’єм утвореного при цьому конуса.

Розв'язання:

Де R – радіус основи, L – твірна, H – висота.

Розглянемо , у ньому .

Якщо ОА=10,5см, SO=36см, то за теоремою Піфагора SA2=SO2+OA2=1296+110,25=1406,25, SO=37,5см.

Отже,

Якщо ОА=36см, SO=10,5, то за теоремою Піфагора

SA2=SO2+OA2=1296+110,25=1406,25, SO=37,5см.

Отже,

Перевіримо відповідь за допомогою програми Gran 3D. Для цього викличемо команду «Створити просторовий базовий об'єкт», перейдемо на вкладку «Конус» і введемо дані, вказані в умові задачі (рис. 34).

Рис. 34

У вікні параметрів об’єкту читаємо дані про об’єм та повну поверхню утвореного конуса (рис. 35).

Рис. 35

Ділимо отримані дані на Пі і отримуємо результат, відповідний до результату, отриманого стандартним способом розв’язування.

При цьому, разом з перевіркою даних на основі програма будує стереометричну модель об’єкта, що дає можливість побачити його візуально, виконати операції масштабування та обертання для його кращого аналізу (рис. 36).

Рис. 36

Отже, програма дозволяє будувати різноманітні просторові об’єкти за допомогою можливостей програми Gran 3D та отримувати дані, необхідні для перевірки даних. Це дає користувачу змогу перевіряти вірність отриманих в процесі розв’язання даних та ефективно аналізувати візуальний вигляд об’єкту.

Висновки

Математична освіта є важливою складовою загальноосвітньої підготовки. Місце математики в системі шкільної освіти визначається її роллю в інтелектуальному, соціальному та моральному розвитку особистості, розумінні будови і використання сучасної науки і техніки, нових інформаційних технологій, сприйманні наукових і технічних ідей, формуванні наукової картини світу і сучасного світогляду. Математика є опорним предметом при вивченні суміжних дисциплін (фізики, хімії, інформатики, біології, географії, економіки, креслення), тому без належної математичної підготовки неможлива повноцінна освіта сучасної людини.

Вирішальне значення для системи шкільної освіти має формуючий вплив предмета математики на розвиток логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алгоритмічної і інформаційної культури, уваги, пам’яті.

Просторове мислення, як відомо, є складовою частиною чуттєво-образного мислення і не є апріорі визначеним, запрограмованим від народження. Воно формується в процесі індивідуального розвитку людини. Просторове мислення виникає в надрах практичної потреби орієнтації на місцевості, серед об'єктів матеріального світу. Однією з основних цілей вивчення стереометрії є усвідомлення учнями структури логічної побудови цього розділу. Обов’язковим завданням є розвиток логічного мислення просторової уяви, абстрактного мислення школярів, а також ілюстрація зв’язку геометрії з реальним життям.

Потреба у вивченні елементів стереометрії в курсі математики основної школи, запропонований нами зміст навчального матеріалу, вікові особливості та індивідуальні відмінності дітей підліткового віку у формуванні мислення (зокрема просторового) дають підставу сформулювати такі методичні вимоги до вивчення стереометричного матеріалу в основній школі.

1. Стереометричний матеріал має вивчатися на наочно-оперативному рівні в контексті з відповідним матеріалом курсу математики 5–6-х класів і планіметрії 7–9-х класів. Це дасть змогу одночасно з формуванням знань, навичок і вмінь про плоскі фігури ознайомлювати учнів з геометричними тілами та певними їх властивостями, формувати просторові уявлення, розвивати просторову уяву.

2. Вивчення елементів стереометрії має здійснюватися систематично, з дотриманням принципів навчання.

3. Метою та засобом навчання учнів елементам стереометрії мають бути різнопланові задачі: на розпізнавання геометричних фігур і їх виготовлення; на зображення, вимірювання та обчислення величин. Значна їх кількість має мати прикладну спрямованість. У ході розв'язування задач в учнів мають формуватися просторові уявлення та уява, практичні навички та вміння.

4. Вивчення елементів стереометрії, як і вивчення інших питань шкільного курсу математики, має проводитися диференційовано. Основними критеріями диференціації мають бути рівень вимог до засвоєння учнями навчального матеріалу та рівень допомоги їх з боку вчителя з урахуванням індивідуальних відмінностей.

5. Основною метою вивчення розділу «Елементи стереометрії» в курсі планіметрії 9-го класу має бути систематизація відомостей зі стереометрії, які учні здобули раніше, формування відповідного обсягу стереометричних знань, необхідних для продовження освіти, надання курсу геометрії основної школи певної завершеності.

Для покращення вивчення задач на побудову можна використовувати програмний засіб Gran-3d, який доступний для вивчення вчителями та учнями. Причому його можна знайти в Інтернеті безкоштовно і з його допомогою можна демонструвати розв’язування задач на побудову у русі, динаміці, що значно сприятиме розвитку просторового мислення школярів. Що в кінцевому випадку і є основним завданням вивчення шкільного курсу геометрії.

Список використаної літератури

1. Геометрія: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл./ М.І. Бурда, Н.А. Тарасенкова. – К.: Зодіак-ЕКО;

2. Геометрія: підручник для 9 кл. загальноосвітніх навч. закл./ А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. – Харків: «Ранок»;

3. Геометрія: підручник для 9 кл. загальноосвітніх навч. закл./ Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір – «Гімназія»

4. О.В. Погорєлов. Геометрія 10 – 11. – К.: Освіта, 2000. – 128 с.

5. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. – М. «Сентябрь», 1996.

6. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. – М.: Изд. Московского ун-та, 1985.

7. Якиманская И.С. Розвитие пространственного мышления школьников. – М.:Педагогіка, 1980.

8. Вітюк О.В. GRAN-2D і GRAN-3D – програмні засоби для підтримки курсу геометрії // Інформатика та комп'ютерно-орієнтовані технології навчання: Зб.наук. праць Всеукраїнської науково-практичної конференції (м. Хмельницький, 16–18 травня 2001 року)/ Редкол.-К: Педагогічна думка. 2001.

9. Малкова Наталія «Навчання учнів розв'язувати стереометричні задачі в умовах застосування ІКТ»

10.«Живая геометрия» www.localhost.ru

11.А.В. Прус «Про прикладну спрямованість шкільного курсу стереометрії»

12.І.А. Сверчевська «Еволюція вивчення геометричних тіл у шкільному курсі стереометрії»

13.Вітюк О.В. Розвиток образного мислення учнів при вивченні геометрії з використанням ППЗ GRAN-3D. Комп'ютерно-орієнтовані системи навчання: 36. наук. праць/К.:НПУ ім. Драгоманова.-Випуск 3. 2001

Страницы: 1, 2