Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ =Æ);

3. все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S и MÎ Max S;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b¢, c Î S выполняется

abc = ab¢c Û acb = acb¢.

Определение 4. Элемент aÎS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab¢. Тогда

baba = bab¢a и b¢aba = b¢ab¢a,

откуда

baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba

или иначе

(ba)+ (b¢a)= bab¢a + b¢aba.

В силу редуцированности ba = b¢a, т.е.

ab = ab¢ Þ ba = b¢a. (1)

Аналогично доказывается ba = b¢a Þ ab = ab¢.

Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = b¢a, откуда bac = b¢ac и acb = acb¢. Значит, имеем:

ab = ab¢ Þ acb = acb¢, ba = b¢a Þ bca = b¢ca. (2)

Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда

abc = ab¢c Þ acbc = acb¢c Þ acbac = acb¢ac Þ acbacb = acb¢acb и

acbacb¢ = acb¢acb¢ Þ (acb)+ (acb¢)= acb¢acb + acbacb¢ Þ acb = acb¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0 Þ a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n > 2, то c= 0 для k Î N с условием n £ 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

a b 1

b b b

1 b 1

a b 1

a a a

b b b

a b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ¹ ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB Í P влечёт A Í P или B Í P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a Î P или b Î P для "a, b Î S.

Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b Î S \ P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P. Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b Ï P влечёт ab Ï P.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, b Ï P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t Î aSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u,v,wÎ S, то хотя бы для одного i Î {1,…,k} a vb Ï P, ибо в противном случае каждое слагаемое uavbw лежит в P, и следовательно, t Î P.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A P. Тогда найдётся a Î A \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент b Î B \ P и по условию asb Ï P для подходящего s ÎS. Но тогда и AB P, и следовательно, P - первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ÏT, 1 ÎT и для любых a, b Î T найдётся такой s ÎS, что asb Î T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где n Î N и a ¹ 0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 Ï T, 1Î T и для "a,aÎ T $с = 1ÎS : aсa= aÎ T. Таким образом, T является m-системой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до m-системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T - m-система, а J - произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P Ê J, P Ç T = Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb Í P для некоторых a, b Ï P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть m Î (P + SaS) Ç T, r Î (P + SbS) Ç T и msr Î T для некоторого sÎS. Но, с другой стороны,

msr Î (P + SaS) × (P + SbS) Í P +SaSbS Í P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb Î P неверно, и P - первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M Í A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a Î S множество

Ann aS = {t Î S: ("s Î S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S.

Ann a ={s Î S: as = 0} - правый идеал и Ann aS Í Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество Op = {s Î S: ($tÏP) sSt = 0} = {s Î S: Ann sS P} называется O-компонентой идеала P.

Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, b Î Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u Ï P. В силу первичности P tsu Ï P для подходящего s Î S. Для любого v Î S

(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as Î Op, и Op - идеал.

Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.

Тогда OM Í Op Í P.

Доказательство: Пусть a Î OM, тогда aSt = 0 для некоторого t Ï M. Поскольку t Ï P, то a Î Op, и значит, OM Í Op. Для любого s Î S 0 = ast Î P. Поскольку P первичен, то a Î P или t Î P, отсюда a Î P, и следовательно, Op Í P.

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ симметрического полукольца S верна импликация:

P Ç P¢ не содержит первичных идеалов Þ Op P¢.

Доказательство: Предположим, что Op Í P¢. Полагая A = S \ P и B = S \ P¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A È B. Покажем, что AB Ç Op = Æ. В самом деле, если s Î AB Ç Op, то sb = 0 для некоторого b Î A, т.е. {0} Î AB. Поскольку s является произведением элементов из A È B, то в силу первичности идеалов P и P¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u Î B, v Î A. Откуда u Î Op P¢ - противоречие.

Таким образом, AB является m-системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op. А так как A È B Í AB, то P Ç P¢ Ê Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ в симметрическом полукольце, если Op Í P¢ , то пересечение P и P¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b) = {s Î S: "xÎS (axs = bxs)} - идеал полукольца S для "a, b Î S.Очевидно, (a, 0) = Ann aS.

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b Î S выполняется

= (a, b).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a Î S.

Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.

Пусть S - полупервичное полукольцо и b Î. Для каждого первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b Î P, во втором случае a Î Op Í P. Тогда aSb rad S = 0, откуда b Î Ann aS. Следовательно, Í Ann aS. Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c Ï(a, b) для a, b Î S. Тогда ac ¹ bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc ¹ acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac¹ bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac¹ bc, и следовательно, ac¹ bc. По индукции ac ¹ bc. Значит, T = {1, c, c,…} - m-система, не пересекающаяся с (a, b), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b), при этом c Î S \ P. Значит, c Ï, откуда Í (a, b). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a, b) Þ по определению 12 S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

D(A) = {P Î Spec S: A P}.

Множество D({0}) = {P Î Spec S: {0}P} = Æ, а Spec S = D(S).

D(A) Ç D(B) = { P Î Spec S: A P Ù B P} = { P Î Spec S : AB P} = D(AB).

Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).

Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î Spec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P Î D(A), т.е. A P, то Ann A Í P, т.е. P Î Y. Откуда Í Y, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P Ï. Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B - некоторый идеал в S, не пересекающийся с.

D(A) Ç D(B) = Æ, тогда AB Í rad S = 0, т.е. B Í Ann A.

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P Ï Y . Получили Y Í .

Лемма 5. Пусть P - первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = Op Û P - минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = Op , P ¢Î Spec S и P ¢ Í P. Тогда Op Í OP¢ Í P ¢. Поэтому P ¢= P, и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a ÎP \ Op. Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a} $с = 1ÎS : aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с Op. Действительно, если aÎ Op , n Î N, то ab = 0 для некоторого b ÎS \ P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть a Î Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P Ç P ¢,что противоречит минимальности P. Значит, P Í Op. Также Op Í P (Лемма 2). Тогда P = Op.

Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a, b Î S \ P, то asb Ï P для подходящего s Î S, откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.

Определение 14. S – слабо риккартово Û "a Î S "b Î Ann aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0Î N. Тогда Ann aS = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N. Теперь возьмём a Î N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ =Æ);

3. все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S и MÎ Max S;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Î Spec S и ab ÎOp при a, b Î S.

Тогда $ сÎS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для " s Î S.

Возьмём s = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î Ann aS (по определению Ann aS). Но Ann aS Í Ann a . Тогда bc ÎAnn a. По условию 1) S - слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a ÎS, bc Î Ann aS.

$ e ÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏOp Þ Ann aS Í P (по определению Ann aS) Þ e ÎP.

Тогда f ÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P - первичный идеал Þ P - собственный Þ 1ÏP.

f ÎAnn bc Þ bcf = 0. Т.к. S - симметрическое Þ bScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP, f ÏP , а P - первичный идеал) Þ b Î Op .

Таким образом, получили, что все идеалы Op , P Î Spec S, вполне первичны.

3)Þ4). По условию 3 все идеалы Op , где P Î Spec S, первичны. Но M Î Max S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M Î Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M Î Spec S и M Î Max S, первичны.

Пусть P Í M. Тогда OM Í Op (лемма 2).

Если a Î Op , т.е. ab = 0 при некотором b ÎS \ P и s = 1ÎS, то a ÎOM , ибо b ÏOM Í P, а ab = 0 ÎOM и OM псевдопрост (доказано выше). Значит и Op Í OM . Тогда Op = OM .

4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S и P Í M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P Í M Þ Op = OM . Также Op Í P (Лемма 2). Докажем, что OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q Í M Þ OM Í OQ Í Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал Þ OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢ - произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢ = OM (по условию 4)). Также OP¢ = P ¢ .

Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP¢ = P ¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)Þ6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹ S для некоторых a, b ÎS.

Тогда Ann a + Ann b Í M для подходящего M Î Max S.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM Í P (Лемма 2). Предположим, что $a Î P \ OM . Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a} $с = 1ÎS: aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, если aÎ OM, n Î N, то ab = 0 для некоторого b ÎS \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎOM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w Î S \ P и q, w Î S \ P ¢. Тогда $s Î S: qsw Ï P Þ qsw Ï P Ç P ¢ Þ P Ç P ¢ -первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит P Í OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aÎOM или b ÎOM. Откуда по определению нуль-компонент Ann a M Ú Ann bM Þ Ann a + Ann b M Þ противоречие Þ Ann a + Ann b = S.

6)Þ1). Возьмём "a, b ÎS: ab = 0 Þ b Î Ann aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)Û6). Пусть a, b Î S и ab = 0. D(a) Ç D(b) = {PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} = { PÎSpec S: ab Ï P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = Æ.

Обратно, D(a) Ç D(b) ={PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} ={PÎSpec S: ab Ï P}=D(ab) =Æ Þ ab = 0, так как D(x) = Æ Û x = 0.

Таким образом, ab = 0 Û D(a) Ç D(b) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {SÎSpec S: Ann aÍP Ù Ann bÍP} = Æ.

Тогда Ann a + Ann b M для " M Î Max S Í Spec S Þ Ann a + Ann b = S.

В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Þ Ann aM Ú Ann bM для подходящего M Î Max S Í Spec S.

Тогда = {S Î Spec S: Ann a ÍP Ù Ann b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b ÎA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b.

c Î Ann a Þ ac = 0 (по определению аннулятора).

k Î Ann b Þ bk = 0.

a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)×k = (a + b)×k ÎA.

Получили a ÎA, что и нужно было доказать.

Литература.

1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.