1. -10. Векторы a, b, c, d заданы координатами в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис в пространстве, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. a=(3; 2; 2),b=(2; 3; 1),c=(1; 1; 3),d=(5; 1; 11).

2. a=(1; 2; 3),b=(-2; 3; - 2),c=(3; - 4; - 5),d=(6; 20; 6).

3. a=(4; 2; 5),b=(-3; 5; 6),c=(2; - 3; - 2),d=(9; 4; 18).

4. a=(1; 2; 4),b=(1; - 1; 1),c=(2; 2; 4),d=(-1; - 4; - 2).

5. a=(2; 3; 3),b=(-1; 4; - 2),c=(-1; - 2; 4),d=(4; 11; 11).

6. a=(1; 8; 4),b=(1; 3; 1),c=(-1; - 6; - 3),d=(1; 2; 3).

7. a=(7; 4; 2),b=(-5; 0; 3),c=(0; 11; 4),d=(31; - 43; - 20).

8. a=(3; 2; 1),b=(4; - 1; 5),c=(2; - 3; 1),d=(8; - 4; 0).

9. a=(1; 3; 3),b=(-4; 1; - 5),c=(-2; 1; - 6),d=(-3; 5; - 9).

10. a=(1; 5; 3),b=(2; 1; - 1),c=(4; 2; 1),d=(31; 20; 9).

11. -20. Даны координаты точек A1, A2, A3, A4. Известно, что отрезки A1A2, A1A3, A1A4 являются смежными ребрами параллелепипеда. Требуется найти:

длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A3; 3) площадь грани, содержащей вершины A1,A2,A3; 4) объем параллелепипеда; 5) уравнение прямой, проходящей через вершину A1 вдоль диагонали параллелепипеда; 6) уравнение плоскости A1A2A3; 7) угол между ребром A1A4 и гранью, содержащей вершины A1,A2,A3; 8) расстояние от вершины A4 до плоскости A1,A2,A3. Сделать чертеж.

11. A1(0; 3; 2),A2(-1; 3; 6),A3(-2; 4; 2),A4(0; 5; 4).

12. A1(4; 2; 5),A2(0; 7; 2),A3(0; 2; 7),A4(1; 5; 0).

13. A1(-1; 2; 0),A2(-2; 2; 4),A3(-3; 3; 0),A4(-1; 4; 2).

14. A1(4; 4; 10),A2(4; 10; 2),A3(2; 8; 4),A4(9; 6; 4).

15. A1(2; 2; 3),A2(1; 2; 7),A3(0; 3; 3),A4(2; 4; 5).

16. A1(4; 6; 5),A2(6; 9; 4),A3(2; 10; 10), A4(7; 5; 9).

17. A1(0; - 1; 2),A2(-1; - 1; 6),A3(-2; 0; 2),A4(0; 1; 4).

18. A1(3; 5; 4),A2(8; 7; 4),A3(5; 10; 4),A4(4; 7; 8).

19. A1(3; 0; 2),A2(2; 0; 6),A3(1; 1; 2),A4(3; 2; 4).

20. A1(10; 6; 6),A2(-2; 8; 2),A3(6; 8; 9),A4(7; 10; 3).

21. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x+2y+1=0 и 2x+y-3=0. Центр параллелограмма находится в точке A(1; 2). Найти уравнения двух других сторон. Сделать чертеж.

22. Даны две вершины треугольника A(2; 1), B(4; 9) и точка пересечения высот N(3; 4). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

23. Даны две противоположные вершины квадрата A(1; 3) и C(-1; 1). Найти координаты двух его других вершин и составить уравнения сторон. Сделать чертеж.

24. Найти уравнения сторон треугольника, если заданы его вершина A(1; 3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0, y-1=0. Сделать чертеж.

25. Известны уравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0 и точка пересечения диагоналей N(-2; 0). Найти уравнения остальных ее сторон. Сделать чертеж.

26. Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 2x-y+8=0, x-2y-12=0. Точка N(4; 0) лежит на основании треугольника. Найти уравнение основания. Сделать чертеж.

27. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; - 7), а также уравнения высоты 3x+y+11=0 и медианы x+2y+7=0, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.

28. Точка A(5; - 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x-7y-8=0. Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата. Сделать чертеж.

29. Уравнение основания равнобедренного треугольника x+y-1=0, уравнение боковой стороны x-2y-2=0. Точка N(-2; 0) лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

30. Даны уравнения медиан треугольника 5x+4y=0 и 3x-y=0 и одна из его вершин A(-5; 2). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

31. Составить уравнение и построить окружность, проходящую через точки A(1; 2), B(0; - 1) и C(-3; 0).

32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(0; 1) в два раза меньше расстояния ее до прямой y-4=0.

33. Составить уравнение и построить линию, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(-3; 0) и B(3; 0) равна 50.

34. Составить уравнение и построить линию, расстояние от каждой точки которой до точки A(-1; 1) вдвое меньше расстояния до точки B(-4; 4).

35. Составить уравнение и построить линию, сумма расстояний от каждой точки которой до точек A(-2; 0) и B(2; 0) равна 2.

36. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки F(2; 2) и оси Ox.

37. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5: 4.

38. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки A(5; 0) относятся как 2: 1.

39. Составить уравнение и построить гиперболу, проходящую через точку N(9; 8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения y=±(2/3) x.

40. Составить уравнение и построить гиперболу, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса 5x2+8y2=40.

41. -50. Кривая задана уравнением в прямоугольной системе координат. Требуется: 1) найти уравнение кривой в полярной системе координат, полюс которой совмещен с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox; 2) построить кривую по точкам со значениями полярного угла φk=kπ/16.

41. (x2+y2) 2 = 2(x2-y2); 42. (x2+y2) 2 = 4xy;

43. (x2+y2) 2/4 = x2-y2; `44. (x2+y2) 2 = 8xy;

45. (x2+y2) 2 = 6(x2-y2); 46. (x2+y2) 2 = 2(y2-x2);

47. (x2+y2) 2 = - 4xy; 48. (x2+y2) 2 = 4(y2-x2);

49. (x2+y2) 2 = - 8xy; 50. (x2+y2) 2 = 12xy.

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

51. -60. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

51.52.

ì3x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 5, ì x1+2x2+ x3+6x4+ x5=4,

í2x1 - x2+3x3 = 4, í3x1 - x2 - x3+ x4+ =1,

î 5x2+6x3+ x4+ =11. î x1+3x2+5x3 =9.

53.54.

ì3x1 - x2+ x3+6x4+ x5=6, ì5x1+ x2+ x3+3x4+ x5=5,

í x1+ 5x3+ x4-7x5 =6, í - 2x2+4x3+ x4+ x5=3,

î x1+2x2+3x3+ x4+ x5 =6. î x1-3x2+5x3 =2.

55.56.

ì - x1+ x2+ x3+2x4+ x5=4, ì-2x1 - x2+2x3 =2,

í2x1 + x3 - 3x4+5x5=3, í x1+ x2+4x3+ x4+3x5=8,

î3x1 - x3+6x4+ x5=6. î3x1+ x2 - x3 =5.

57.58.

ì2x1+ x3 - x4+ x5=2, ì 6x1+ x2+ x3+ 2x4+ x5=9,

í4x1+ x2+ 3x3+ x4+2x5=7, í - x1 - x3+ 7x4+8x5=14,

î - x1+ x3+2x4+ x5=2. î x1+ 2x3+ x4+ x5=3.

59.60.

ì-2x1+ 3x3+ x4+ x5=5, ì2x1+ 3x3+ x4 =4,

í 3x1+ x2+ x3+6x4+2x5=9, í x1 - x3+2x4+3x5=4,

î - x1+ 2x3 - x4+2x5=3. î3x1+3x2+6x3+3x4+6x5=15.

61. -70. Для данной матрицы A построить обратную матрицу A-1. Правильность построения обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.

61. é3 2 1ù 62. é 1 - 5 3ù 63. é4 - 3 2ù

A= ê2 3 1 ê A= ê 2 4 1 ê A= ê2 5 - 3 ê

ë2 1 1û. ë-3 3 - 7û. ë5 6 - 2û.

64. é-2 5 - 6ù 65. é2 - 1 - 1ù 66. é3 - 9 8ù

A= ê 1 7 - 5 ê A= ê3 4 - 2 ê A= ê2 - 5 5 ê

ë 4 2 - 1û. ë3 - 2 4û. ë2 - 1 1û.

67. é1 1 - 1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 - 5 0ù

A= ê8 3 - 6 ê A= ê4 - 1 5 ê A= ê4 0 11ê

ë4 1 - 3û. ë1 - 2 4û. ë2 3 4û.

70. é1 7 - 2ù

A= ê3 5 1 ê

ë-2 5 - 5û.

71. -80. Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.

71. é-1 3 ù 72. é4 - 1ù 73. é-6 5ù 74. é-4 - 3 ù

ë2 0 û. ë-2 3û. ë 2 - 3û. ë-2 1 û

75. é-3 2 ù 76. é1 - 2ù 77. é 4 - 1ù 78. é-1 3ù

ë 5 - 6û. ë-3 - 4û. ë-2 5û. ë2 - 2û.

79. é 1 - 2 ù 80. é1 2ù

ë-3 6 û. ë3 2û.

81. -90. Дано комплексное число z. Требуется:

1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

найти все корни уравнения w3+z=0, изобразить эти корни на плоскости комплексной переменной.

_ _ _

81. z=8/(1+iÖ3).82. z=-Ö8/(1+i).83. z=Ö8/(1-i).

_ _ _

84. z=2/(1-iÖ3).85. z=-2/(-i+Ö3).86. z=1/(Ö3+i).

_ _ _

87. z= - 4/(1-iÖ3).88. z=-Ö8/(-i+1).89. z=Ö8/(1+i).

90. z=1/(Ö3-i).

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

91. -100. Построить график функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшей элементарной функции.

91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).

92. f(x) = 3cos(2x – 5).

________________

93. f(x) =Ö(4x2+7x –2) / (4x-1).

94. f(x) = 9x2 – 6x + 3.

95. f(x) = ln(x2 – 6x + 9).

96. f(x) = - 2sin(3x + 4).

97. f(x) =2x3 – 18x2 + 54x – 53.

98. f(x) =ln((x+1) - 2 / e2).

99. f(x) =

f(x) = (3x2 – 5x + 2) /(2x2 + x – 3).

101. -110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

_________ _

101. а) lim (Ö4x2 – x + 3 - 2x); б) lim (Öx – 1) – 1sin(1 – x);

x ® µ x ®1

в) lim (1 + x + x2) 1/x; г) lim (5x - 3x) /(7x – 4x).

x ® 0 x ® 0

102. а) lim (x2+2x–3) /(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3));

x® - 3 x ® µ

в) lim (1 – 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x – 2 ln(cos2x).

x ® 0 x ® 0

______ _______ _____

103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9));

x ® µ

б) lim sin2(x – 1) / (4x2 + 3x +2); в) lim ;

x ® µ x®¥

г) lim (e2x – 3ex + 2) /x.

x ® 0

__________ ______

104. а) lim (Öx2 + x + 1 - Öx2 - x); б) lim (1 – cos2x) /(x sinx);

x ® µ x ® 0

в) lim((2x2+3x+4) /(2x2+x+1)) –x/2; г) lim [ln(1 + 3lnx) / ln(1 + 4lnx)].

x ® µ x ®1

105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) /(1 + 4x3 – x5); б) lim x – 2sin2(x2 + 2x);

x® µ x ® 0

в) lim ; г) lim (esinx – ex) /x.

x ® 0 x ® 0

_______________

106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1); б) lim (cos 5x) /(sin 2x);

x ® µ x ® p/2

в) lim ((x2 + 7x + 8) /(x2 + 14x + 1)) – x/3; г) lim (e – ecosx ) /x.

x ® µ x ® 0

_____

107. а) lim (x2 - 5x + 6) /(x3 - 8x + 8); б) lim (1 - Ö1 – x) – 1 sinx;

x ® 2 x ® 0

_____

в) lim (x + Ö1 + x) 3/x; г) lim x – 1 ln(cosx + sinx).

x ® 0 x ® 0

108. а) lim (3x4 – 2x2 + 1) /(2x4 + 3x2 – 2);

x ® µ

б) lim (sinx – sin3x) /(sin6x – sin7x);

x ® 0

в) lim ; г) lim (ln cosx) /(cos3x – cosx).

x ® 0x ® 0

109. а) lim ; б) lim (cos8x – cos2x) /(cos6x – cos4x);

x®5/2x ® 0

______

в) lim (9 –2x) 1/(4 – x); г) lim ln(x + Öx2 + 1) /x.

x ® 4x ® 0

____________

110. а) lim (x - Öx + 2) /(Ö4x + 1 - 3); б) lim (sin2x– sinx) /(cos4x – cos2x);

x ® 2 x ® 0

в) lim ((2x + 1) /(3x +1)) 1/x; г) lim (ln(3 – 2tgx)) /cos2x.

x®0 x ® p/4

111. -120. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построить схематический график функции.

111. 112. 113.

114. 115.

æ (2x2 + 3) /5приxÎ( - ¥, 1] ;

116. í 6 – 5xприx Î (1, 3);

è x – 3приx Î [3, +¥).

117. arctg.118. x ctgx.

119. .120.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

121. -130. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.

y = tg2x.122. y = ln(3x + 1).123. y = cos(x2).

y = sin(x2 + 2x).125. y = ctg(3x - 2).126. y = Ö 2x2 + 1.

127. y = Ö 2 – cos3x.128. y = Ö 2 + sin2x.129. y = e2x.

y = (x + 1) /(x – 1).

131. -140. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

1) y = Ö4x4 + tgx; 2) y = x1/2 / sinx;

3) y = ctg5x / x3; 4) y = arctg(ex) + tg(arccos(ex)).

1) y = ln(tg(3x + 2)); 2) y = Ö 1 – x2 arcsinx;

3) y = xtgx; 4) y = (x2 – 1) /(x2 + 1).

1) y = arccos(x2) + arcctg(x2); 2) xy = cos(x – y);

3) y = log2(2x + 1); 4) y = Ö1 – x2 / Ö1 + x2.

1) y = (2 - 5x) / Ö2 – 5x + x2; 2) y = ex – y;

3) y = 2 lnx – x; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.

1) y = (arcsinx) 1 – x; 2) y = cos2 x + tg2x;

3) x3 + y3 – 3xy = 3; 4) x = t – sin2t, y = 1 – cos 2t.

1) y = sin2x/(1 + sin2x); 2) y = 3arctgx + (arctgx) 3,

3) y = (1 + x2) 1 + 2x; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.

1) y = 3 –3x + (3x) –3; 2) y = (x – 1) log5(x2 – 1),

3) y = (x2 + 1) x; 4) y = tg(x2/y2).

1) y = ln(lg(log2x)); 2) y = (x2 + x + 1) /(x2 + 1);

3) y = (x + 1) x; 4) ex + y = x – y.

1) y = (x2 + 1) 3 – (x2 – 1) 3; 2) y = (ln5x) /(x4 – 1);

3) y = (tgx) ctgx; 4) x = t ctg(t2), y = t cos2(t2).

1) y = ln(x + Öx2 + 1); 2) y = x –sin2x;

3) y = 2/(x –1) + 1/(x2 – 1); 4) sin(x + y) + cos(x2 + y2) = 1.

141. -160. Построить график функции, используя общую схему исследования функции.

141. y = (x2 + 2x + 2) /(2 + x2) .142. y = (4 + x2) /(9 – x2).

143. y = (2 + 3x2) /(1 + x2).144. y = (x3 + 2x2 + 2) /(x2 + 1).

145. y = (x2 + 3x + 5) /(x – 1).146. y = (3x3 – 2) /x.

147. y = (2x2 +3x + 1) /(x – 2).148. y = x3/(x3 + 1).

149. y = (3 – 9x2) /(1 – 9x2).150. y = (x3 + 8) /(x3 – 8).

151. y = x e 2x – 1.152. y = ln(x2 – 9).

153. y = (1 + x2) exp(-x2).154. y = lg(4 + x2).

155. y = exp(2/(1 – x)) .156. y = ln(16 – x2).

157. y = x2 + 1 + 2lnx.158. y = exp(1 + 4x – 2x2).

159. y = (2 + x) exp( - 4 - 4x - x2)).160. y = (1 – x) - 0.5 lg(1 – x).

161. -170. Составить уравнение касательной и нормали:

к графику кривой y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x0;

к графику кривой x = x(t), y = y(t) в точке, для которой параметр t равен t0.

Построить графики кривых, касательных и нормалей. Для каждой кривой найти кривизну в указанных точках.

161.1) y = -Ö(9 – x2) /3, x0 = - 3/2; 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = - p/3.

162.1) y = Ö4 – 8x2, x0 = - 1/2; 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p/4.

163.1) y = Ö16 – 4x2, x0 = 1; 2) x = -2 sint, y = - 4 cost, t0 = 5p/6.

164.1) y = -Ö8 – 3x2, x0 = -Ö 2; 2) x = 2Ö 2/3 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = - p/6.

165.1) y = -Ö25 – 5x2, x0 = -0.5Ö 5; 2) x = -Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 = 7p/6.

166.1) y = Ö(4 – x2) /2, x0 = Ö 2; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 = -p/4.

167.1) y = Ö8 – 4x2, x0 = -1; 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p/4

168.1) y = Ö(7 – x2) /2, x0 = -0.5Ö 7; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7/2 sint, t0 = p/3.

169.1) y = -Ö2(4 – x2), x0 = -1; 2) x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p/6.

170.1) y = -Ö4 – 8x2, x0 = -1/2; 2) x = 1/Ö 2 cost, y = 2 sint, t0 = 5p/4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

171. -180. Даны функция u = f(x,y,z) и точки A(x0; y0; z0) и B(x1; y1; z1). Требуется:

вычислить значение u1 функции в точке В;

вычислить приближенное значение u1 функции в точке В, исходя из значения u0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;

составить уравнение касательной плоскости к поверхности f(x,y,z) =C в точке А.

171. u = x2 + xyz + z2,A(1; 2; 1),B(1.05; 1.95; 0.96),C = 4.

172. u = x2z – xy + z2,A(1; 3; - 1),B(0.95; 3.08; - 0.96),C = - 3.

173. u = x2 + 2xz + y2z,A(4; 1; 0),B(4.1; 1.04; - 0.1),C = 16.

174. u = z2 – y2 + x + y + z,A(-2; 3; 1),B(-2.1; 3.1.1.05),C = - 6.

175. u = xy + yz + xz,A(2; 1; 2),B(1.96; 0.95; 2.1),C = 8.

176. u = x2 +y2 + z2 +x – z,A(1; - 1; 1),B(1.04; - 1.02; 0.95),C = 3.

177. u = 4 – xy2 +yz,A(-2; 1; 3),B(-2.1; 1.04; 3.1),C = 9.

178. u = x(y + z) – z2,A(-1; 2; 1),B(-0.95; 2.1; 0.95),C = - 4.

179. u = x2 – y2 + z2 + yz,A(1; 1; - 1),B(1.08; 0.92; - 1.08),C = 0.

180. u = 2x – z + 2y2 + xz,A(4; - 1; 1),B(3.95; - 1.05; 1.05),C = 13.

181. -190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = f(x; y) в области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.

181. f(x; y) = x2 + 2y2 – 5xy,x ³ - 1,y ³ - 1,x + y £ 1.

182. f(x; y) = x2 – 3y2 + 6xy + 4,|x| + |y| £ 1.

183. f(x; y) = x2 + 2xy +3y + 4,y £ 5 - x2,y ³ 1.

184. f(x; y) = x2 + 2y2 – 2x – 4y + 5,1 £ |x + y| £ 2,x ³ 0, y ³ 0.

185. f(x; y) = 2y2 + 6xy – 13x +2,x ³ y2 + 1,y ³ (x – 1) /2.

186. f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 10x + 13y + 1,x ³ 2,y £ - 3,y ³ x – 6.

187. f(x; y) = x2 + 3y2 + xy – 2x – y + 4,|x - 1| + |y| £ 1.

188. f(x; y) = 2x2 + 2xy – 3y + 5,0 £ y £ x2,|x| £ 1.

189. f(x; y) = 3x2 + 2y2 – 12x + 4y + 7,2 £ x – y £ 4,x ³ 0, y £ 0.

190. f(x; y) = y2 + 2xy + 3x + 11,-3 £ x £ - y2 + 1.

191. -200. Дано скалярное поле u = u(x,y). Требуется:

1) составить уравнение линии уровня u = C и построить эту линию; __

2) в точке А найти градиент и производную по направлению вектора АВ;

3) в точке А построить касательную и нормаль к линии уровня, получив их уравнения.

191. u = x2 + 4y2 + 4x + 4y,C = 13,A(1, - 2),B(2, 4).

192. u = x2 + 9y2 + 2x - 6y,C = 2,A(-1, 1),B(0, 4).

193. u = 4x2 + y2 + 4x - 4y,C = 36,A(2, - 2),B(1, 1).

194. u = 9x2 + y2 - 6x - 2y,C = 6,A(1, 3),B(3, 0).

195. u = x2 + 4y2 + 2x - 8y,C = 20,A(2, 3),B(1, 4).

196. u = 25x2 + y2 + 10x + 2y, C = 14,A(-1, - 1),B(2, 4).

197. u = 4x2 + 9y2 - 4x - 12y, C = 8,A(2, 0),B(-1, - 1).

198. u = 9x2 + 4y2 - 12x - 4y, C = 8,A(0, 2),B(2, 5).

199. u = x2 + 25y2 - 2x + 20y, C = 165,A(2, - 3),B(2, 1).

200. u = x2 + 4y2 + 2x - 4y,C = 35,A(5, 1),B(5, 4).

201. -210. Значения функции, полученные экспериментально, приведены в таблице. Методом наименьших квадратов найти наилучшую линейную аппроксимацию экспериментальной зависимости. На плоскости (x, y) построить полученную прямую и точки, заданные табл.1.

Таблица 1

201.	x	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
201.	y	- 2.0	- 0.5	- 0.5	1.0	1.5	2.4	3.2	4.0
202.	x	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
202.	y	6.0	4.5	4.5	2.8	1.0	-0.5	-1.5	-2.8
203.	x	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0
203.	y	- 5.0	- 4.0	-2.5	-2.5	-1.0	- 0.5	1.2	2.0
204.	x	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0
204.	y	6.5	5.2	3.5	3.5	1.6	0.2	- 1.5	- 2.5
205.	x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
205.	y	- 0.2	0	0	0.1	0.15	0.25	0.3	0.4
206.	x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
206.	y	0.6	0.45	0.4	0.3	0.1	- 0.1	- 0.2	- 0.3
207.	x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
207.	y	- 0.5	- 0.4	- 0.25	- 0.25	- 0.1	0	0.1	0.2
208.	x	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0
208.	y	2.0	3.0	6.5	7.5	10	12.5	13.5	16.5
209.	x	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
209.	y	2.0	0.5	0.5	-1.5	-1.5	-3.0	-4.2	-5.2
210.	x	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
210.	y	- 4.0	-2.5	- 2.5	- 1.0	0.5	0.5	2.2	3.0

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

211. -220. Найти неопределенные интегралы.

211. а) ò exp( - 8x3) x2 dx; б) ò x tg2x dx; в) ò (6x3 –7x2 – 3x) – 1 dx.

212. а) ò tg(5x + 3) dx; б) ò ln(x2 + 1) dx; в) ò (x3 – 1) (4x3 – x) – 1 dx.

213. а) ò ctg(2x–3) dx; б) ò ln2x dx; в) ò x2(x3+5x2+ 8x + 4) – 1dx.

214. а) ò x – 1cos2(1 + lnx) dx; б) ò arcsin2x dx; в) ò (x3 + 1) (x3 – x2) – 1 dx.

215. а) ò cos4x sin2x dx; б) ò x2arctgx dx; в) ò (x2 + 1) (x3+x2–x–1) –1dx.

____

216. а) ò 2x /Ö1 –4x dx; б) ò x – 2 ln 3x dx; в) ò (x4+1) (x3–x2+x–1) – 1 dx.

217. а) ò x (3x + 2) – 1 dx; б) ò (1 – x) – 1/2arcsinÖx dx; в) ò x (x3 – 3x + 2) - 1dx.

218. а) ò ex(e2x + 4) – 1 dx; б) ò x ln((1 + x) (1 – x) – 1) dx; в) ò x (x3 - 1) - 1dx.

219. a) òe – x(e2x–1) dx; б) ò x-5/2 ln2x dx; в) ò 32x/((2x–1) (4x2 – 16x + 15)) dx

220. а) ò (3x – 1) (x2 + 9) – 1 dx; б) ò eÖx dx; в) ò x2/(x3 + x2 + x + 1) dx.

221. -230. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

µ11

221. ò (x2 + 2x + 2) – 1 dx.222. ò x - 2 (1 – x2) - 5/3 dx.223. ò x lnx dx.

- µ00

µµ

224. ò x sinx dx.225. ò x – 2 (x + 1) – 1 dx.

1 _µ1

226. ò(√x – 1) – 1 dx.227. ò x3 exp( - x2) dx.228. ò(ex – cosx) –1 dx

000

µ1

229. ò x (x + 1) – 3 dx.230. ò x – 3/2 (1 –x) – 3/4 dx.

231. -240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых даны.

231. y = 1/(1 + x2), y = x2/2.232. y = x2,y = x3/3.

233. y = ex, y = e – x, x = 1.234. y2 = 2x + 1, x – y – 1 = 0.

235. y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48.236. y = x(x – 1) 2, y = 0.

237. (y – x – 2) 2 = 9x, x = 0, y = 0.238. y = (x2 + 2x) e – x, y = 0.

239. x = y2(y – 1), x = 0.240. y = x – x5/2, y = 0.

241. -250. Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.

241. y = x2/4 – 0,5lnx,1 £ x £ 2.

242. x = 5(t – sint), y = 5(1 – cost),0 £ t £ p.

243. r = Ö2ej, - p/2 £ j £ p/2.244. y = - ln cosx,0£x£p/6.

245. x = 3(2cost – cos2t),y = 3(2sint – sin2t),0 £ t £ 2p.

246. r = 1 - sinj, - p/2 £ j £ - p/6.247. y = ln(x2 – 1),2 £ x £ 3.

248. x = 4(cost + t sint),y = 4(sint – t cost),0 £ t £ 2p.

249. r = 8cosj,0 £ j £ p/4.250. y = (e2x+e-2x+3) /4,0 £ x £ 2.

Дифференциальные уравнения

251. -260. Найти общее решение дифференциального уравнения.

251. xy'-2y=x3ex.252. (x+1) y'-2y=(x+1) 4.

253. x2y'+2xy=cosx.254. xy'+y=x+1.

255. y'cosx - ysinx=4x3.256. y'-ycosx= exp(sinx).

257. x2 y'+2xy=1.258. y'+2xy=2x exp(-x2).

259.2xy'-y=2x3/2cosx.260. y'+ytgx=2xcosx.

261. -270. Найти общее решение дифференциального уравнения.

261. y"y3=1.262. y"'=(y") 3.

263. y" (x-1) - y'=x(x-1) 2.264. (1+x2) y"+1+(y') 2=0.

265. yy"+(y') 2=0.266. xy"=y'ln(y'/x).

267. (1-x2) y"=xy'.268. y"x+y'=x2.

269. xy"'+y"=1+x.270. y"=-(x/y').

271. -280. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

271. y"-9y=e-2x; y(0) =0,y'(0) =0.

272. y"-4y=x-1; y(0) =0,y'(0) =0.

273. y"+2y'+y=cosx; y(0) =0,y'(0) =0.

274. y"+3y'+2y=1+x+x2; y(0) =0,y'(0) =1.

275. y"+2y'+5y=13e2x; y(0) =1,y'(0) =4.

276. y"+2y'-8y=16x+4; y(0) =2,y'(0) =6.

277. y"+4y'-12y=8sin2x; y(0) =0,y'(0) =0.

278. y"-4y'+13y=26x+5; y(0) =1,y'(0) =0.

279. y"+y=cos3x; y(p/2) =4,y'(p/2) =1.

280. y"-4y'+3y=e5x; y(0) =3,y'(0) =9.

281. -290. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

281. x1'+x1-3x2=0, x2'-2x1=0.282. x1'-4x1+x2=0, x2'+2x1-5x2=0.

283. x1'-x1+2x2=0, x2'+3x1-6x2=0.284. x1'+5x1+4x2=0, x2'+2x1+3x2=0.

285. x1'-6x1-3x2=0, x2'+8x1+5x2=0.286. x1'-3x1+2x2=0, x2'-2x1-8x2=0.

287. x1'+5x1+8x2=0, x1'+3x1+3x2=0.288. x1'-x1+x2=0, x2'-x1-x2=0.

289. x1'+4x1-x2=0, x2'+2x1+x2=0.290. x1'+x2=0, x2'-2x1-2x2=0.

Найти интегральную кривую уравнения y"-k2y=0 (k¹0), которая касается прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

Тело массой m падает с высоты h под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости с коэффициентом k. Начальная скорость тела равна нулю. Найти закон движения тела.

Тело массой m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость V0. На тело действует сила трения, равная –km. Найти расстояние, которое тело пройдет до полной остановки.

Найти интегральную кривую уравнения y"+k2y=0 (k¹0), касающуюся прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

Найти уравнение кривой, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Кривая проходит через точку (2; 1).

Материальная точка массы m перемещается по прямой под влиянием внешней силы F=Asinwt и восстанавливающей силы, которая направлена к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональна расстоянию точки от начала отсчета с коэффициентом k=4mω2. Сопротивление среды отсутствует. Определить закон движения материальной точки, если при t=0 она находилась в начале отсчета с нулевой скоростью.

Найти уравнение кривой, подкасательная которой имеет постоянную длину a. Кривая проходит через точку (a; e).

Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), если отрезок касательной к кривой, заключенный между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy.

Найти уравнение кривой, у которой сумма координат точки касания равна удвоенной подкасательной. Кривая проходит через точку (1; 1).

Найти интегральную кривую уравнения y¢sinx=ylny, проходящую через точку (p/2; 1).