Используя термин «функция», естественнее всего, казалось бы, вкладывать в него тот смысл, который вытекает из наиболее строгого, математического определения понятия функции. Однако практически это сделать не так-то просто, поскольку и у самих математиков и в определениях понятия функции, и особенно в использовании самого термина, нет должного согласия, что ставит представителей конкретных наук, в частности, лингвистов, в сложное положение. Одна из главных причин этого – чрезвычайно высокий уровень универсальности и, следовательно, абстрактности понятия функции в математике, что затрудняет переход к понятиям и представлениям конкретной науки. Но поскольку нас интересуют методы исследования функционирующих систем, то было бы соблазнительно найти основания и границы соотнесения понятия функции системы с математическим понятием функции и определить, может ли математическое понятие иметь в числе своих интерпретаций понятие функции системы.

Начнем с осмысления уже рассматривавшихся понятий.

Что значит быть функциональным объектом? Это, прежде всего, осуществлять функцию, т.е. в конечном счете производить некоторые действия, процедуры, которые приводят к результатам, соответствующим запросам надсистемы. Но, по-видимому, чтобы осуществлять функцию, нужно ее иметь, т.е. иметь такие свойства, рефлексы или знания, которые делают неизбежными названные действия и процедуры и их результаты, как только возникает необходимость для надсистемы. Эту необходимость может определять либо надсистема, и в этом случае она с помощью специальных воздействий на функциональный объект должна запускать его действия, либо он сам должен реагировать на состояния среды, и когда эти состояния таковы, что для надсистемы нужны действия функционального объекта и соответствующие результаты, он должен начать функционировать.

Обобщая, можно сказать, что иметь функцию – это иметь способность воспринимать определенные воздействия среды или надсистемы и в ответ выдавать вполне определенные нужные для надсистемы результаты своих действий, т.е. фактически быть причиной превращения определенных воздействий в определенные требуемые результаты. Такие воздействия можно рассматривать как условия, а результаты – как следствия, и тогда функционирующий объект – это воплощение действенной причины превращения определенных условий в определенные следствия, необходимые для надсистемы при данных условиях.

Условимся для краткости функциональный объект и, следовательно, любую систему называть также функтором, результирующее целостное следствие функционирования функтора – простым следствием, то целостное условие, которое вызвало реакцию функтора в виде простого следствия, – простым условием, а все процессы в функторе, от момента появления воздействующего на функтор простого условия до момента возникновения простого следствия – простым функциональным актом.

В зависимости от того, наличие скольких простых условий необходимо для осуществления одного простого функционального акта, например, одного, двух или вообще конечного (финитного) числа простых условий, будем называть простой функциональный акт унарным, бинарным или финитарным.

В простейшем случае функтор может быть примитивным, если под примитивностью понимать способность функтора производить единственным образом одно и то же простое следствие при определенных, повторяющихся условиях. При этом, в зависимости от числа простых условий, необходимых для осуществления простого функционального акта, функтор может быть унарным, бинарным и вообще финитарным.

Если же рассмотреть непримитивный (для начала унарный) функтор, то его функционирование обеспечивает связь некоторых (в частности – любого) из перечня простых условий с некоторым вполне определенным простым следствием из перечня простых следствий данного функтора, так что образуется сеть, структура переходов от перечня простых условий к перечню простых следствий. Именно эта сеть переходов имеет прямое отношение к математическому понятию функции.

2. Подведение понятия функции системы под математическое понятие функции

По-видимому, если мы имеем в виду унарный непримитивный функциональный объект (функтор), о котором мы можем сказать, что он «функционирует нормально», то в числе обязательных показателей нормальности мы будем иметь в виду и тот факт, что функтор всегда «знает, что делать», т.е. при любом простом условии он обеспечивает появление единственного, вполне определенного для данного условия, следствия. В этом случае, поскольку обеспечение связи каждого следствия с определенным условием – это функция «нормального» примитивного функтора, унарный «нормальный» непримитивный функтор представляет собой особое сочетание ряда примитивных: это совокупность переходов от элементарных условий к элементарным следствиям, образующая такую схему, такую структуру, при которой исключены случаи, когда некоторому простому условию соответствует неединственное простое следствие (хотя отсутствие следствия не запрещено).

Теперь легко убедиться, что такая схема переходов от простых условий к простым следствиям унарного непримитивного функтора полностью соответствует математическому определению унарной функции как структуры отображения элементов одного множества – элементов области отправления – на элементы другого множества – элементы области прибытия, – при котором через структуру перехода из любого элемента области отправления можно попасть не более чем в один элемент области прибытия (или не попасть вообще, если данный элемент области отправления не связан ни с одним элементом области прибытия) Определение математического понятия функции смотри, например, в работе

Основываясь на этом параллелизме, мы можем теперь заключить, что перечень простых условий непримитивного унарного функтора соответствует перечню значений единственной независимой переменной (аргумента) функции в математике, перечень простых следствий функтора – это перечень значений зависимой переменной функции в математике, а вопрос о том, какая это функция, что за функция (многие из них в математике, как известно, детально изучены и имеют специальные названия), решается на основании определения особенностей структуры переходов от простых условий к простым следствиям в процессе осуществления функтором его функции в надсистеме.

Естественно, что если примитивные функции, составляющие непримитивную, не унарны, а, например, бинарны, то и результирующая непримитивная функция будет бинарной функцией, или функцией двух аргументов.

При рассмотрения функционирования некоторых систем может обнаружится, что система сначала переводит исходные условия в определенные следствия, а потом использует эти следствия как условия для перевода их в новые следствия. Эта ситуация также имеет точный математический аналог. Если значения зависимой переменной некоторой функции становятся значениями аргументов другой функции, то о такой двухзвенной функции говорят как о произведении двух функций. Следовательно, и в функторе возможно осуществление произведения функций, двух и большего их числа.

Поскольку функтор выступает как причина превращения совокупности простых условий в совокупность простых следствий, то в тех случаях, когда на определенном этапе исследования важно только констатировать природу связи между этими двумя совокупностями, можно всю совокупность рассматривать как простую причину или простое следствие, т.е. рассматривать как единицы более высокого уровня. Из набора таких единиц снова может быть образован непримитивный функтор, и сеть переходов между его условиями и следствиями снова соотносима с математической функцией. Следовательно, можно говорить о многоуровневой организации функторов, при которой параллелизм характеристик функтора с математическим понятием функции не утрачивает силы.

Теперь нужно побеспокоиться о том, чтобы уточнить допустимые пределы рассматриваемого параллелизма, во избежание как недооценки, так и преувеличения возможностей использования математических методов в науке вообще и в лингвистике – в частности. Для этого нам нужно более детально обсудить, какой смысл вкладывается в термин «свойство».

3. Соотношение структурных и качественных свойств функционирующего объекта

функция математический детерминанта системология

Когда речь идет о свойствах объекта, то свойство в широком понимании слова – это все то, что свойственно объекту. К числу свойств тогда нужно отнести, например, структуру как схему взаимного расположения компонентов объекта и вообще все, что относится к его форме. При таком понимании свойств нет необходимости разграничивать категории структуры и формы. Однако ясно, что свойства объекта особенностями структуры, или формы, не исчерпываются. Среди них бывает важно рассматривать и то, что называют качествами объекта и его компонентов.

Поэтому когда мы говорим, что функциональная система, функтор, воздействует определенным образом на простое условие и, изменяя его свойства, превращает в простое следствие, то мы всегда должны отдавать себе ясный отчет в том, каким конкретным структурным и качественным изменениям подвергается каждое простое условие при переходе его в следствие. В связи с этим необходимо обратить внимание на следующее.

Каким бы ни было преобразование простого условия и вообще реального объекта, это преобразование всегда является поверхностным в том смысле, что на некотором уровне глубины объекта его элементы остаются носителями практически неизменных качеств, а изменение качественных свойств на наблюдаемом уровне вытекает из переструктуризации, изменения взаимоотношений между глубинными элементами с присущими им инвариантными качественными свойствами. Например, качественные свойства веществ зависят от структур молекул, но различие молекул зависит от того, какие качественные характеристики имеют узловые элементы этих структур, т.е. атомы.

Итак, еще раз подчеркнем, что мы вправе не только в структурных, но еще и в качественных преобразованиях видеть следствия изменения структуры, формы, и поэтому в общем случае исходить из того, что функтор, навязывая простому условию определенные свойства, выступает как «формирователь», «навязыватель» формы (структуры) составным частям – элементам этих простых условий.

Однако ясно и то, что, сведя и структурные, и качественные изменения свойств объектов или простых условий к изменениям лишь формы, мы не избавились от необходимости держать в поле зрения качественные характеристики этих простых условий.

Так как речь идет об изменениях структуры отношений или связей между элементами простых условий, то это значит, что сами элементы имеют качественную определенность, т.е. не лишены вполне определенных качественных свойств. И чтобы навязать элементам с определенными качественными свойствами новую структуру их взаимосвязей, нужно подвергнуть связи между соответствующими элементами элементарным воздействиям, также вполне определенного качества, иначе не удастся достичь того, чтобы элементы подчинились навязываемой им схеме взаимного размещения.

Если взять для простоты примитивный унарный функтор, т.е. функтор, который преобразует единственный вид условий в определенное следствие, то для его функционирования необходимо: а) воздействовать лишь на такое простое условие, элементы которого обладают вполне определенными качественными свойствами; б) подвергать эти элементы элементарным воздействиям также вполне определенного качества; в) задавать с помощью элементарных воздействий вполне определенную структуру (форму) перестройки связей и отношений между элементами простого условия, гарантируя при этом невозможность иных структур перестройки, несмотря на то, что потенциально и даже иногда интенциально они вытекают из свойств элементов.

Если функтор – не примитивный и поэтому должен реагировать на несколько различных простых условий, то в каждом из них он должен обнаруживать отличительные свойства. Либо эти различия чисто структурные, если простые условия состоят из тождественных элементов, и тогда качества элементарных воздействий функтора для всех простых условий будут одинаковыми; либо различие простых условий функтор воспринимает как качественные, и тогда качественно различными окажутся элементы простых условий и, следовательно, для элементов каждого качества потребуются элементарные воздействия, также качественно различающиеся. Но при сравнении с унарным примитивным функтором особенности непримитивного функтора непринципиальны: возникает потребность добавить в непримитивный функтор либо индикаторы качеств элементов простых условий, либо для каждого из простых условий, при тех же индикаторах качества элементов, в функтор добавляется индикация структуры между элементами, но во всех случаях сохраняется необходимость задавать определенную структуру элементарных воздействий для перестройки связей и отношений между элементами. Если при этом качественно различающиеся простые условия вообще не разлагаются на элементы, то эта структура вырождается в сеть из унарных примитивных функциональных актов – в сеть переходов от перечня простых условий к перечню простых следствий.

Следовательно, эта сеть переходов от условий к следствиям (либо непосредственно от перечня простых условий к перечню простых следствий, либо более детальная, от элементов простых условий к элементам простых следствий) оказывается непременной структурной характеристикой функции любого функтора. Но специфика этой структуры только тогда действительно может входить в число причин преобразования исходных условий в конечные конкретные следствия, когда она имеет отношение к элементарным воздействиям вполне определенного качества, направленным на простые условия тоже лишь вполне определенного качества, согласованного с качеством воздействий. И если только оба эти согласованных качества остаются неизменными, свойства результирующего следствия оказываются зависящими от особенностей структурной характеристики функции функтора, так что может сложиться впечатление, что лишь эта специфическая структура и есть функция функтора.

4. Отличия функции системы от математической функции

После сделанных уточнений мы еще с большим основанием имеем право считать, что функтор, будучи глубоко адаптированной функционирующей системой, может рассматриваться как преобразователь материала в субстанцию путем навязывания материалу вполне определенной формы, ибо, как мы видели, даже качественные преобразования материала сводимы к структурным, если качества элементарных воздействий функтора на элементы материала согласованы нужным образом с качеством этих элементов.

Теперь, для уточнения глубины параллелизма между функцией системы и математическим понятием функции, определим, правомерно ли рассматривать аргументы как аналоги материала, результирующие значения зависимой переменной – как аналоги субстанции, а функцию в математическом смысле – как аналог формы, навязываемой материалу.

Принципиально ничто не может выступать в роли материала, если оно не наделено качественными свойствами, и элементарное воздействие возможно лишь при качественной специализации функтора на материал данного качества. Только при соблюдении этих требований свойства субстанции можно варьировать изменением одной лишь формы как схемы переходов от позиций в структуре материала к позициям в структуре субстанции, причем эти свойства субстанции также будут распадаться на качественные и структурные.

Теперь представим, что вместо рассмотрения реального функтора мы хотим ограничиться рассмотрением только соответствующей ему математической функции.

Чтобы оценить результаты такого сопоставления, остановимся прежде всего на способах сообщения, перечисления, выражения свойств объектов.

Любое свойство может быть выражено, названо средствами естественного языка или обозначено условным знаком. Однако обратим внимание на то, что для качественных свойств этот способ выражения является единственным, тогда как структурные свойства, форма объектов, т.е. структура соотношений между компонентами этих объектов, может быть не только названа или условно обозначена, но и отражена в структуре отношений между названиями или знаками этих компонентов. Иными словами, качественные свойства и их изменения должны промысливаться исследователем при обращении к описанию ситуации преобразования материала в субстанцию, тогда как структурные свойства объекта можно, если это необходимо, превращать в наблюдаемые структурные свойства самого описания, и тот, кто потом знакомится с описанием, получит сведения о структурных свойствах не по названиям, а непосредственно из анализа структурных свойств описания как самостоятельного объекта.

Поскольку структура как математическая функция – это схема переходов от элементов одной совокупности к элементам другой совокупности, то нетрудно добиться полного тождества между этой функциональной структурой и структурой переходов от перечня простых условий функтора к перечню простых следствий или же от элементов условий к элементам следствий, причем это тождество может быть не только названным или условно обозначенным, но и буквальным, например, тождеством сети переходов, представленных в пространстве.

Но эта структура математической функции, тождественная структуре переходов в реальном функторе, оказывается отражением, выражением лишь структурной характеристики функции. Функция функтора как причина приобретения материалом новой формы не исчерпывается структурной характеристикой, и поэтому математическая функция не может быть отождествлена с функцией функтора.

Однако и в самой математической функции эту структуру перехода не удается истолковать как ту форму, которая навязывается значениям аргументов как элементам материала для превращения их в конечную субстанцию в виде значений зависимой переменной. Ведь у каждой линии в схеме перехода от значений аргумента к результирующим значениям зависимой переменной нет и не может быть качественных свойств, согласованных с качественными свойствами аргументных элементов, ибо последние тоже не могут в математической функции иметь каких-либо качественных свойств.

Элементы функции – это просто «места входов» в стрелках, обозначающих переходы, а переходы – тоже не преобразования, а лишь нечто, о чем утверждается, что оно имеет свойство направленности, и не более. Значение зависимой переменной – это констатация того факта, что стрелка переходов имеет определенный пункт окончания.

Если теперь соотнести математическую функцию с реальным функтором и словесно или символически выразить, каковы качественные свойства начальных пунктов перехода и какова качественная природа самого перехода, то мы получим не математическую функцию, а одну из бесконечного числа возможных ее интерпретаций. Интерпретированная функция становится описанием соответствующего функтора, но как математическое понятие она не приобретает способности быть, например, преобразователем того, что попадает на ее вход; представления о различии материала и субстанции, о навязывании материалу формы для превращения его в субстанцию, о переходе как процессе превращения и вообще как о каком-либо процессе – все это чуждо функции как математическому понятию, ибо все названные характеристики появляются только при определенной интерпретации функции, они лишь называются и примысливаются «входам», «выходам» и «переходам» математической функции и при иной интерпретации могут не иметь ничего общего с представлениями о данной функционирующей системе. Математическая функция остается мертвым скелетом, схема которого изоморфна, подобна схемам взаимосвязи и взаимодействий не одного, а целого класса функторов, которые выступают либо как отражение надстроечных компонентов некоторых реальных систем, либо интересуют нас как абстрактные образы. Поэтому одна и та же математическая функция помогает нам зафиксировать как «динамические» характеристики описываемого математически объекта, если отражаемая функцией схема ставится в соответствии с направлениями перемещений, потоков или сил, характерных для этого объекта, так и «статические», если мы соотносим ее со схемой «перемычек» между элементами моделируемого объекта или со схемой «каналов», по которым в объекте протекают потоки взаимодействий. Ранее мы уже отмечали, что надстроечные компоненты системы, будучи выразителями структурных (валентностных и позиционных) характеристик базовых компонентов, не исчерпывают сведений даже о структурных возможностях базовых компонентов, так как отражают лишь регулярно проявляющиеся, экстенциальные взаимодействия, не давая никаких представлений об интенциальных и, тем более, потенциальных валентностях и структурах, присущих базовым компонентам как материальным единицам. Таким образом, надстроечные компоненты системы, даже если они представляют собой реальную ступень ее устройства, констатируя реализованные структуры, не могут прогнозировать основной массы структурных потенций системы. Если же эти надстроечные компоненты отражены лишь в математических функциях, то возможности такого прогноза еще более сужаются, хотя существенно облегчается процесс выведения тех свойств, которые основаны на формальной математической комбинаторике.

Поскольку мы уточнили отношение между функцией как математическим понятием и функцией как ролью системы в надсистеме, то, используя термин «функциональный», например, функциональный подход, функциональное описание, будем, если необходимо, добавлять уточняющее определение: формально-функциональный и системно-функциональный.

5. Фазы становления системы, текущая и предельная внутренняя детерминанта

Если при наличии внешней детерминанты, характеризующей, как уже отмечалось, прежде всего запрос надсистемы на определенный вид функционирования системы в этой надсистеме, а также при наличии определенных резервов материала, система прошла этап своего становления, т.е. сложилась и функционирует, то это значит, что она глубоко адаптирована для выполнения своей функции, представляет собой объект с высокой степенью системности. Следовательно, определяющее функциональное ее свойство, т.е. внутренняя детерминанта, сформировалась именно настолько, насколько это нужно для эффективного функционирования системы, и данный функциональный уровень детерминанты надежно поддерживается частными детерминантами подсистем и прочих компонентов системы, вплоть до ее элементов.

Естественно, что система, находящаяся в конечной фазе своего становления, когда дальнейшие ее перестройки практически ничего не могут дать для повышения эффективности функционирования в надсистеме, – это не то же самое, что система в предшествующих фазах становления, когда исходный материал требовал последовательных существенных модификаций для придания ему тех качеств, которые необходимы для приведения его в соответствие с выполняемой им функцией в системе, т.е. для превращения его из начального материала в сложившуюся субстанцию адаптируемой системы. Следовательно, и внутренняя детерминанта в начальных фазах становления системы еще не представляет собой такой степени проявленности и закрепленности, какая присуща ей на фазе более или менее окончательной адаптированности системы к выполнению ею функции в надсистеме при данном материале и внешней детерминанте. Поэтому, говоря о внутренней детерминанте системы, рассматриваемой в любой конкретный текущий момент времени, мы должны во многих случаях учитывать фазовые характеристики текущей внутренней детерминанты и, соответственно, текущего состояния самой системы. Система на конечной фазе своего становления, т.е. на фазе практически предельного по глубине адаптирования, имеет текущую внутреннюю детерминанту, а та же система, но еще находящаяся в состоянии становления, не достигшая конечной фазы и, следовательно, еще переживающая внутренние перестройки, делающие ее функционально более эффективной, имеет непредельную текущую внутреннюю детерминанту.

Для системного рассмотрения объекта очень важен при этом следующий момент: система, имеющая непредельную текущую внутреннюю детерминанту, должна, тем не менее, характеризоваться и предельной внутренней детерминантой, но эта предельная детерминанта уже не может быть в этом случае текущей. Она является тем главным функциональным свойством, которое в будущем неминуемо разовьется в системе на конечной фазе ее становления, если внешняя ее детерминанта и резервы материала останутся неизменными. Следовательно, ученый, рассматривающий интересующий его объект с системных позиций, способен предугадать по непредельной текущей внутренней детерминанте и предельную внутреннюю детерминанту системы и теоретически или умозрительно представить те фазы перестройки системы, которые ожидают ее на траектории становления до тех пор, пока уровень адаптированности не приблизится к возможному, при данном материале и внешней детерминанте, практическому пределу. Речь, конечно, идет именно о практическом, а не об абсолютном пределе, поскольку хотя и во все более замедляющемся темпе и в отношении лишь все более тонких функциональных и вспомогательных характеристик, но углубление уровня адаптации системы в надсистеме происходит всегда, как бы глубоко она уже ни была адаптирована. Обратим внимание теперь на то, что хотя в процессе становления системы, при неизменности как того исходного материала, из которого складывается ее субстанция, так и внешней детерминанты системы, текущая внутренняя детерминанта системы до определенного времени изменяется, однако система остается тождественной самой себе, несмотря на происходящие в ней перестройки, если иметь в виду неизменность ее предельной внутренней детерминанты и, следовательно, неизбежность наступления такого состояния адаптируемой системы, при котором уровень эффективности ее функционирования, при заданном материале и внешней детерминанте, будет наивысшим.

Итак, подчеркнем еще раз, что общие свойства системы, состав ее компонентов, структура их связей и отношений в последовательных фазах развития, от времени возникновения запроса надсистемы на систему до времени приобретения системой практически предельного уровня адаптированности, – все это может быть описано весьма полно, если сформулирована внешняя детерминанта и известен исходный материал, который может быть втянут в систему для формирования из него субстанции системы: из формулировки нашей детерминанты и из констатации специфики материала делаются выводы о шкале фазовых перестроек системы за время становления, наиболее емко отраженных на шкале изменений внутренней детерминанты. Крайняя точка на этой шкале задает предельную внутреннюю детерминанту, которая является инвариантной характеристикой системы, если за все время ее становления внешняя детерминанта и материал остаются неизменными; прочие же точки на этой шкале – это непредельные текущие внутренние детерминанты системы. Если мы наблюдаем за системой в некоторый момент времени, когда становление еще не завершено, то ее текущей внутренней детерминанте в этот момент соответствует определенная точка на шкале фазовых перестроек.

6. Эволюция системы, исходная внутренняя детерминанта

Точно так же, как система формируется и функционирует в надсистеме в качестве одного из компонентов надсистемы, сама эта надсистема по отношению к надсистеме еще более высокого яруса, т.е. по отношению к над-системе, оказывается также лишь одним из компонентов. Следовательно, если по каким-либо причинам изменится состояние над-системы, то это в той или иной мере скажется на режиме функционирования надсистемы, что может привести, в свою очередь, к тому, что функциональные запросы надсистемы к системе или условия функционирования системы, т.е. внешняя детерминанта системы, в каком-либо отношении изменяется. В частности, если изменяться определенные параметры условий функционирования, то эффективность функционирования системы несколько снизится, так как внутренняя детерминанта системы формировалась для других значений этих параметров. Однако, если внешняя детерминанта принимает новое значение некоторых своих параметров на такой период времени, который существенно больше, чем время, необходимое для того, чтобы система успела заметно перестроиться в процессе адаптации, то такое изменение значений параметров во внешней детерминанте приводит к тому, что система начинает изменять определенным образом и свою текущую внутреннюю детерминанту, благодаря чему эффективность функционирования системы снова повышается и восстанавливается примерно до прежнего уровня.

Этот вид перестройки системы и изменения ее внутренней детерминанты во многих отношениях похож на уже рассмотренные фазовые перестройки в процессе ее становления при неизменных характеристиках внешней детерминанты. Но в одном отношении перестройка системы при изменении определенных параметров внешней детерминанты принципиально отличается от процесса становления системы, т.е. процесса приближения ее текущей внутренней детерминанты к предельной: материалом для превращения исходной системы в систему с новой внутренней детерминантой, соответствующей новым значениям изменившихся параметров внешней детерминанты, оказывается уже не какой-либо существующий вне системы материальный резерв, втягиваемый в формирующуюся систему, а сама система с той же текущей внутренней детерминантой, которая соответствовала внешней детерминанте в момент перед самым началом ее изменения. Назовем этот момент исходным по отношению к данному виду перестройки системы.

Следовательно, после того, как внешняя детерминанта сменила исходное состояние на новое, для системы оказалась заданной новая предельная внутренняя детерминанта, определяемая новой внешней детерминантой и наличным материалом, в качестве которого выступает исходная субстанция системы.