Начинать курсовую работу по этой теме, на мой взгляд, стоит с определения понятия множество, так как оно является одним из основных понятий математического анализа.

Множество − это совокупность объектов любой природы. Определение множества есть описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками. Для обозначения различных множеств чаще всего используются заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств – малые (строчные) буквы.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это записывают так: или .

Если элемент a принадлежит множеству А, то пишут: , если же не принадлежит, то записывают так: .

Если все элементы множества принадлежат множеству , то называется подмножеством множества , и пишут: .

Очевидно, что если и , то .

Обычно, удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества , которое называют универсальным.

Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве , нужен четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в . Если обозначить это условие через , то тот факт, что условие порождает множество , записывают следующим образом: .

Может оказаться так, что для некоторого свойства во всем множестве вообще нет элементов, которые удовлетворяют данному условию. В таком случае говорят, что это пустое множество, оно не содержит ни одного элемента.

Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические знаки, называемые кванторами:

Множество называется объединением (или суммой) множеств и ,если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.

Обозначается это так:

Свойства:

Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и , и , т.е. элементов, общих для этих множеств. Доказать равенство двух множеств - это значит доказать, что всякий элемент , принадлежащих правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.

Для произвольной совокупности множеств , где пробегает все элементы некоторого множества , пишут

если есть объединение всех множеств

Аналогично, , если − пересечение всех множеств .

Выше я привела примеры некоторых операций над множествами. Существуют также такие операции, как разность двух множеств, Декартовое произведение множеств, отображение множеств, обратные функции, взаимно однозначные соответствия и пр.

1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них. множество всех чисел натурального ряда; множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль).

О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных − нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества − это понятие, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины «мощность множества» и «количество элементов множества» − синонимы.

Множества и называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: ~. Свойства: ~; ~ ~;~,~ ~.

Если и эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Можно привести важный пример эквивалентности бесконечных множеств.

Утверждение 1: Множество (натуральных чисел) и множество (рациональных чисел, т.е. всех дробей ) эквивалентны.

Доказательство: достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:

Такое представление единственно. Высотой рационального числа назовем величину . Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3,… и т.д. При фиксированном существует не более различных несократимых дробей, т.к. тогда знаменатель может принимать значения 1,2,…,, а для данного числитель числа может принимать не более двух значений: . Таким образом, с данной высотой число рациональных чисел не более .

Будем нумеровать дроби в порядке возрастания ; при фиксированном в порядке возрастания , а при фиксированных и - в порядке возрастания . Тогда получим:

и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,… будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств и .

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Исходя из этого определения, можно упомянуть о некоторых теоремах:

1. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

2. Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.

3. Сумма конечного числа счетных множеств – тоже счетное множество.

4. Сумма счетного множества счетных множеств – тоже счетное множество.

5. Сумма конечного или счетного множества множеств, каждое из которых конечно или счетно, есть конечное или счетное множество.

6. Множество всех рациональных чисел счетно.

7. Множество всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами счетно.

Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство: занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе - счетно.

Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств счетна.

Доказательство. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по схеме:

За шагов будут заведомо занумерованы все элементы .

Стоит обратить внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1-3, оказались равномощными, точнее счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1: совокупность всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X. Эта теорема (точнее, ее модификация ~) была доказана Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.

Доказательство: (от противного). Пусть ~. Значит имеется биективное соответствие Тогда, если , то ему однозначно соответствует . Теперь всякую точку назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если . В противном случае эту точку будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество , состоящее из всех особых точек . Тогда ясно, что является элементом множества . В силу наличия взаимно однозначного соответствия между и найдется такая точка . При этом сама точка обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки она принадлежала бы , что невозможно, т. к. ко множеству по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, т. к. тогда по определению особой точки , а с другой стороны, тогда точка как особая точка должна войти в дефект по его построению.

Таким образом, предположение о существовании биекции между и во всех случаях ведет к противоречию, т. е. и не эквивалентны.

Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы справедливы в том случае, когда есть пустое множество. Тогда мощность множества равна 0, а множество состоит ровно из одного элемента, т. е. самого и поэтому мощность равна .

Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно . По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств , а значит, множество последовательностей, составленных из 0 и 1.

Прием, с помощью которого доказана теорема 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Кантором в 1874 г. При доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве взять натуральный ряд , то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно .

Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.

Утверждение 4. Множество точек отрезка имеет мощность континуума.

Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка может быть записана в виде

Такая запись единственна, за исключением чисел вида .А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида , установим соответствие так:

А так как множество точек вида счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называется замкнутым.

Таким образом, множество замкнуто, если из того, что и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть есть функция, определенная и непрерывная на и — любое число.

Множества 1) , 2) , 3) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть и ; тогда и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V= есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция определена и непрерывна на .

Отметим, что если— замкнутое множество, то — открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка, для которой

Мы получили бы последовательность точек , . Но по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если — открытое множество, то — замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последовательность точек , и . Но — открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть — непрерывная функция. 1) множество замкнуто, а открыто. 2) множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество , отличное от , то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

где — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а называется границей ; открыто, открыто, + тоже открыто, = замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку множества можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств , входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть ; тогда , — открытое ядро, — открытое ядро ,— граница (не принадлежит ).

Пример 5. — множество точек с рациональными координатами. — открытое ядро — пустое множество, — открытое ядро — пустое множество, — граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве .

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть и - замкнутые множества, и . В последовательности существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но тоже стремится к , и так как замкнуто, то , а потому .

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть и все замкнуты. Если и , то все при любом , а потому и при любом . Следовательно, , и замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества , заключающаяся в присоединении к множеству пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается и называется замыканием множества .

В замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть . Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначим его так: .

У замкнутого множества предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества . Таким образом, если — замкнутое множество, то .

Точка называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.

3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Пусть функция задана на множестве . Говорят, что она непрерывна в точке на множестве , если для любой последовательности точек , сходящейся к .

Заметим, что согласно данному определению любая функция, определенная на , непрерывна в изолированных точках .

Точка называется изолированной, если существует шарик с центром в , не содержащий в себе других точек , кроме . Поэтому если задано, что и , то это может быть, лишь если для некоторого будет для всех , но тогда

. (1)

Если функция , определенная на , непрерывна в любой точке , то говорят, что непрерывна на .

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобщают соответствующие свойства непрерывных функций от одной переменной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на ; тогда для любого натурального к найдется такая точка , что

(2)

Полученная последовательность ограничена. Из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке Вследствие замкнутости точка принадлежит , а в силу непрерывности в на , и мы получили противоречие с неравенствами (2).

Теорема 2. Функция , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве , достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что ограничена на . Поэтому она имеет на конечные точные нижнюю и верхнюю грани:

Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального найдется точка такая, что

(3)

Полученная последовательность ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . В силу замкнутости точка принадлежит , и в силу непрерывности на . С другой стороны, из (3) следует, что этот предел должен равняться числу . Но тогда

Аналогично доказывается существование точки , в которой достигает минимума на :

Рассмотрим снова пока произвольное множество и определенную на нем не обязательно непрерывную функцию , но ограниченную на . Зададим число и введем величину

, (4)

называемую модулем непрерывности на множестве . В правой части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей значений , соответствующих всевозможным парам точек , отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем .

Модуль непрерывности есть функция от , очевидно, неотрицательная. Она не убывает, потому что если , то

Поэтому существует предел

(5)

Введем определение.

1) Функция называется равномерно непрерывной на множестве, если ее модуль непрерывности на стремится к нулю при , т.е.

(6)

Приведем другое эквивалентное определение.

2) Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого найдется такое , что для любых с имеет место

Определение 1) влечет за собой 2).

Потому что из 1) следует, что для любого найдется такое , что

, и

Обратно, если имеет место 2), то, задав и подобрав так, как это сказано в 2), получим

и так как монотонно не убывает, то отсюда следует (6), т. е. 1).

Докажем теперь важную теорему.

Теорема 3. Функция , непрерывная на ограниченном замкнутом множестве , равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое, что для любого натурального найдется пара точек

, , (7)

для которых

(8)

В силу ограниченности последовательности и замкнутости существует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . В силу (7) тогда и , и потому вследствие непрерывности в

что противоречит (8).

Рассмотрим числовое множество . Точка называется точкой сгущения этого множества, если в любой окрестности этой точки содержатся значения из , отличные от . Сама точка сгущения при этом может принадлежать или нет. Например, если или , то в обоих случаях является точкой сгущения для , но в первом случае она сама содержится в , а во втором – нет.

В предположении, что есть точка сгущения для , можно извлечь из - и притом бесчисленным множеством способов - такую последовательность

(9)

значений , отличных от , которая имела бы своим пределом . Действительно, задавшись последовательностью положительных чисел , сходящейся к нулю, в каждой окрестности точка (при ) найдем по точке из ,отличной от ; так как , то .

Пусть теперь в области , для которой является точкой сгущения, задана некоторая функция . Представляет интерес поведение этой функции при приближении к . Говорят, что функция имеет предел , конечный или нет, при стремлении к (в точке ), если какую бы последовательность (9) с пределом , извлеченную из , ни пробегала независимая переменная , соответствующая последовательность значений функции

всегда имеет предел . Обозначается это так:

или при .

Предположим теперь, что множество содержит сколь угодно большие положительные значения ; тогда говорят, что является точкой сгущения этого множества. Если под окрестностью точки разуметь промежуток , то можно высказанное предположение представить и такой форме: в каждой окрестности точки должны содержаться числа из множества .

Если это предположение выполнено, то можно из выделить последовательность (9), имеющую пределом . Действительно, взяв любую положительную переменную , стремящуюся к , для каждого (при ) найдем в значение ; очевидно, .

В предположении, что является точкой сгущения для , рассмотрим определенную в этой области функцию . Для нее можно установить понятие предела при : .

Используемая литература

1. Б.З. Вулих «Введение в функциональный анализ», Москва, 1967 г.

2. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков «Лекции по математическому анализу», Москва, 1999 г.

3. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», Москва, 1960 г.