Доклад: Пятый постулат

Доклад: Пятый постулат

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвле­ний

математики, получившим название „евклидова г

еометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его

труду ..Начала". В шко­лах всего мира, долгие

столетия геометрия преподава­лась по ..Началам"

Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей

форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат

к числу самых популярных и рас­пространенных математических трудов. Несмотря на

столь огромную популярность Евклида как автора ..

Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало

. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты

его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству

Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам", дея­тельность Евклида

проходила во время правления Птолемея

Сотера 1 (305—282 гг до н.э.). При этом царе,

столица Египта Александрия стала центром научной и

культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых

со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена

Александрийской школе работали тогда многие светила математики и сре­ди них

Евклид, который был одним из первых ее препода­вателей. Дошедшие до нас

произведения Евклида, свиде­тельствуют о том, что это был весьма способный и

даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником

Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математи­ков

и философов, достиг высот тогдашних научных зна­ний. Действительно,

произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией:

Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем

практического порядка. Некоторый свет на Ев­клида как человека, математика и

философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и

прав­дивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.

Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей

1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с

вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид

ответил: В геометрии нет осо­бых дорог даже для царей". В другом анекдоте

говорит­ся, чтр один из учеников Евклида, изучая

геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение

геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал не­вольника и распорядился. „Дай ему

обола, ибо этот чело­век ожидает прибыли от науки". Математик

Папп (320 г. н. э.)

восторгается необыкновенной честностью, скро­мностью, кротостью и одновременно

независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма

плодовитым автором различных тру­дов. Известно, что его перу принадлежит не

менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются

крупнейшим произведением в истории мате­матики. Это первый, сохранившийся

математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедукти­вный

метод. ..Начала" носят характер учебника, в

кото­ром Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников.

Таким образом, Евклида труд­но считать самостоятельным автором содержания

„На­чал", за небольшими исключениями, касающимися ко­нусных сечений и

сферической геометрии. Но в „Нача­лах" Евклид проявил себя великолепным

систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю

математики. ..Начала" были написаны око­ло 300

года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся руко­писи на греческом языке

восходят всего лишь к Х ве

нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей

зр' • ранилось только несколько отрывков

папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие

оригинг даря кропотливому труду ученых, сравнил

и внейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной

до­стоверностью восстановить первоначальный текст заме­чательного труда

Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая,

вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на пло­скости, в

одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой при­ведены основы стереометрии,

остальные книги ..Начал" посвящены теории

пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных тео­рем

— без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные —

постулатами и ввел необхо­димое число определений. Опираясь на этой

сиСтеме ак­сиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 тео­рем

распределенных в цепочку, очередные звенья кото­рой логически вытекают из

предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая

,,Аксиома параллельно­сти" на целые века заняла умы многих математиков.

Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые

пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток

приня­ли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от

пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название

неевклидовой геометрии.

Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается

Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..

Площадь квадрата построенного на вы­соте прямоугольного треугольника опущенной

из прямо­го угла на гипотенузу, равновелика площади прямоу­гольника со

сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой"

Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали

свидетельствуют упоминания в трудах др

угих математиков.

Историю древнегреческой математики можно подразде­лить на три периода: первый —

необыкновенно буйное, почти стихийное развитие,

второй — период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец,

третий — период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.

Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.

Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует

факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на

протяже­нии свыше 2000 лет.

Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге

«Начала» сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за

другой, выводятся все основные теоремы гео­метрии. И никогда не получалось

двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых рав­ноправно

вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида

непротиво­речива.

Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих

наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым

постула­том. Кто сформулирует эту аксиому?

Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их

плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.

Ведущий. У Евклида в «На­чалах» несколько иная формулиров­ка, но суть та же.

И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не

опро­вергнешь, ведь на практике воспро­изводимы лишь отрезки прямых, но

никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.

Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может быть,

следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему, опираясь на

остальные аксиомы?

Ведущий. Так оно и было. Ве­ками длились попытки придумать до­казательство — не

удавалось никому. В тайну этих неудач именно и про­ник Н. И. Лобачевский

глубоко и окончательно: пятый постулат недо­казуем и от -господствовавшего бо

лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная

мыслимая система геометриче ского познания мира,

необходимо от казаться.

1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида

И до этих вот снегов

Постулат, как черный идо

В жертву требует умов...

2-й ученик. «Постулат недоказуем!»

Даже страшно произнесть.

Ах, догматики! Грозу им

Принесет такая весть.

3-й ученик. На уроках гео­метрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал

«неевклидову геометрию», в которой через точку можно провести более одной

линии, не пересекающей данную прямую.

Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой

параллель­ности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять

смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ и -вне ее точ­ку С. Пусть

САВ прямой.

Построим луч СD, пересекающий прямую АВ в точке D,

лежащей вправо от точки А, и вообразим, что он вращается против часовой

стрелки. По мере вращения луча СD непосредственное наблюдение

пере­сечения его с АВ становится неосу­ществимым. По этой причине будет

логически правомерным изменить на­ше представление о прямой линии и луче,

которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч СD в ка­кой-то

момент своего вращения «от­рывается» от прямой АВ, т. е. пере­стает

иметь с ней общую точку.

Тогда «прямую» (аа'), содер­жащую луч, впервые «оторвавший­ся» от

АВ, назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.

Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть «прямая» (ЬЬ'),

симметричная «прямой» {аа') и про­ходящая через точку С (рис.

39). Ясно, что и эту «прямую» (ЬЬ') сле­дует считать параллельной

АВ, но уже в направлении луча АВ'. Следо­вательно, через С

проходят две «пря­мые», параллельные прямой ВВ'.

С каждой из этих «прямых» луч СА, перпе

ндикулярный прямой В'В, образует угол

л(р), названный Лобачевским углом

параллельности. Угол p (р)

зависит от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые,

проходящие через С и об­разующие с перпендикуляром

СА угол, меньший л

(р), пересекают В'В, все остальные «прямые», про­ходя

щие через С , не пересекают В'В,

их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В.

Через С проходит бесконечное мно­жество таких «прямых».

В частном случае, когда p (р) ==90°,

получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии,

«употребитель­ной», как называл ее Н. И.

Лобачевский.

Угол p (р) возрастает и прибли­жается к прямому углу при приближении

точки С к прямой В'В .

Из допущения, что p (р)

<90° вытекают совершенно иные следствия,

составляющие содержание но вой геометрии, так же

непротиворечивой, как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем

евклидова, отображающей пространственные

геометрические и физические соотношения, например,

за предела ми мировых областей «средней

величины».

Оказалось также, что взаимосвязь пространства и

времени, от крытая X. Лоренцом, А.

Пуанкаре, А. Эйнштейном и Г. Минковским и

описываемая в рамках специаль­ной теории относительности, имеет

непосредственное отношение к гео­метрии Лобачевского.

Например, в расчетах современных синхрофазо­тронов используются формулы

гео­метрии Лобачевского.

Такую геометрию Лобачевский сначала назвал

«воображаемой», а потом (в конце жизни)—«пангеометрией», т.

е. всеобщей геомет­рией. Теперь ее во всем мире на­зывают «геометрией

Лобачевского».

Ученик.

Был мудрым Евклид,

Но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

Ведущий. Из понимания па­раллельности «по Лобачевскому»

вйтекает много диковинных на пер­вый взгляд, но строго обоснован­ных

следствий.

Ученик. Каких?

Ведущий. Например, в про­странстве Лобачевского

параллель­ные прямые неограниченно сбли­жаются в направлении параллель­

ности и потому существу­ют «бесконечные треугольники», сто­роны которых

попарно параллельны , но нет подобных много­угольников.

Ученик.

Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.

Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.

После встал, потянулся устало.

Вечность тайну тебе нашептала,

И душой изумленной увидел ты то,

Что доселе не знал и не ведал никто:

Параллели стрелою нацелены в высь,

Параллели пронзают межзвездные дали.

Параллели — ты, чуешь? — стремятся ойтись,

Только сразу такое постигнешь едва ли.

Ведущий. В геометрии Лоба­чевского интересна и важна такая теорема: «Сумма углов

треугольни­ка всегда меньше 180°».

Ученик. Позвольте на минутку перебить Вас. У Данте есть такие строки:

Как для смертных истина ясна,

Что в треугольник двум тупым не влиться.

Теперь-то нам понятно, что не мо­жет быть двух тупых углов не только в нашем

«земном» треугольнике, но и в «звездном» треугольнике гео­метрии

Лобачевского...

Ведущий. Очень интересно, но задержимся еще немного на тре­угольнике в

геометрии Лобачевского.

Пусть a,b и g— углы треуголь­ника, тогда число d= 180°— (a +b+g)

называют «дефектом треугольника» и справедлива поразительная фор­мула

выведенная Н. И. Лобачевским d= S/R2,

где где S—площадь треугольника, а R

— число, одинаковое для всех треугольников Величину К, имеющую

размерность длины, назы­вают радиусом кривизны,

простран­ства Лобачевского, а отрицательную величину k=1/R2

кривизной этого

пространства.

В евклидовом пространстве d=0 (так как

a +b+g=180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.

Получается так, что наша «упо­требительная» геометрия является предельным (при

dà 0) случаем геометрии Лобачевского.

1-й ученик.

В мире все криволинейно.

Прямота лишь сферы часть.

И Евклидово ученье

В космосе... теряет власть.

Ученик. Послушайте стихотво­рение поэта Александра

Лихолета (Донецк), напечатанное в альмана­хе «Истоки»

(М.: Молодая гвардия, 1983).

Лобачевский

«Все! Перечеркнуты «Начала».

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

О чем он думал во вчерашнем?

О звездном облаке, летящем

Из ниоткуда в никуда?

О том, что станет новым взглядом:

Две трассы, длящиеся рядом,

Не параллельны никогда?

Что постоянному движенью

Миров сопутствует сближенье,

И, значит, встретятся они:

Его земная с неземными

Непараллельными прямыми

Когда-нибудь, не в наши дни?..

Ведущий. Открытие Лобачев­ского настолько опередило развитие математической

мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире

почти никто из математиков—его современников — не был готов к восприя­тию

идей «воображаемой геомет­рии». Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое

положение «непризнанного ученого». Приведу один любопытный факт обществен­ной

жизни того времени.

Могучий «властитель дум» пере­довой интеллигенции — Н.

Г. Черны­шевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в

утвержде­ниях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания

веками укоренившейся системы вос­приятия пространства. Увы, так не случилось.

Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сы­новьям: «Что такое

«кривизна луча» или «кривое пространство»? Что та­кое геометрия без аксиомы

парал­лельных?» Он сравнивает это с «воз­ведением сапог в квадраты» и

«из­влечением корней из голенищ» и го­ворит, что это столь же н

елепо, как «писать по-русски без глаголов», (А ведь Фет писал без глаголов и

получалось здорово: «Шелест, робкое дыханье, трели соловья

».)

1-й ученик.

Отшатнулись коллеги, отстали друзья.

Может, в партии жизни зевнул ты ферзя ?

2-й ученик

— Чушь,— кричат,— Лобачевский,—нелепица, бред

Ничего смехотворней и в мире-то нет!

Параллели не встретятся — это же просто,

Как дорога от города и до погоста!

Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,

Хоть сто лет рассекая раздольное поле?

3-й ученик.

Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,

Окунутся с разбега в иные законы.

Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,

Мировые законы пока потаенны.

4-й ученик.

Проплывают в ухмылке ученые лица,

И насмешек у сердца стоит ледостав.

Так неужто же он, Лобачевский, смирится?

Нет, он целому миру докажет, что прав!

Ведущий. Потребовалось пол­века для того, чтобы идеи Лоба­чевского сделались

неотъемлемой частью математических наук, про­никли в механику, физику,

космоло­гию, стали общекультурным достоя­нием. Так, в «Братьях Карамазовых»

Иван, обладающий, по словам авто­ра романа,

«евклидовским» харак­тером ума, .говорит:

«Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что

сошлись, а все-таки не приму...» Это значит, что Достоевский имел отчетливое

представление о новой геометрии.