Нуль (от лат. nullus -- никакой), число 0, от прибавления (или вычитания) которого к любому числу последнее не меняется: (а+0) = (-0+ а) = а; произведение любого числа на нуль дает нуль: а * 0 = 0 * а = 0. Деление на нуль невозможно. В современной математике понятие нуля (нулевого элемента) рассматривают в алгебраических структурах более общей природы (напр., алгебраических полях).

Бесконечное - это философская категория, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Бесконечное характеризует материю в целом, бесконечное многообразие ее свойств, связей, форм бытия и тенденций развития. Конечное характеризует любые конкретные явления и объекты, которые существуют в определенных пространственных и временных границах. Конечное нередко рассматривается как форма проявления бесконечного, последнее, в свою очередь, складывается из бесчисленного множества конечных объектов и явлений.

Цель настоящей работы: рассмотреть теорию бесконечности и бесконечного числа, а также ноля в философском понимании.

Задачи: изложить в работе рассуждения разных философских школ о понятии бесконечности и нуля.

1. «Первоначало» и нуль

«Первоначало» -- очень типичное и в то же время необычное для древней мысли понятие. Это своего рода понятие-кентавр. С одной стороны, первоначало греки ищут и находят в чем-то достаточно определенном, более или менее конкретном. И это определенное на первых порах слито с какой-либо природной стихией. Аристотель, излагая «мнения философов» о Фалесе, пишет: «Фалес Милетский утверждал, что начало сущих [вещей] -- вода... Все из воды, говорит он, и в воду все разлагается. Заключает он [об этом], во-первых, из того, что начало (архе) всех животных-- сперма, а она влажная; так и все [вещи], вероятно, берут [свое] начало из влаги. Во-вторых, из того, что все растения влагой питаются и [от влаги] плодоносят, а лишенные [ее] засыхают. В-третьих, из того, что и сам огонь Солнца и звезд питается водными испарениями, равно как и сам космос. По этой же причине и Гомер высказывает о воде такое суждение: «Океан, который всем прародитель» [2; c.69]. Суть рассуждения Фалеса в том, что вода толкуется как первооснова и первоначало.

Рассмотрение первоначала как материальной, природной стихии-- естественный ход человеческой мысли на той стадии, когда она начинает воспарять в высоты абстракции, но по-настоящему абстрактной еще не является. Вот почему в истории философии по поводу «воды» Фалеса велись и ведутся споры. Одни говорят: избрание воды в качестве первоначала навеяно самыми конкретными и реальными наблюдениями. Таково, например, суждение Симшшкия: «Они полагали (речь идет о Фалесе и его последователях.-- Н. М.), что начало--вода, причем на это их навело чувственное восприятие». Другие (например, Гегель) утверждают: «вода», как ее понимает Фалес, имеет косвенное отношение ко всему конкретному. Само слово «вода» употребляется иносказательно. Но все-таки остается вопрос, почему Фалес избирает именно воду? На него пытались дать ответ многие историки философии, начиная с глубокой древности.

Итак, исходный шаг в обосновании идеи первоначала -- система довольно простых аргументов, апеллирующих к здравому смыслу. Но в рассуждениях о воде как первоначале пролагался путь не только для здравого смысла, для обыденного рассуждения. Парадоксально, что здравый смысл -- возможно, незаметно для него самого -- философы увлекали на непривычный путь. Прежде всего, ясное и довольно очевидное -- мысль о роли воды в жизни человека и в природе -- надо было представить в виде аргументации, даже системы аргументов и доказательств. Но в таком случае все эти аргументы представали перед судом разума, способного диалогически представить иные доводы. И древние греки, вообще склонные ко всяким рассуждениям и спорам, и в этом случае обязательно должны были искать и найти возражения против фалесовского хода мысли и доказательства. Скажем, такие: и природа в целом, и человек живут, так сказать, не водой единой. Почему же именно воде, а не воздуху или какой-то другой стихии должно быть отдано предпочтение? Так обозначается историческое поле размышлений вокруг идеи первоначала. Сперва воду, как первоначало, сменит другая стихия природы; затем философы придут к выводу, что нужно объединить в понятие первоначала несколько (пять или шесть) элементов или стихий.

2. «Беспредельное» и «бесконечное» в философии Анаксимандра

Согласно порядку, принятому в истории философской мысли, об Анаксимандре говорят вслед за Фалесом и уж потом повествуют об Анаксимене. Но если иметь в виду логику идей, то скорее приходится «расположить» Анаксимена на одной «ступеньке» с Фалесом (ибо «воздух» в теоретико-логическом смысле -- всего лишь двойник «воды»), тогда как мысль Анаксимандра поднимется на ступеньку выше, к более абстрактному облику первоначала. Принципом всех принципов, началом всех начал этот Философ объявляет «апейрон», что по-гречески значит «беспредельное».

До рассмотрения этой важнейшей и очень перспективной V идеи греческой философии стоит несколько слов сказать о самом Анаксимандре. С его жизнью, как и с жизнью Фалеса, связывают по крайней мере одну более или менее точную дату -- второй год 58-й Олимпиады, то есть 547--546 год до н. э. Считают (свидетельство Диогена Лаэртия), что в то время Анаксимандру было 64 года и что он вскоре скончался [1; c.116]. А выделяют эту дату потому, что, согласно исторической легенде, то был год, когда появилось написанное Анаксимандром философское прозаическое сочинение. Как именно излагал свои идеи Фалес, неизвестно. Трудно сказать, записывал ли он вообще свои мысли, выражал ли он их языком поэтическим или прозаическим. Анаксимандру же как раз приписывают эту честь и отвагу: он, как утверждают некоторые доксографы [ 6; c.117], «первым из известных нам эллинов осмелился написать и обнародовать речь о природе». Вероятно, то было выдающееся для Древней Греции интеллектуальное событие. Излагать мысли о природе в письменной, к тому же прозаической, форме было делом необычным.

Как это ни удивительно для современного человека, первые письменные произведения, созданные греками, были поэтическими. И лишь впоследствии, сначала греческие историки, а потом и представители других занятий, начали писать прозаические сочинения. Что касается философии, то и здесь, вероятно, все началось с философских поэм,-- они писались и до и после Анаксимандра. Так, от элейца Парменида сохранилась (в фрагментах) поэма «О природе». Анаксимандр же заложил новую традицию-- философских прозаических сочинений. Но хотя в его сочинении о природе предпочтение впервые было оказано прозаическому языку, оно, как свидетельствуют древние, было написано вычурной, высокопарной и торжественной прозой, близкой скорее к эпической поэзии. Это говорит о том, что жанр научно-философского, более или менее строгого, обстоятельного сочинения, рождался в трудных поисках.

Образ философа Анаксимандра, который вырисовывается из исторических свидетельств, в общем и целом укладывается в описанный ранее тип античного мудреца. Ему, как и Фалееу, приписывают целый ряд важных практических достижений. Например, сохранилось свидетельство, согласно которому Анаксимандр руководил колониальной экспедицией (апойкией) --выселением граждан из Милета в одну из колоний на Черном море; называлась она Аполлонией [ 3; c.116]. Кстати, выселение в колонию было сугубо практическим, правда в ту эпоху уже привычным, делом; нужно было отобрать людей для выселения, снарядить их всем необходимым и сделать это толково, быстро, оперативно. Вероятно, милетянам Анаксимандр казался человеком, подходящим для такого дела.

Анаксимандру, как и Фалееу, приписывают целый ряд инженерно-практических изобретений. Например, считают, что он построил универсальные солнечные часы, называемые «гномон». По ним греки определяли равноденствие, солнцестояние, времена года, время суток.

Анаксимандр, как полагают доксографы, прославился также некоторыми географическими сочинениями. Свидетельство Агафемера: «Анаксимандр Милетский, ученик Фалеса, первым дерзнул начертить ойкумену на карте; после него Гекатей Милетский, человек, много путешествовавший, внес в нее уточнения, так что она сделалась предметом восхищения» [6; c. 117]. Аналогично свидетельство Страбона (там же). Анаксимандру приписывают и такое очень интересное по тем временам новшество: считается, что он одним из первых, если не первый, на медной доске попытался изобразить Землю. Как именно он нарисовал нашу планету -- неизвестно, но важен факт: возникла мысль на рисунке-схеме «представить» то, что увидеть непосредственно нельзя -- Землю как целое. То были образ и схема, очень близкие общемировоззренческому «охвату» мира философской мыслью.

Анаксимандр, как и Фалес, подвизался в астрономии: высказывал догадки о форме Земли и других светил. Для астрономических взглядов Анаксимандра как античного философа и ученого характерно, что он отваживается назвать целый ряд цифр, относящихся к светилам, сравнительным величинам Земли, звезд, других планет. По свидетельству Симпликия, излагавшего мнения философов, Анаксимандр утверждал, например, что «Солнце равно Земле, а круг, из которого оно имеет отдушину и которым несомо по кругу, в двадцать семь раз больше Земли» [1; c.125]. Проверить или обстоятельно доказать утверждение Анаксимандра в те времена было совершенно невозможно. Почему он называл именно цифру «27», неизвестно, хотя, вероятно, какие-то наблюдения за светилами или математические расчеты в подтверждение своего мнения Анаксимандр приводил. Цифры, как мы знаем сегодня, названы им абсолютно неточные-- даже порядок цифр не соответствует действительности. Но тем не менее историки науки и философии связывают именно с этой попыткой Анаксимандра первые шаги количественной астрономии. Ибо ценна сама попытка -- установить количественные соотношения для пока недоступного человеку космоса. Лунное кольцо Анаксимандр тоже отважился количественно соотнести с кольцом Земли: Луна -- «это круг, в девятнадцать раз больший Земли...» [2; c.125]. С точки зрения сегодняшней астрономии это опять-таки не более чем фантазия. Относительно самой Земли Анаксимандр строит подобные же догадки. Согласно некоторым свидетельствам (Псевдо-Плутарх), Анаксимандр уподоблял форму Земли барабану каменной колонны.

В математике Анаксимандру приписывается создание общего очерка геометрии, то есть подытоживание геометрических знаний древних. Впрочем, содержание геометрических идей Анаксимандра осталось неизвестным.

Если последующие века скорее развенчали, чем подтвердили славу Анаксимандра как астронома, то сделанный им шаг на пути преобразования идеи первоначала до наших дней сохранил значение величайшего и перспективного интеллектуального изобретения. Вот свидетельство Симпликия: «Из полагающих одно движущееся и бесконечное [начало] Анаксимандр, сын Праксиада, милетец, преемник и ученик Фалеса, началом и элементом сущих [вещей] полагал бесконечное (апейрон), первым введя это имя начала. Этим [началом] он считает не воду и не какой-нибудь другой из так называемых элементов, но некую иную бесконечную природу, из которой рождаются небосводы [миры] и находящиеся в них космосы» [4; c.117].

Утверждение о первоначале как качественно неопределенном, видимо, казалось тогда необычным. Не случайно даже довольно поздний доксограф, которого именуют Псевдо-Аристотелем, замечает об Анаксимандре: «Но он ошибается, не говоря, что есть бесконечное: воздух ли оно, или вода, или земля, или какие другие тела» [4; c.119]. Ведь в непосредственном историческом окружении Анаксимандра философы обязательно выбирали какое-то определенное материальное первоначало: Фалес -- воду, Анаксимен -- воздух. А между этими двумя философами, придающими качественно определенный характер первоначалу, вклинивается Анаксимандр, который следует уже иной логике и утверждает, что первоначало бескачественно: им принципиально не может быть ни вода, ни воздух, ни какая-либо другая определенная стихия. Вот как передает мысль Анаксимандра Аристотель: «Есть ведь некоторые, кто именно этим [параэлементным телом] полагают бесконечное (апейрон), а не воздухом или вбдой, чтобы один из элементов, будучи бесконечным ^неограниченным], не уничтожил остальные...» [6; c.121].

Потому-то в литературе о древней философии возникли горячие споры: казалось либо делом невероятным, либо следствием ошибки, что философ, последователь Фалеса и предшественник Анаксимена, лишал апейрон качественных характеристик. Высказывалось и такое соображение: апейрон -- столь отвлеченное понятие, что оно вряд ли могло возникнуть так рано. Скорее, оно появилось позднее, а Платон и Аристотель рассуждали о «беспредельном» уже на основании более поздних споров или свидетельств.

В самом деле, очень трудно представить себе, что древний философ, предшественник или современник Анаксимена, мыслью опередил не только его, а в какой-то мере даже Гераклита, у которого первоначалом тоже становится определенная материальная стихия -- огонь. И все-таки представляется вероятным, что при весьма концентрированных умственных усилиях, направленных на последовательное продумывание идеи первоначала, можно было прийти к понятию «апейрон», что гениальный ум мог родить такое понятие до того, как последователями Фалеса были «проиграны» в чем-то оригинальные, но по сути своей фалесовские варианты. Есть также некоторые соображения, позволяющие понять, почему Анаксимен делает как бы шаг назад после Анаксимандра, выбирая воздух вместо апейрона. Ибо Фалесова логика еще не пришла к завершению, не изжила себя. А логика, полагаемая понятием «апейрон», была логикой талантливо предвосхищенного Анаксимандром будущего философии. Впрочем, будущего уже недалекого.

Но что же такое апейрон, это приписываемое Анаксимандру понятие, введенное им, как считается, в первом прозаическом сочинении о природе? Апейрон в понимании Анаксимандра -- начало материальное, но вместе с тем неопределенное. Идея эта -- результат развертывания внутренней логики мысли о первоначале: раз есть различные стихии и раз кто-то последовательно возводит каждую из основных в ранг первоначала, то, с одной стороны, стихии как бы уравниваются, а с другой -- одна из них неоправданно предпочитается. Почему, например, берется вода, а не воздух? Так рассуждал -- вопреки Фалесу-- Анаксимен. Почему воздух, а не огонь? Так -- уже вопреки им обоим -- думал Гераклит. Почему огонь, а не земля? И не придать ли роль первоначала не одной какой-то стихии, а всем им вместе? Так потом будет рассуждать Эмпедокл. Но ведь не обязательно последовательно проходить через логически возможные стадии. Если сопоставить все варианты (в пользу воды, воздуха, огня), каждый из которых опирается на какие-то достаточно веские аргументы, все же окажется, что ни у одного из них нет абсолютной убедительности перед другим. Не напрашивается ли отсюда вывод, что на роль первоначала нельзя выдвигать ни отдельную стихию, ни все их вместе? Однако и после поистине героического «прорыва» мысли к апейрону на целые века еще будет сохранять власть над умами древних философов исходная логика, апеллирующая к определенному, качественному, хотя «в-себе» уже абстрактному первоначалу.

Анаксимандр сделал дерзкий шаг к понятию неопределенно-бескачественного материального. По своему содержательному философскому смыслу апейрон как раз и является таковым. Вот почему неопределенность как характеристика первоначала была крупным шагом вперед философской мысли по сравнению с выдвижением на первый план какого-то одного, определенного материального начала. Апейрон -- еще не понятие материи, но ближайшая перед ним остановка философствования. Поэтому Аристотель, оценивая мыслительные попытки Анаксимандра и Эмпедокла, как бы приближает их к своему времени и говорит: «...они, пожалуй, толковали о материи» [3; c.217].

Анаксимандр апеллирует к бескачественности, а значит, к большей абстрактности материального первоначала. Точнее говоря, к отсутствию у первоначала какого-либо определенного качества. И конечно же логика развития мысли о первоначале должна была поставить философов перед вопросом, который содержится в рассуждении Аристотеля относительно Анаксимандрова апейрона: у апейрона не может быть начала, ибо начало было бы для него пределом. Безначальный апейрон сам представлен как начало всего другого.

Логика рассуждений о первоначале, как она уже начала прорисовываться после Фалеса, заключала в себе поиск первопричины или первоначала всего существующего. А все, что существует,-- любое тело, любая совокупность тел или даже любая стихия -- имеют какой-то предел, какие-то границы, прежде всего в пространстве. Ограниченное же не может быть первоначалом. Значит, логично заключить: в роли первоначала -- первоосновы, первопричины -- может выступать нечто такое, что само не имеет ни начала, ни конца, прежде всего в пространстве. Апейрон выделяется из всей совокупности понятий по той причине, что как раз означает «беспредельное», «безграничное». Само это слово составляется из двух частей -- «пейрон», или предел, «граница», и частички «а», которая означает отрицание (тут -- отрицание границы).

Итак, греческое слово «апейрон» образуется так же, как и новое понятие о первоначале: посредством отрицания качественных и всяких иных границ. Вряд ли осознавая истоки и следствия своего выдающегося интеллектуального изобретения, Анаксимандр, по существу, показал: первоначало -- не некоторая особая материальная реальность, а специфическая мысль о материальном мире; и потому каждая следующая логически необходимая стадия в раздумьях о первоначале образуется философской мыслью из философской же мысли. Исходный шаг -- абстрагирование материального как общего, но остаточное привязывание его к определенному, качественному уступает место отрицанию. Слово «апейрон» -- было ли оно заимствовано Анаксимандром из бытового словаря древних греков или создано им самим -- как нельзя лучше передает генезис философского понятия беспредельного.

В этом понятии как бы заключена попытка ответа еще на один вопрос, который также должен был возникнуть со времени Фалеса. Ведь первоначало должно было объяснить рождение и гибель всего, что есть, было и будет в мире. Значит, должно быть нечто, из чего все возникает и во что все разрешается. Иными словами, первопричина, первооснова и рождения, и гибели, и жизни, и смерти, и возникновения, и уничтожения сама должна быть постоянна, неуничтожима, то есть бесконечна во времени. Античная философия четко представляет различие между двумя состояниями. Одно отмечено рождением и смертью. То, что есть, когда-то возникло и когда-то погибнет -- оно преходяще. Преходящий каждый человек, каждая вещь. Преходящи состояния, которые мы наблюдаем. Преходящее многообразно. Значит, есть множественное, и оно же -- преходящее. Первоначалом, по логике этого рассуждения, не может стать то, что само является преходящим -- ибо тогда оно не было бы первоначалом для другого преходящего.

В отличие от тел, состояний, людей, отдельных миров, первоначало не погибает, как погибают те или иные вещи и миры. Так рождается и становится одной из самых важных для философии идея бесконечности, как бы составленная и из идеи беспредельности (отсутствия пространственных границ) и из идеи вечного, непреходящего (отсутствия временных границ). То обстоятельство, что эта идея рождается «в лоне» философской логики материального первоначала, имело для философии серьезные последствия; это стало более ясным позже. Но уже и новорожденная философия натолкнулась на одну из существенных трудностей. Что было до богов? Согласно Гесиоду, был первоначальный Хаос. Идея рождения мира «из» материального первоначала и благодаря ему могла без конкуренции сосуществовать с «теогоническим» строем мысли. Однако сдвиг в мышлении, культуре, который возник благодаря идее первоначала, оказался -- по крайней мере в тенденции--довольно опасным для религии. Ведь получалось, что первоначало, которое не возникает, не является преходящим, становится важнее божеств (разумеется, божеств в греческом изображении). Здесь намечается (но только намечается) конфликт между религией и философией. И если бы логика первоначала была каждым философом доведена до конца, они, возможно, сделались бы атеистами. И довольно часто в наших популярных или даже в специальных работах так и говорится: первые древнегреческие материалисты были атеистами. На деле ситуация сложилась не столь простая.

Правда, путь к нерелигиозной философии был открыт. Своеобразная философская логика материального первоначала могла конкурировать с логикой религии. И порой, опираясь на силу и логику теоретического рассуждения, философы развенчивали суеверия, примитивные рассуждения о богах. Наиболее рассудительные соотечественники, в том числе жрецы, видя, какая опасность для религии заключается во внутренней логике философии, ее раздумий о первоначале, иногда обвиняли философов в безбожии. Это понимали не только греки, но и мыслители более поздних эпох. Например, Августин, один, из столпов средневековой христианской философии, так говорит о понимании Анаксимандром миров: «...миры же те, как он считал, то разлагаются, то снова рождаются -- каждый сообразно своему жизненному веку...». И тут уже Августин спешит упрекнуть Анаксимандра в том, что он «в этом творении вещей не уделил никакой роли божественному уму» [1; c.123].

В древней философии, в самом деле, порою возникали богоборческие тенденции. Но принимать их за атеизм вряд ли верно. Ибо есть и противоположные -- скажем, у Аристотеля -- свидетельства: раз апейрон не имеет начала, а сам есть начало всего, то такое первоначало «и есть божество, ибо оно «бессмертно и не подвержено гибели», как говорит Анаксимандр и большинство фисиологов» [5; c.120]. И это, по сути дела, не простое свидетельство. Здесь Своего рода парадигма, то есть характерный, широко распространенный и логичный для древности образец рассуждения. Он, в чем Аристотель прав, встречается не только у Анаксимандра, но и у других «фисиологов», то есть рассуждающих о фюзисе, природе. В какой-то мере тот же образец мысли есть у элеата Ксенофана, богоборца Гераклита.

Суть такой парадигмы, подразумеваемой ею логики рассуждения заключается в следующем: боги, как их изображают греки (как их могут изображать какие-то другие народы),-- боги ложные, ибо они просто измышлены людьми. И, например, апейрон с большим правом может быть назван божеством, чем боги мифологии и религии древних греков или других народов. Греки изображают богов рождающимися, возникающими. Апейрон же непреходящ, вечен, значит, поистине имеет право именоваться божественным. Здесь, заметим, пролагается путь для нового типа религиозного сознания. Пройдет несколько веков, и родится христианская религия. Ее образ Бога -- иной, чем у греков. Согласно христианству, Бог не рождается из чего-то, а, напротив, сам дает начало миру. Таким образом, к новой религии ведет богоборческая по отношению к сложившимся греческим религиозным представлениям, но все-таки не порывающая с самой идеей божества античная философия.

Концепции, приписывающие античной философии прямой и полный атеизм, довольно часто основаны на смешении богоборчества и атеизма. Августин справедливо отмечает, что на какой-то стадии размышления о первоначале античные философы не нуждаются в идее божества. Но, ниспровергая богов в каком-то их образе, атеист должен вообще отказаться от идеи всякого божества (вспомним, частичка «а» означает решительное отрицание). Между тем у многих древнегреческих мыслителей идея божества сохраняется и даже обновляется. Вместе с тем противоречие между философским и религиозным способами рассуждения уже складывается. Более того, на это противоречие временами наталкиваются сами древние философы. И все же они еще полагают, что причина -- в примитивных представлениях о божестве, которые надлежит заменить более совершенными. Но даже об этом не говорится сколько-нибудь прямо и четко. Ибо в древнегреческом мире, в сущности, еще не созрело такое явление, как атеизм, безбожие, хотя уже появились критики греческой религии, критики тех конкретных изображений божества, которые тогда существовали. Философы уже включились в такого рода критику. Но изображать их убежденными атеистами -- значит совершать серьезную историческую натяжку.

3. Понятие бесконечности Зенона Элейского

Пифагорейская школа. Пифагор основал братство религиозного, философского и научного характера с политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э .

В своей космологической концепции Пифагор отказался от монистической идеи первичной субстанции, породившей всю Вселенную. Его концепция дуалистична, и в напряжении между двумя противоположными принципами - ограниченное - неограниченное, нечетное - четное, единое - множественное, прямое - кривое, квадратное - продолговатое - он видел причину всякого развития. Мало интересуясь материальными элементами, которые могли бы дать представление о генезисе различных составных частей Вселенной, Пифагор, увлеченный глубоким религиозным течением, охватившим Грецию того времени, стремился дать глобальную картину космоса в целом. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: “Все есть число”.

Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а:в = в:с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов? Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается “числом”, то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой. Другими словами, иррациональные числа были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской точки зрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый кризис в истории математики.

Влияние Элейской школы (V в. до н.э.) на формирование абстрактной научной мысли огромно. Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации между опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные объекты можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае непрерывных величин, таких, как длины, площади, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретировать как дискретные наборы единиц, лишь если допускать существование бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве реакции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве.

Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены лишь в XIX в., когда математики захотели систематизировать достижения своей науки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математическое здание прочный фундамент.

Пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число - группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Каждое число у них было дискретным набором единиц; таким образом, пифагорейская арифметика ограничивалась изучением положительных целых чисел и отношений целых чисел, которые не считались числами.

Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом - “количеством”(длина, площадь, объем). Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел, величины должны были иметь общую единицу измерения - быть соизмеримыми - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами, интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела и быстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел. В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно; оно не выражается в виде отношений целых чисел и, значит, вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются несоизмеримыми. Взаимное соответствие между величиной и числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то какие числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам?

Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности. В своих поисках общей единицы измерения для всех величин греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного, противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.

Доводами Зенона были “апории” (тупики); они должны были продемонстрировать, что оба предположения заводят в тупик. Эти парадоксы известны под названием Ахиллес, Стрела, Дихотомия (деление на два) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Апория “Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно делимо, Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.

Еще более явным этот момент становится в апории “Дихотомия”: прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + ..., сумма которого равна 1 , но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия. Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа , выбранного сколь угодно малым.

Парадокс “Стрела” основан на предположении, что пространство и время составлены из неделимых элементов, скажем “точек” и “моментов”. В некий “момент” своего полета стрела находится в некоторой “точке” пространства в неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении.

Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение следует придать отношению x/t пройденного расстояния x к интервалу времени t , когда величина t становится очень малой? Неспособные представить себе минимум, отличный от нуля, древние придали ему значение ноль. Ныне при помощи понятия предела правильный ответ находится немедленно : мгновенная скорость есть предел отношения x/t при t, стремящемся к нулю.

Таким образом, все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.

Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю, который привел их в своей “Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность относительно деления и устанавливает, что континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Парадокс “Стрела”, который “является следствием предположения, что время составлено из моментов”, становится нелепым, если принять, что время бесконечно делимо.

Заключение

Итак математика хотя и размышляет об общем и всеобщем, являясь важнейшей лабораторией вычленения абстрактного и работы с абстракциями предельной общности, но она имеет дело со всеобщностью лишь количественных отношений, с абстракциями лишь количественных характеристик мира. А для того чтобы работать с абстракциями разного типа и с абстрактным, общим и всеобщим, как таковым, предстояло выбраться на предельно высокий уровень абстракции. И философия осуществила свой прыжок в царство абстрактного уже тогда, когда поставила вопрос о начале всех начал, о первоначале, и когда стала это первоначало вычленять. Однако, поскольку для человеческого мышления как такового -- и тесно связанного с предметной деятельностью, и уже работавшего с мыслями людей, со смыслами культуры -- возноситься в высоты абстрактности было весьма непривычно, постольку и философия первоначала двигалась к сверхабстрактному миру лишь постепенно. На первых порах первоначало предстало в некоторой наглядности. Но очень важна была сама новая тенденция. Все последующее развитие античной философии было спором о первоначале, последовательным развертыванием мышления о всеобщем.

Список литературы

1. Алексеев В.А. Философия: Учебник. - М., 2000.

2. Канке В.А. Философия. Исторический и систематический курс: Учебник для вузов. - М., 1997.

3. Миголатьев А.А. Философия: Учебник для ВУЗов. - М., 2001.

4. Мотрошилова Н.В. Рождение и развитие философских идей. - М., 1991.

5. Спиркин А.Г. Философия: Учебник. - М., 2006.

6. Философия. Основные идеи и принципы: Попул. Очерк. / Под ред. А.И, Ракитова. - М., 1990.